第6章 材料力学简单的超静定问题

1、1第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题6- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法6- -2 拉压超静定问题拉压超静定问题6- -3 扭转超静定问题扭转超静定问题6- -4 简单超静定梁简单超静定梁6- -1 超静定问题及其解法超静定问题及其解法. 关于超静定问题的概述(a)(b) 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。(a)(b) 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只

2、有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。 超静定问题：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA. 解超静定问题的基本思路例例1超静定结构解除“多余”约束静定基(例如杆3与接点A的连接)在静定基上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统12BCAF AFN3AA FN3ADA 331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 静

3、定基ABl补充方程为048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。位移相容条件Cq+CFC=0 相相当系统当系统ABl/2qlFC例例2超静定梁yxl/2l/2CABq. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰

4、支座为“多余”约束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq xyFA 2 21 10 0NNFFFx 0 00 03 32 21 1 FFFFFyNNNcoscos 6-2 6-2 拉压超静定问题拉压超静定问题CABDF 1 12 23 3CABDF 1 12 23 3xyFA CABD 1 12 23 33 3l A1 12 23 3 CABDF 1 12 23 3CABD 1 12 23 31 1l cos3 31 1ll 1 11 11 11 1EAlFlN 3 33 33 33 3AElFl cosN 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF C

5、ABDF 1 12 23 33 3l A1 12 23 3 1 1l 2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscos 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF 2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF 15 例题例题2 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力，并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。 解解: 1. 列平衡方程 有两个未知约束力FA , FB(见图a)，但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 为一次超静定问题。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静

6、定问题16 2. 取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b，它应满足相容条件BF+BB=0，参见图c，d。第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 3. 补充方程为 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB为正值，表示FB的指向与假设的指向相符，即向上。17得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相当系统(如图)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 联立求解 FA+FB-F=0第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 例例3 3 如图所示刚性梁如图所示刚性梁ABAB由由1 1，2 2，3 3杆悬挂，三杆的刚度杆悬挂，三杆的刚度均为均为EA。求。求P力作用

7、下三杆的轴力。力作用下三杆的轴力。解：解：0Y0AM（1）平衡方程：平衡方程：0321变形协调方程：变形协调方程：13232()LLLL11NF llEA 22NF llEA（2）物理方程：物理方程：33NF llEA（3）联解联解（1）（）（2）（）（3）式得：）式得：312613L3L2L1此时，变形协调条件为此时，变形协调条件为13232()LLLL注意：受力图与变形图必受力图与变形图必须一致！须一致！例例4 图示结构，图示结构，AB为刚性梁，为刚性梁，1、2两杆刚度相同。求两杆刚度相同。求1、2杆的杆的受力。受力。022cos30 021平衡方程平衡方程:变形关系变形关系:物理关系物理

8、关系:cos30 2211联立解出联立解出:3326 332421. 装配应力和温度应力(1) 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。 图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。(a)(b)求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，亦即杆3中的装配内力为eAAAA eAElF

9、AElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF(拉力）(a) 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为压力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF 例题例题5 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直径d =10 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即e=0.11 mm的铜杆3(图b)装

10、配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。 解解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这仍然是一次超静定问题。02 01NN3FFFx，(d)2. 变形相容条件(图c)为这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。ell313. 利用物理关系得补充方程：eAE

11、lFEAlF33N3N14. 将补充方程与平衡方程联立求解得： 所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。5. 各杆横截面上的装配应力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF（拉应力）（压应力）(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。 例题例题6 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高

12、t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。(a) 解解: : 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。 2. 以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形lt和“多余”未知力FN产生的缩短变形lF分别如图所示。3. 变形相容条件为4. 补充方程为5. 由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltltEAFlN6. 杆的横截面上的温度应力为tEAFlN 若该杆为钢杆而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，则当温度升高t =40时有MPa100 Pa10100

13、C40GPa10210C/102 . 1695tEl（压应力）tEAFlN6- -3 扭转超静定问题扭转超静定问题 例题例题6- -5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a) 解解: : 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是

14、两个扭转角的绝对值相等。BBMBMe另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 杆的AC段横截面上的扭矩为lbMMTAACe从而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例题例题6- -6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a) 解解: : 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb

15、(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为BbBa3. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 铜杆横截面上任意点的切应力为aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbppep 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量G

16、b，故铜杆和钢管在 = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。aaab6- -4 简单超静定梁简单超静定梁.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的静定基为A端固定的悬臂梁。静定基0BBBqww静定基在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)

17、所得的补充方程为03834EIlFEIqlB从而解得“多余”未知力qlFB83所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 28185qlMqlFAA，该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？ 例题例题6- -7 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。 解解: : 1. 该系统共有三个未知力(图b)

18、FN ,FB ,FC ，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。 2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=lDA。3. 物理关系(参见图c,d)为EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。1AA4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF 例题例题6- -8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。 解解: :