第5章 IIR数字滤波器的设计

1、2第第5章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计5.1 引言引言5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法5.4 双线性变换法双线性变换法5.5 数字高通、带通及带阻滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计5.6 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法5.7本章涉及的本章涉及的MATLAB函数函数本章学习要点本章学习要点p了解了解数字滤波器数字滤波器的基本概念、分类和的基本概念、分类和技术指标技术指标p掌握常用模拟低通滤波器的掌握常用模拟低通滤波器的频域特性频域特性p了解了解模拟滤波器的模拟滤波器的设计方法（设计方法（巴特沃斯模拟低通滤波器

2、巴特沃斯模拟低通滤波器）p掌握利用模拟滤波器设计数字滤波器的基本方法，包括掌握利用模拟滤波器设计数字滤波器的基本方法，包括脉脉冲响应不变法冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法的的基本思路基本思路、方法方法及及优缺点优缺点p了解了解IIR数字低通、高通、带通和带阻滤波器数字低通、高通、带通和带阻滤波器的设计步骤的设计步骤p了解了解IIR数字滤波器的相位均衡概念数字滤波器的相位均衡概念345.1 引言引言 滤波器滤波器，顾名思义，是，顾名思义，是指能够使输入信号中某些频率分指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的

3、一类系统。 根据对不同信号的处理，滤波器可分为：根据对不同信号的处理，滤波器可分为：p模拟滤波器模拟滤波器由硬件电路来实现；由硬件电路来实现；RCRR1RFC+-+p数字滤波器数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成所要求把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 55.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类1.经典滤波器和现代滤波器经典滤波器和现代滤波器p经典滤波器经典滤波器 信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一个线性系统可将个线性系统可将v(n)有效去除。

4、有效去除。)()()( jjjeHeXeY 加法性噪声加法性噪声)()()(nvnsnx 6p现代滤波器现代滤波器 信号和噪声频谱占据同一频段信号和噪声频谱占据同一频段，靠经典的滤波方法难以，靠经典的滤波方法难以去除噪声。去除噪声。 目标：目标：是是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特征或信号本身。征或信号本身。 种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器。滤波器。乘法性噪声乘法性噪声)()()(nvnsnx 卷积性噪声卷积性噪声)(*)()(nvnsnx 72.IIR和和FIR滤波器滤波器

5、 线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系统函数若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均为零，则均为零，则其其z反变换反变换 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 长度为长度为M+1的有限长序列的有限长序列 8 此时的系统称为有限长单位脉冲响应（此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。）系统。 反之，反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响应（应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。）

6、系统。3. .低通、高通、带通、带阻滤波器低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、）、高通（高通（HP，High Pass）、带通（）、带通（BP，Band Pass）和带）和带阻（阻（BS，Band Stop）四种类型。）四种类型。9注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别 数字滤波器的频率响应都是以数字滤波器的频率响应都是以2为周期的，滤波器的为周期的，滤波器的低通频带处于低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍的奇数倍附近。附近。pAFpDF1010

7、5.1.2 性能指标描述性能指标描述 滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般滤波器的指标通常在频域给出。数字滤波器的频响一般为复函数，表示为为复函数，表示为其中，其中， 称为称为幅频响应幅频响应， 称为称为相频响应相频响应。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 1.1.低通滤波器的性能指标低通滤波器的性能指标 通带截止频率通带截止频率 阻带截止频率阻带截止频率 通带通带 阻带阻带p s 1| )(|1j1eH2j| )(| eH通带通带（允许的）（允许的）最大最大衰减衰减| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻带

8、阻带（应达到的）（应达到的）最小最小衰减衰减均匀过渡 （1 1）通带下限、上限截止频率）通带下限、上限截止频率 、 ；（2 2）阻带截止频率（）阻带截止频率（ 、 ）；）；（3 3）通带频率处的衰减）通带频率处的衰减 和阻带频率处的衰减和阻带频率处的衰减 。122.2.带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标均匀过渡p1p2s1s2ps135.1.3 设计方法设计方法 设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤：设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤： 1. 确定所设计滤波器的技术指标。确定所设计滤波器的技术指标。 2.设计一个设计一个H(z)，使，使 3.用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。

9、用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH满足给定的满足给定的技术要求技术要求没有考虑相位没有考虑相位（1）零极点位置累试）零极点位置累试（2）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论（3）最优化设计）最优化设计IIR滤波器滤波器FIR滤波器滤波器数字数字IIR滤波器设计的具体步骤：滤波器设计的具体步骤：给定数字滤波器的技术指标给定数字滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标 （更多）（更多）spsp, 转换成模拟转换成模拟低通低通滤波器的技术指标滤波器的

10、技术指标 得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器spsp, 设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器 )(pG)(sH)z(H归一化归一化（原型原型）滤波器滤波器15第第5章章 IIR数字数字滤波器的设计滤波器的设计5.1 引言引言5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计5.3 脉冲响应不变法脉冲响应不变法5.4 双线性变换法双线性变换法5.5 数字高通、带通及带阻滤波器的设计数字高通、带通及带阻滤波器的设计5.6 IIR数字滤波器的直接设计法数字滤波器的直接设计法5.7本章涉及的本章涉及的M

11、ATLAB函数函数165.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 1. .为何要设计模拟低通滤波器？为何要设计模拟低通滤波器？ 由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。模拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。 2.常用的模拟滤波器常用的模拟滤波器 （1）巴特沃斯（）巴特沃斯（Butterworth）滤波器）滤波器 通带具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢。通带具有最大平坦度，但从通带到

12、阻带衰减较慢。01234-40-20001234-50517 （2）切比雪夫（）切比雪夫（Chebyshev）滤波器）滤波器 能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。能迅速衰减，但通带或阻带有波纹。 （3）椭圆（）椭圆（Ellipse）滤波器）滤波器 通带和阻带等波纹。通带和阻带等波纹。01234-40-20001234-50501234-80-60-40-20001234-50518 （4）贝塞尔（）贝塞尔（Bessel）滤波器）滤波器 着重相频响应，着重相频响应，通带内有较好的线性相位通带内有较好的线性相位。01234-40-30-20-10001234-50519 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方

13、函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 来表来表示，即示，即 由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应 是实函数，因而是实函数，因而 具有具有共轭对称性共轭对称性 ，所以，所以 由于由于Ha(s) 的零、极点共轭成对出现，的零、极点共轭成对出现， Ha(s)Ha(-s)的零、极点必成的零、极点必成象限对称象限对称。5.2.1 由幅度平方函数来确定传输函数由幅度平方函数来确定传输函数2| )(| jHa)()(| )(|*aa2a jHjHjH jssHsHjHjHjH| )()()()(| )(|aaaa2a)()(a*a jHjH)(a jH)(tha20 由由 确定确定Ha(s) 的方法的方法

14、 1）由）由 得到象限对称的得到象限对称的s平面函数；平面函数； 2）将将 Ha(s)Ha(-s) 因式分解，得到各个零点和极点；因式分解，得到各个零点和极点； 极点选择极点选择：为稳定，选择左半平面的极点作为：为稳定，选择左半平面的极点作为Ha(s)的的极点，右半平面作为极点，右半平面作为Ha(-s)的极点；的极点； 零点选择零点选择：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半：没有特殊要求，可将对称零点的任意一半分配给分配给Ha(s)；如果要求最小相位延时特性，则；如果要求最小相位延时特性，则Ha(s)的零点的零点取左半平面。取左半平面。 3）按照按照 与与Ha(s)的低频特性的对比，或高频特性

15、的低频特性的对比，或高频特性的对比，确定出增益常数的对比，确定出增益常数K0； 2| )(| jHa)()(| )(|aa2a22sHsHjHs )( jHa21 4）由）由zeros、poles、K0 得得 例例5-1 给定滤波器的幅度平方函数给定滤波器的幅度平方函数 求具有最小相位特性的传输函数求具有最小相位特性的传输函数 。 )()()()()(n10m100pspspszszszsKsHa )9)(4()1(4| )(|22222 jHa)(sHa22 解：解：由于由于 是非负有理函数，它在是非负有理函数，它在j轴上的零轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，将点是偶次的，所以

16、满足幅度平方函数的条件，将 代代入入 的表达式，可得的表达式，可得其极点为其极点为 ， ；零点为；零点为 （皆为二阶，位于虚（皆为二阶，位于虚轴上）轴上） 为了系统稳定，选择左半平面极点为了系统稳定，选择左半平面极点s=2，s=3及一对虚及一对虚轴轴共轭零点共轭零点s=j作为其零、极点，并设增益常数为作为其零、极点，并设增益常数为K0，则则2| )(| jHajs/ 2| )(| jHa)3)(3)(2)(2()1()9)(4()1()()(222222 sssssssssHsHaa2 s3 sjs 23 按照按照 和和 的低频特性或高频特性的对比可以的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数

17、。在这里我们采用低频特性，即由确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由 可得增益常数可得增益常数 ，因此，因此)3)(2(1)(20 sssKsHa)(sHa)( jHa00| )(| )( jHsHasa20 K)3)(2(22)(2 ssssHa245.2.2 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器 1.表达式表达式 3dB处的截止频率处的截止频率 在在=0=0处有最平响应。处有最平响应。NNjH2p22c2a)/(11)/(11| )(| c 25 2.求求和和N 1）p，p 2） s，s N)1lg(10)/(11lg10| )(|lg102222a NppjH1101 . 0 p )

18、/(1lg102ps2sN ps21 . 0/lg2110lgs N（若若p=3dB，=1）26 3. .由由 求求Ha(s) 令令 ，归一化变量归一化变量求极点，令求极点，令 k = 0，1，2N-1 2| )(| jHaNNjsNssHsH2p2/2p2aa)/()1(11)/(11)()( jssHsHjH| )()(| )(|aa2ap spNNppHpH22aa)1(11)()( 0)1(122 NNp NkjjNkeep2)12(21 27选取选取左半平面左半平面的极点作为的极点作为Ha(p) 的极点的极点 k = 0，1，N-1把把 代入代入Ha(p) 得到实际的得到实际的Ha(

19、s) 步骤步骤： 求求；求求N；求求Ha(p) ；NkjjNkeep2)12(21 )()(1)(1N10a pppppppHp sp)()(| )()(p1Np1p0Npaap pspspspHsHspp| )()(aa sppHsH28例例5-2 设计一个巴特沃斯设计一个巴特沃斯LPF，kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 2930 4.巴特沃思滤波器的图表法设计巴特沃思滤波器的图表法设计（1）将）将 、 进行归一化处理，得到进行归一化处理，得到 、（2）由图）由图5-5，得阶数，得阶数Np s p s 1ppp 1pss 00.20.40.60.81-3-2.5-2-1.5

20、-1-0.50246810-100-80-60-40-200通通带带内内衰衰减减阻阻带带内内衰衰减减kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 一般以一般以 为为参考频率进行参考频率进行归一化归一化p31（3）查表，得）查表，得H(p)的分母多项式的分母多项式32（4）去归一化）去归一化例例5-3 利用图表法设计例利用图表法设计例5-2所述的巴特沃斯滤波器。所述的巴特沃斯滤波器。csppHsH /| )()(33 5.巴特沃思滤波器的巴特沃思滤波器的MATLAB实现实现 在在MATLAB信号处理工具箱中，与信号处理工具箱中，与Butterworth滤波器滤波器相关的有三个函数：相关的有

21、三个函数：buttord(), buttap(), butter() （1）n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)，求出给定通带，求出给定通带截止频率截止频率wp、阻带截止频率、阻带截止频率ws、通带最大衰减、通带最大衰减Rp、阻带、阻带最小衰减最小衰减Rs条件下，所需要的最小条件下，所需要的最小Butterworth模拟滤波模拟滤波器阶数器阶数n和和3dB截止频率截止频率wn。 （2）模拟低通原型滤波器设计函数）模拟低通原型滤波器设计函数buttap，调用格式，调用格式为为z,p,k=buttap(n)，其中参数，其中参数z、p、k分别为滤波器的零分别为滤波器的零点、极点和增

22、益。点、极点和增益。34 （3）Butterworth滤波器完全设计函数，调用格式为滤波器完全设计函数，调用格式为b,a=butter(n,wn,ftype,s)，其中，其中ftype为滤波器类型，为滤波器类型，缺省时表示低通或带通滤波器。缺省时表示低通或带通滤波器。b、a分别为滤波器传输函分别为滤波器传输函数分子、分母多项式系数向量。数分子、分母多项式系数向量。 例例5-4 利用利用MATLAB实现下述巴特沃斯实现下述巴特沃斯滤波器。滤波器。解解 MATLAB实现程序如下：实现程序如下：wp=1; ws=2; Rp=3; Rs=20;%计算满足性能指标的滤波器阶数计算满足性能指标的滤波器阶数

23、n和和3dB截止频率截止频率wnn,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 35%设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益设计模拟低通原型滤波器，传输函数为零点、极点和增益形式形式z,p,k=buttap(n) %采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、采用另一种方法设计模拟低通滤波器，传输函数为分子、分母多项式形式分母多项式形式b,a=butter(n,wn,s)%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,2*ws);%绘图绘图plot(w,db,k);axi

24、s(0,2*ws,-50,1);grid on;36仿真曲线仿真曲线kHz5p fkHz10s fdB3p dB20s 410psp课后作业课后作业p设计一个模拟巴特沃思低通滤波器，通带截止频设计一个模拟巴特沃思低通滤波器，通带截止频率率750Hz，通带内衰减不大于，通带内衰减不大于 3dB，阻带最低频，阻带最低频率为率为 1600Hz，阻带内衰减不小于，阻带内衰减不小于 7dB。37385.3脉冲响应不变法脉冲响应不变法1.变换原理变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波模仿模拟滤波器的冲激响应器的冲激响应ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采

25、样值的采样值，即即h(n)ha(nT)。 设模拟滤波器的传输函数设模拟滤波器的传输函数Ha(s)只有单阶极点，只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数，则且分母的阶数高于分子阶数，则 其拉普拉斯反变换其拉普拉斯反变换 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(39 对对ha(t)采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为为 对对h(n)取取z变换，即得到数字滤波器的系统函数变换，即得到数字滤波器的系统函数 可见，可见，s平面的极点平面的极点si映射到映射到z平面的极点平面的极点 而对应系数不变。而对应系数不变。 NinTsianTueAn

26、Thnhi1)()()( NiTsizeAzHi111)(Tsie40 例例5-5 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器变换为数字滤波器 ，采样周期，采样周期 。 解：模拟滤波器的传输函数解：模拟滤波器的传输函数极点：极点： ， 。 因此，所求数字滤波器的系统函数为因此，所求数字滤波器的系统函数为2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH41 目的：目的：研究研究h(n)的的z变换与变换与ha(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换之间的关系之间

27、的关系 设模拟滤波器的单位冲激响应设模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)经理想采样经理想采样后的采样信号为后的采样信号为则则2对脉冲响应不变法的进一步讨论对脉冲响应不变法的进一步讨论)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh 比较序列比较序列h(n)的的Z变换变换 ,可得可得 nnnhHz )()z()(| )z(azsTsHHe 42s与与z的的关系关系)z(| )(1zln1saHjksHTTsk 或或时域采样定理时域采样定理H(z)与与Ha(s)的周期延拓建立

28、了关联！的周期延拓建立了关联！ ksaajkjHTjH)(1)(由于由于 ksaajksHTsH)(1)(代入，得代入，得 js将将 kejksHTHsT)(1| )z(saz因此因此433s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系Ter T sTez jre z js 令令得得，TjTjeere 因此因此讨论：讨论：（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虚轴虚轴映射为映射为z平面平面的的单位圆单位圆。44讨论：讨论：（2）0，r0，r1。表明。表明s左半平面左半平面映射映射为为z平面的平面的单位圆内部单位圆内部，而，而s右半平面右半平面则映射为则映射为z平平面面单位圆外部单位圆外部。Te

29、r T 45讨论：讨论：（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 Ter T s平面上每一条宽为平面上每一条宽为2/T的横条，都将重叠的的横条，都将重叠的映射到整个映射到整个z平面上。平面上。脉冲响应不变法不是从脉冲响应不变法不是从s平面平面到到z平面的简单代数映射关系。平面的简单代数映射关系。 464频率混叠效应频率混叠效应 根据时域采样理论，采样序列根据时域采样理论，采样序列h(n)的的z变换与模变换与模拟信号拟信号ha(t)的拉普拉斯变换之间满足如下关系的拉普拉斯变换之间满足如下关系 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( kajkTjTjHTeH)2(1)( 与时域采样定

30、理吻合！与时域采样定理吻合！ jsT 将将 和和 代入得数字滤波器的频率响应代入得数字滤波器的频率响应数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。47图图5-11 脉冲响应不变法中的频率混叠现象脉冲响应不变法中的频率混叠现象48 只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于折叠频率以内，即折叠频率以内，即有有 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。的频率响应而不产生混叠失真。TjHa | ,0)(TTjHTeHaj | ,)(1)( 49 但是，

31、任何一个实际的模拟滤波器，其频响都但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠失真。失真。 答：答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰减越大时，混叠失真就越小。减越大时，混叠失真就越小。 问题：问题：要求混叠要求混叠失真小，对模拟滤波失真小，对模拟滤波器的频响有何要求？器的频响有何要求？ 混叠混叠TTfs )(505优缺点优缺点优点：优点： 1）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，所以滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好

32、时域逼近良好。 2）频率变化是线性关系频率变化是线性关系=T，频率特性形，频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）。缺点：缺点： 会产生会产生频率混叠现象频率混叠现象。只适合带限滤波器（如。只适合带限滤波器（如低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。波器的设计。51 例例5-6 利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率沃思低通滤波器，通带截止频率fp=0.1kHz，通带最，通带最大衰减大衰减Rp=1dB，阻带截止频率，阻带截

33、止频率fs=0.3kHz，阻带最小，阻带最小衰减衰减Rs=10dB。研究不同采样频率对所设计数字滤。研究不同采样频率对所设计数字滤波器频率响应的影响。设采样频率波器频率响应的影响。设采样频率fs分别取分别取1kHz，2kHz，4kHz。52运行结果运行结果 53545.4双线性变换法双线性变换法551.变换原理变换原理 先先将将s平面压缩成平面压缩成s1平面上一个宽度为平面上一个宽度为2/T的水的水平带状区域平带状区域， 然后然后通过通过z=es1T将这个带状区域映射到整个将这个带状区域映射到整个z平平面面，实现，实现s平面到平面到z平面的单值映射。平面的单值映射。5657引入正切变换引入正切

34、变换 将将s平面的虚轴平面的虚轴变换到变换到s1平面虚轴平面虚轴/T之间之间 延拓到整个延拓到整个s平面和平面和s1平面，令平面，令 ， ，则得则得221TtgT 222211111122cos2sin2TjTjTjTjeeeeTTTjTj js11 jsTsTseeT11112 222211112TsTsTsTseeeeT s58 这种这种s平面单值映射为平面单值映射为z平面的映射关系称作平面的映射关系称作双双线性变换法线性变换法。11112 zzTsTsTseeTs11112 简单的代数关系简单的代数关系 sTsTz /2/2或或Tsez1 再将再将s1平面映射到平面映射到z平面，应用平面

35、，应用 ，从而实，从而实现了现了s平面到平面到z平面的单值映射。平面的单值映射。 59 用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应模拟滤波器的系统函数应模拟滤波器的系统函数Ha(s)后，后，只要将相应的变只要将相应的变换关系代入换关系代入Ha(s)，即可得到数字滤波器的系统函数即可得到数字滤波器的系统函数11z1z12a| )()z( TssHH602.模拟频率和数字频率之间的关系模拟频率和数字频率之间的关系 s平面上平面上与与z平面的平面的成成单值映射单值映射非线性正切非线性正切关系（关系（可以避免混叠可以避免混叠），在零频附近，），在零频附近，和和变

36、换变换关系近似于线性，关系近似于线性，随着随着的增加，表现出严重非线的增加，表现出严重非线性性 （频率失真频率失真）。）。2tan22tan21 TTT 613.优缺点优缺点优点：优点： 消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。缺点：缺点： 与与之间呈非线性关系，引入了非线性频率之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。失真。624.4.双线性变换法中的频率失真双线性变换法中的频率失真 由频率之间的非线性变换关系引起。由频率之间的非线性变换关系引起。图图5-15 理想微分器经双线性

37、变换后幅频响应产生畸变理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变 63sspp 64 双线性变换法适合双线性变换法适合分段常数分段常数特性滤波器的设特性滤波器的设计。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数计。分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生型数字滤波器，但临界频率点产生畸变畸变。 这种频率的畸变，可通过频率的这种频率的畸变，可通过频率的预畸预畸加以校正加以校正。655.5.预畸变预畸变 模拟滤波器的模拟滤波器的临界频率临界频率p，如按线性变换关系，如按线性变换关系=T，应该变换到应该变换到数字频率数字频率p。但双线性变换法的频率变换是。但双线性变换法的频率

38、变换是按按=2arctan(T/2)的曲线进行的，所以实际变换到的曲线进行的，所以实际变换到p ，这就是这就是畸变畸变。 由于从由于从p变不到变不到p ，可，可以设想，以设想，一开始就把目标一开始就把目标修正为修正为p，而不是，而不是p ，这样，双线性变换后，这样，双线性变换后， p正好正好“畸变畸变”到到p 。 66 例例5-7：设计一个一阶巴特沃思数字低通滤波器，其通设计一个一阶巴特沃思数字低通滤波器，其通带截止频率为带截止频率为200Hz，通带最大衰减为，通带最大衰减为3dB，采样频率为，采样频率为1000Hz。 67 例例5-7：巴特沃思数字低通，通带截止频率为巴特沃思数字低通，通带截

39、止频率为200Hz，通，通带最大衰减为带最大衰减为3dB，采样频率为，采样频率为1000Hz。 68 预畸变就是预畸变就是将临界模拟频率事先加以畸变将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。后正好映射到所需要的数字频率上。 “ “预畸预畸”方法：先由方法：先由p按线性变换关系求出按线性变换关系求出p (=T)，再代入式再代入式 ，求出，求出 。2tanT2 2tanT22tanT2pppT69 例例5-8 已知已知fp=0.3kHz，Rp=1dB，fs=0.2kHz，Rs=20dB，T=1ms, 利用双线性变换法设计一个利用双线性变换法设计一个Cheby

40、shev I 型数字高通滤波器。型数字高通滤波器。 解解 MATLAB实现程序如下：实现程序如下：Rp=1;Rs=20;T=0.001;fp=300;fs=200;wp=2*pi*fp;ws=2*pi*fs;%预畸变预畸变wp1=(2/T)*tan(wp*T/2);ws1=(2/T)*tan(ws*T/2);70%设计模拟滤波器设计模拟滤波器n,wn=cheb1ord(wp1,ws1,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,Rp,wn,high,s); %双线性变换双线性变换bz,az=bilinear(b,a,1/T); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);

41、plot(w/pi,db);axis(0,1,-30,2)7100.20.40.60.81-30-20-10072 例例5-9： ， ， ， ，T=1ms；用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一；用脉冲响应不变法和双线性变换法设计一个个Butterworth数字低通滤波器。数字低通滤波器。 仿真波形：仿真波形： 思考：思考：图中哪条曲线为双线性变换法所设计滤波器的频图中哪条曲线为双线性变换法所设计滤波器的频率响应，为什么？率响应，为什么？ 2 . 0p 6 . 0s dBR1p dBR25s 0100200300400500600700800-40-35-30-25-20-15-10-50Frequency (Hz)Magnitude (dB)Magnitude Response Comparison735.利用利用AF设计设计IIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤 1 .确定数字低通滤波器（确定数字低通滤波器（LPDF）的性能指标）的性能指标;2 .将将LPDF指标转换为指标转换为LPAF的性能指标（主要指的性能