第4章 波动方程的积分解

1、第第 4 章章 波动方程的积分解波动方程的积分解 第3章 基本波函数n*3.1 标量波函数n *#3.2 平面波，柱面波和球面波用标量基本波函数展开 n 3.3 理想导电圆柱对平面波的散射n 3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射n 3.5 理想导电劈对柱面波的散射n 3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射n 3.7 理想导电圆球对平面波的散射n 3.8 理想导电圆球对球面波的散射n*3.9 分层媒质上的电偶极子n*3.10 矢量波函数第4章 波动方程的积分解n*4.1 非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解n*4.2 非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解n4.3 辐射场与辐射矢量n4.4 口径衍射场n*4.5 电场

2、和磁场的积分方程背景n电磁波问题的求解，都可以归结为求解齐次或非齐次标量或矢量波动方程。对这类二阶偏微分方程，一般可以采用微分法和积分法。解的表达式主要分为级数形式和积分形式。n上一章介绍的解法就是采用微分法，将解用波函数波函数表示为级数形式。本章介绍积分法，将解表示为积分形式。 4.1 非齐次标量标量亥姆霍兹方程的积分解n在电磁波问题中，有源区的时谐电磁场或矢量位函数的直角坐标分量或德拜位满足非齐次标量亥姆霍兹方程 惠更斯原理绕射场(衍射场)4.2 非齐次矢量矢量亥姆霍兹方程的积分解 4.3 辐射场和辐射矢量辐射场和辐射矢量对于源分布在无限大均匀空间区域中的情况，电磁场仅由源确定，如果已知源

3、分布，电磁场可由式(4-24)中通过对源的体积分计算。本节讨论式(4-24)在远区的近似表示式。将式(4-24)重写如下： ( )( )( )mVjggg dVE rJ rJr (4-24a) ( )( )( )( )mmVjggg dVrH rJ rJr (4-24b) 因Jj , 式(4-24a)可改写为 21( )( )( )( )mVkjgdVj E rJ rJrJ r (4-26) 对于上式积分中的第三项，因 ( )( )xyzggggxyz J rJ reee 其中 ( )( )( )gggxxx J rJ rJ r ( )( )( )gggyyy J rJ rJ r ( )( )

4、( )gggzzz J rJ rJ r 以及 ( )( )VSggdVdSxx J rJ r 如果电流在有限区域，总可取积分区域包含电流分布区域，并使上式右边的积分曲面上电流为零，从而使上式积分也为零。因此 21( )( )( )( )mVkjgdVj E rJ rJrJ r (4-27) 如果场点在远区，即Rrr，上式被积函数中对自由空间格林函数的运算可以简化。 因为 1()4jkRRegjkgRR e 2231133()xkkgjkjxxgxRRRRR Ree 2231133()ykkgjkjyygyRRRRR Ree 2231133()zkkgjkjzzgzRRRRR Ree 所以 2(

5、 )1131()()1xyzrgJgJgJgxyzjkkjkgRRRRgjkgR RRRRmmRJJJ eeJ eeJJe 对于辐射场，仅保留1/ R项，得： 221( )( )( )( )mRRVkkkgdVjRE rJ rJ reeJre (4-28) 我们常将波源周围的空间由近及远分为近区，中区和远区近区，中区和远区，它们也分别称为电抗区，菲涅尔区和夫琅和费区。对于远区，也就是夫琅和费区，取以下近似： Rrrr e 11Rr Re re 则辐射电场为 ( )( )( )( )4jkjkrmrrrVjeedVr rr eE rJ rJ reeJre (4-29) 同理可得辐射磁场为 ( )

6、( )( )( )4jkjkrmmrrrVjeedVr rr eH rJrJreeJ re (4-30) 定义辐射矢量 ( )jkVedVrr eLJ r (4-31) ( )jkmVedVrr eNJr (4-32) 在圆球坐标系中，辐射矢量可用其分量表示为 rrLLLLeee (4-33) rrNNNNeee (4-34) 远区辐射电场式(4-29)可用辐射矢量的分量简洁的表示为 4jkrEjeLNr (4-34a) 4jkrEjeLNr (4-34b) 式中 ( )jkVLJr edVrr e (4-35a) ( )jkVLJr edVrr e (4-35b) ( )jkmVNJr edVrr e (4-35c) ( )jkmVNJr edVrr e (4-35d) 4.4 口径衍射场口径衍射场(自习自习)n衍射现象是波动过程中当波遇到如孔、缝隙待障碍物的线度与波长可以比拟时所发生的不籤几何光学规律的现象。衍射现象用几何光学不能解释。关于光波衍射的最早的理论就是惠更斯原理，其数学开工是标量基尔霍夫公式。但是，对于电磁波的衍射问题，波的矢量不能被 忽略。计算电磁波的衍射可利用Stratton-Chu公式得到的矢量基尔霍夫公式 S V J A Jm 图4-4 口径衍射4.5 电场和磁场积分方