第5章 特征值的估计与广义逆矩阵

1、 5.1 特征值的界的估计特征值的界的估计5.2 圆盘定理圆盘定理5.3 谱半径的估计谱半径的估计5.4 广义逆矩阵与线性方程组的解广义逆矩阵与线性方程组的解5.5 广义逆矩阵广义逆矩阵A+ 矩阵的矩阵的特征值的估计特征值的估计与与广义逆矩阵广义逆矩阵是矩阵理论是矩阵理论中两个不同的专门课题，两者都有丰富的内容和许多中两个不同的专门课题，两者都有丰富的内容和许多重要的应用重要的应用. 在本章，仅就这两方面的内容作一基本在本章，仅就这两方面的内容作一基本概述概述.矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中矩阵特征值的计算与估计在理论上和实际应用中都是重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，都是

2、重要的，但要精确计算特征值并非总是可能的，即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是即使在某些特殊情况下有可能，可是付出的代价也是很大的好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特很大的好在许多应用中并不需要精确计算矩阵的特征值，而征值，而只需要有一个粗略的估计只需要有一个粗略的估计就够了就够了. 例如，在线例如，在线性系统理论中，通过估计系统矩阵性系统理论中，通过估计系统矩阵A的特征值是否有负的特征值是否有负实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的实部，便可判定系统的稳定性；当研究一个迭代法的收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位收敛性时便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内

3、；在差分方法的稳定性理论以及自控理论中都需圆内；在差分方法的稳定性理论以及自控理论中都需要估计矩阵的特征值是否在复数平面上的某一确定的要估计矩阵的特征值是否在复数平面上的某一确定的区域中区域中.本章要讨论的另一个问题是广义逆矩阵方面的问题本章要讨论的另一个问题是广义逆矩阵方面的问题. 我我们知道，若方阵们知道，若方阵A的行列式不等于零，则存在唯一的方阵的行列式不等于零，则存在唯一的方阵B，满足满足AB=BA=E，并称，并称B为为A的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为A- -1. 当当A不是方不是方阵，或方阵阵，或方阵A的行列式等于零时，则上述的逆矩阵就不存在的行列式等于零时，则上述的逆矩阵就不存在.

4、Moore在在1920年将逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，他是用年将逆矩阵的概念推广到任意矩阵上，他是用正交投影算子来定义逆矩阵的，人们把他定义的广义逆矩正交投影算子来定义逆矩阵的，人们把他定义的广义逆矩阵称为阵称为Moore广义逆广义逆. 1955年，年，Penrose用方程组用方程组AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H= GA.来定义来定义A的的广义逆广义逆. 不久以后，不久以后，Bjerhammer证明了证明了Moore逆逆与与Penrose逆的等价性，所以后来吧它叫做逆的等价性，所以后来吧它叫做MoorePenrose逆，并记为逆，并记为A+ +. 此后，对广义逆矩阵的研

5、究又有很大的发展，此后，对广义逆矩阵的研究又有很大的发展，现已形成了一现已形成了一套系统的理论套系统的理论. . 这里主要介绍这里主要介绍1515种广义逆矩种广义逆矩阵中较阵中较常用的常用的A- -及及A+ +两种两种，其它就不一一介绍了，其它就不一一介绍了. . 上节介绍了利用矩阵的元素估计矩阵特征值的界，本节上节介绍了利用矩阵的元素估计矩阵特征值的界，本节介绍利用矩阵的元素更准确地估计其特征值在复平面上的分介绍利用矩阵的元素更准确地估计其特征值在复平面上的分布区域，即特征值在复平面上的位置做更准确地估计布区域，即特征值在复平面上的位置做更准确地估计 这就这就是圆盘定是圆盘定理理(又称又称Gerschgorin定理定理)所表述的所表述的.下面的两个定理都称为圆盘定理下面的两个定理都称为圆盘定理. 取行盖尔圆的并集与列盖尔圆的