第6章 结构的变形01

1、第6章 结构的变形、位移与刚度本章主要内容：本章主要内容：二次积分法、单位荷载二次积分法、单位荷载法、图乘法计算梁的位移法、图乘法计算梁的位移; ;刚度校核刚度校核难点：难点：单位荷载法、图乘法计算位移单位荷载法、图乘法计算位移第6章 静定结构的变形6.1 轴力杆的变形与刚度轴力杆的变形与刚度6.2 平面弯曲梁的变形与刚度平面弯曲梁的变形与刚度6.3 计算梁和刚架位移的图乘法计算梁和刚架位移的图乘法6.4 梁的刚度条件和提高梁弯曲刚度的措施梁的刚度条件和提高梁弯曲刚度的措施6.5 静定杆件结构的特性静定杆件结构的特性一、结构的变形与位移一、结构的变形与位移1、变形：、变形：结构在荷载作用下其形

2、状将会发生改变，结构结构在荷载作用下其形状将会发生改变，结构的形状改变称为变形。的形状改变称为变形。2、位移：、位移：结构由于变形，其结点与截面位置将随之发生结构由于变形，其结点与截面位置将随之发生移动和转动，这种移动和转动称为结构的位移。移动和转动，这种移动和转动称为结构的位移。变形llFpCB一、结构的变形与位移一、结构的变形与位移荷载作用下铰接三角形的位移ABCPCCC 为结点为结点C的的线位移；线位移；CC 为竖向分量，为竖向分量， 为水平分量；为水平分量； C C CC 为杆件为杆件AC的角位移。的角位移。二、产生变形与位移的原因二、产生变形与位移的原因 除了除了荷载荷载外，还有外，

3、还有温度改变、支座移动、材料温度改变、支座移动、材料 收缩和制造误差收缩和制造误差等。等。温度改变产生的变形ABCBC1t C2t C1t C2t C21ttABCBC支座移动产生的位移aAb三、结构位移计算的目的三、结构位移计算的目的1、验算刚度、验算刚度2、为计算超静定结构打基础、为计算超静定结构打基础3、为施工服务，、为施工服务，如预拱度设置。如预拱度设置。在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层跨度；高层建筑的最大位移建筑的最大位移 1/1000 高度；最大层间位移高度；最大层间位移 1/800 层高。层高。6.1 轴力杆的变形与刚度一 轴线拉压杆件

4、的变形1lll 轴向变形轴向变形FFl1l1 1、绝对变形、绝对变形横向变形横向变形1ddd一 轴线拉压杆件的变形1 1、绝对变形、绝对变形ABCDCDBxu0dlimdxxuuxx 沿沿x方向的方向的线应变线应变2、应变、应变对于均匀变形情况对于均匀变形情况轴向应变轴向应变横向应变横向应变lldd FF6.1 轴力杆的变形与刚度一 轴线拉压杆件的变形1 1、绝对变形、绝对变形2、应变、应变轴向应变轴向应变横向应变横向应变lldd 实验证明，材料处于线弹性范围时，拉压杆的横向实验证明，材料处于线弹性范围时，拉压杆的横向应变与轴向应变之间成线性关系，即应变与轴向应变之间成线性关系，即v称为泊松比

5、，称为泊松比，为材料常数为材料常数6.1 轴力杆的变形与刚度一 轴线拉压杆件的变形1 1、绝对变形、绝对变形3、胡克定律（、胡克定律（Hookes law）实验证明，线弹性范围实验证明，线弹性范围FF2、应变、应变NF llA 引进比例常数引进比例常数ENF llEA E弹性模量弹性模量 胡克定律胡克定律EA杆的拉（压）刚度。杆的拉（压）刚度。表示杆抵抗拉压变形的能力表示杆抵抗拉压变形的能力6.1 轴力杆的变形与刚度三 轴线拉压杆件的变形NF llEA NFlEAlENFAll适用范围：适用范围： 线弹性范围；线弹性范围； 轴力、横截面积、材料均为常数时轴力、横截面积、材料均为常数时郑玄（12

6、7200）：“假设弓力胜三石,引之中三尺,驰其弦,以绳缓擐之,每加物一石,则张一尺。”郑玄郑玄- -胡克定律胡克定律6.1 轴力杆的变形与刚度例例6-16-1：一等直钢杆，横截面为一等直钢杆，横截面为b*h=10*20mm2 ，材料的，材料的弹性模量为弹性模量为200GPa。试计算（。试计算（1）每段的轴向线变形；）每段的轴向线变形；（2）每段的线应变；（）每段的线应变；（3）全杆的总伸长。）全杆的总伸长。解解（1）设左、右两段设左、右两段分别为分别为1、2段段25kN5kN20kN1m2mABC20kN5kN331 11320 101 10200 101020NF llEA 0.5mm332

7、 2235 102 10200 101020NF llEA 0.25mm 6.1 轴力杆的变形与刚度（2）计算线应变）计算线应变25kN5kN20kN1m2mABC20kN5kN6.1 轴力杆的变形与刚度1110.50.05%1000ll2220.250.0125%2000ll （3）全杆的总伸长为）全杆的总伸长为120.25mmlll 6.2 平面弯曲梁的变形与刚度一、横截面的挠度和转角一、横截面的挠度和转角二、积分法计算梁的变形二、积分法计算梁的变形三、叠加法求梁的位移三、叠加法求梁的位移一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，由于梁变形

8、后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角故横截面的转角 , ,就是挠曲线在该相应点的切线就是挠曲线在该相应点的切线与与x轴之间的夹角，从而有轴之间的夹角，从而有转角方程：转角方程：tan ( )dyxydxtan ( )xy小变形小变形 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。该截面处的切线斜率。PxAB( )yf x梁的挠曲线梁的挠曲线y6.2 平面弯曲梁的变形与刚度一、梁的挠曲线近似微分方程一、梁的挠曲线近似微分方程 在在3-53-5中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为情

9、况下中性层的曲率为1( )( )M xxEI数学方面数学方面23/2(1)yy 小变形情况条件下，小变形情况条件下， 与与1 1相比十分微小，可相比十分微小，可忽略，则忽略，则2()yy 纯弯曲纯弯曲( )EIyM x 6.2 平面弯曲梁的变形与刚度二、二次积分法求梁的位移二、二次积分法求梁的位移积分一次积分一次( )EIyM x ( )EIyM x dxC 再积分一次再积分一次( )EIyM x dxdxCxD 式中：式中：C、D为积分常数。为积分常数。 积分常数可由边界条件和连续条件确定。积分积分常数可由边界条件和连续条件确定。积分常数确定后，常数确定后，转角方程为转角方程为1( )yM

10、x dxCEI挠曲线方程为挠曲线方程为1( )yM x dxdxCxDEI6.2 平面弯曲梁的变形与刚度例例1 1 求图示悬臂梁求图示悬臂梁A点的挠度与转角。点的挠度与转角。EI= =常数。常数。解解: (1) 建立坐标系，列弯矩方程建立坐标系，列弯矩方程EIPxdxC( )M xPx (0)xl( )EIyM xPx (2) 列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程(3) 积分微分方程积分微分方程22xPC22xEIyPdxCxD36xPCxDxyxABlP6.2 平面弯曲梁的变形与刚度(4) 确定积分常数确定积分常数EIPxdxC22xPC22xEIyPdxCxD36xPCxD,xl边界条

11、件边界条件0,y 0代入，得代入，得22PlC 33PlD (5) 列转角方程和挠曲线方程列转角方程和挠曲线方程2222PxPlEIEI323623PxPlPlyxEIEIEIABxyxlP6.2 平面弯曲梁的变形与刚度(6) 求求A端得挠度和转角端得挠度和转角2222PxPlEIEI323623PxPlPlyxEIEIEI0 x ，22APlEI 33APlyEIA 为负值，说明为负值，说明A端截面绕中性轴逆时针转动；端截面绕中性轴逆时针转动；Ay 为正值，说明挠度向下。为正值，说明挠度向下。AyAyPABxxlA6.2 平面弯曲梁的变形与刚度例例2 2 求图示简支梁在均布荷载作用下的最大挠

12、度和最大转角。求图示简支梁在均布荷载作用下的最大挠度和最大转角。EI= =常数。常数。解解: (1) 建立坐标系，列弯矩方程建立坐标系，列弯矩方程211()22EIqxqlx dxC211( )22M xqlxqx(0)xlEIy (2) 列挠曲线近似微分方程列挠曲线近似微分方程(3) 积分微分方程积分微分方程3211()64EIyqxqlx dxCxDxqABxly2ql2ql21122qxqlx321164qxqlxC43112412qxqlxCxD6.2 平面弯曲梁的变形与刚度(4) 确定积分常数确定积分常数 321164EIqxqlxC43112412EIyqxqlxCxDABxxlq

13、y2ql2ql0,x 0,Ay 0By 324qlC 0D ,xl(5) 列转角方程和挠曲线方程列转角方程和挠曲线方程 332116424qlEIqxqlx34311241224qlEIyqxqlxx6.2 平面弯曲梁的变形与刚度(6) 求最大挠度和最大转角求最大挠度和最大转角 0,xxl及时424AqlEI4max5384qlyEI332116424qlEIqxqlx34311241224qlEIyqxqlxx/2,xlB maxymaxABxxlqy2ql2ql6.2 平面弯曲梁的变形与刚度积分法求梁变形的基本步骤：积分法求梁变形的基本步骤： 写出弯矩方程；写出弯矩方程； 若弯矩不能用一个

14、函数给出若弯矩不能用一个函数给出, ,要分段写出要分段写出; ; 由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数; ; 利用边界条件、连续条件确定积分常数利用边界条件、连续条件确定积分常数. .如果分如果分n 段写出弯矩方程，则有段写出弯矩方程，则有2n个积分常数。个积分常数。6.2 平面弯曲梁的变形与刚度三、叠加法求梁的位移三、叠加法求梁的位移 叠加原理：叠加原理：承受复杂载荷时，可分解成几种简承受复杂载荷时，可分解成几种简单载荷，利用简单载荷作用下的位移计算结果，叠单载荷，利用简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到复杂载荷作用下的挠度和转角。加后得到

15、复杂载荷作用下的挠度和转角。 适用条件：适用条件：材料服从胡克定律和小变形挠度和材料服从胡克定律和小变形挠度和转角均与载荷成线性关系转角均与载荷成线性关系6.2 平面弯曲梁的变形与刚度简单荷载作用下梁的转角和挠度简单荷载作用下梁的转角和挠度 maxBFABlxyf22BFlEI3max3FlfEIqyxlBABmaxf36BqlEI4max8qlfEIxyl/2l/2BAFPFlQF 图图Ml/2l/2PF /2/2FP4PF lM图/2qlFQ图qql82/2qlF2P2FP2ql2qll/2l/2l216ABFlEI 3max48FlfEIlqAByxPFlQF 图图Ml/2l/2PF /2/2FP4PF lM图/2qlFQ图qql82/2qlF2P2FP2ql2qll/2l/2l324ABqlEI 4max5384qlfEI叠加法计算梁的位移叠加法计算梁的位移(a)FABCEIl/2l/2(b)ABCl/2l/2qqFABCl