第4章 电磁波的传播

1、1第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播在迅变情况下，电磁场以波动形式存在变化在迅变情况下，电磁场以波动形式存在变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波的电磁波由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容展为独立的学科，具有十分丰富的内容2 无界空间中平面电磁波传播的主要特性无界空间中平面电磁波传播的主要特性 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射 有导体存在时的电磁波传播

2、问题有导体存在时的电磁波传播问题 有界空间的电磁波有界空间的电磁波 在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播在激光技术有重要应用的电磁波狭窄波束的传播 等离子体的基本电磁现象等离子体的基本电磁现象主要内容：主要内容：31 平面电磁波平面电磁波一种最基本的交变电磁场：一种最基本的交变电磁场：平面电磁波平面电磁波1. 电磁波动方程电磁波动方程一般情况下，电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组一般情况下，电磁波的基本方程是麦克斯韦方程组0BEtDHJtDB 4在自由空间中，电场和磁场互相激在自由空间中，电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律是齐次的麦发，电磁场的运动规律是齐次的麦克斯韦方程组（克斯韦方程组

3、（ =0, J=0情形）情形）00BEtDHtDB 真空情形真空情形: D= 0E, B= 0H 0022EEB tt 22EEEE 0E 代入上述得电场代入上述得电场E的偏微分方程的偏微分方程220020EEt 0 5同样，可得磁场同样，可得磁场B的偏微分方程的偏微分方程220020BBt 001c 令令222222221010EEctBBct 波动方程，其解包括各种形式的波动方程，其解包括各种形式的电磁波，电磁波，c是电磁波在真空中的传是电磁波在真空中的传播速度播速度在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波波，如无线电波、

4、光波x射线和射线和 射线等）都以速度射线等）都以速度c传播，传播，c是最基本的物理常量之一是最基本的物理常量之一6介质情形介质情形: 研究介质中的电磁波传播问题时，必须研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出给出D和和E以及以及B和和H的关系当以一定角频率的关系当以一定角频率 作作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即波，介质的电容率是不同的，即 和和 是是 的

5、函数的函数 , 和和 随频率而变的现象随频率而变的现象介质的色散介质的色散由于色散，关系式由于色散，关系式D(t)= E(t)不成立因此在介质不成立因此在介质内，不能够推出内，不能够推出E和和B的一般波动方程的一般波动方程.见第七章见第七章67 2时谐电磁波时谐电磁波 在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率定的频率作正弦振荡，辐射出的电磁波以相同频率作正弦振荡作正弦振荡例如无线电广播或通讯的载波，激光例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波这种以一定器辐射出的光束等，都接近于正

6、弦波这种以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）（单色波）在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（以用傅里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加解为不同频率的正弦波的叠加8设角频率为设角频率为 ，电磁场对时间的依赖关系是，电磁场对时间的依赖关系是cos t，或用复数形式表为或用复数形式表为 ,i ti tB x tB x eE x tE x e E(x)表示抽出时间因子表示抽出时间因子e-i t以后的电场强度以后的电场强度在一定频率下，有在一定频

7、率下，有D= 0E, B= 0H，把上式代入麦氏，把上式代入麦氏方程，消去共同因子方程，消去共同因子e-i t 后得后得00EiHHiEEH 注意：这组方程不是独立的注意：这组方程不是独立的 : 0, 0EH 0, 0HE ：9取第一式旋度并用第二式得取第一式旋度并用第二式得 2EE 22EEEE 220, Ek Ek 0E 因为因为解出解出E后，磁场后，磁场B可由第一式求出，可由第一式求出，iiBEEk 亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一

8、种每一种可能的形式称为一种波模波模亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程10概括起来，麦氏方程组化为以下方程：概括起来，麦氏方程组化为以下方程：2200Ek EEiBE 亥姆霍兹方程的每一个满亥姆霍兹方程的每一个满足足E=0的解都代表一种的解都代表一种可能存在的可能存在的波模波模类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为类似地，也可把麦氏方程组在一定频率下化为2200Bk BBiiEBBk 113 3平面电磁波平面电磁波按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同形式可以有各种不同形式例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或例如从广播天线发射出的球面波，沿

9、传输线或波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束波导走向传播的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解等，其场强都是亥姆霍兹方程的解下面讨论一种最基本的解，它是存在于全空间下面讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的中的平面波平面波12设电磁波沿设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与轴方向传播，其场强在与x轴正交的平轴正交的平面上各点具有相同的值，即面上各点具有相同的值，即E和和B仅与仅与x，t有关，而有关，而与与y，z无关这种电磁波称为平面电磁波，其波阵无关这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面轴正交的平面 2220dE

10、 xk E xdx 亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程：它的一个解：它的一个解： 0ikxE xE e 场强的全表示式：场强的全表示式： 0,i kxtE x tE e 13因此，只要因此，只要E0与与x轴垂直，代表一种可能的模式轴垂直，代表一种可能的模式以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理解为只取在的场强应理解为只取实数实数部分，即部分，即 0,cosE x tEkxt 由条件由条件E=0得得 ，即要求，即要求 ,0 xikeE x t ,xE x te 0E电场的振幅电场的振幅 i kxte 波动的

11、相位因子波动的相位因子14相位因子相位因子cos(kx- t)的意义的意义t=0时，相位因子是时，相位因子是 coskx，x0的平面处于波的平面处于波峰峰在另一时刻在另一时刻 t，相因子变为，相因子变为cos(kx- t)波峰移至波峰移至kx- t处，即移至处，即移至x= t/k的平面上的平面上.其其相速度相速度：1dxvdtk 0,i kxtE x tE e 表示一个沿表示一个沿x轴方向传播的平面波轴方向传播的平面波因此因此15真空中电磁波的传播速度为真空中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为001c rrc 式中式中 r和和 r分别代表介质的相对电容率和相对磁

12、分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是频率导率，由于它们是频率 的函数，因此在介质中的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质不同频率的电磁波有不同的相速度，这就是介质的的色散色散现象现象16 0,i kxtE x tE e 选择了一个特殊坐标系，选择了一个特殊坐标系，x轴沿电磁波传播方向轴沿电磁波传播方向在在一般坐标系一般坐标系下平面电磁波的表示式是下平面电磁波的表示式是 0,i k xtE x tE e k 式中式中k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为k 17在特殊坐标系下，当在特殊坐标系下，当k的方向的方向取为取为x

13、轴时，有轴时，有k xkx， 0,i kxtE x tE e 图示表示沿图示表示沿k方向传播的平方向传播的平面电磁波面电磁波PSk xzyox x 0,i k xtE x tE e 取垂直于矢量取垂直于矢量k的任一平面的任一平面S，设，设P为此平面上的任为此平面上的任一点，位矢为一点，位矢为x，则，则kxkx ，x为为x在矢量在矢量k上的上的投影，在平面投影，在平面S上任意点的位矢在上任意点的位矢在k上的投影都等上的投影都等于于x，因而整个平面，因而整个平面S是等相面是等相面18 0,i k xtE x tE e k称为波矢量，其量值称为波矢量，其量值k称为称为园园波数波数. 沿电磁波传播沿电

14、磁波传播方向相距为方向相距为 x=2 /k的两点有相位差的两点有相位差2 ，因此因此 x是是电磁波的波长电磁波的波长 2k 对上式必须加上条件对上式必须加上条件E=0才得到电磁波解才得到电磁波解 00 i k xti k xtEEeik E eik E 因此因此0k E 表示电场波动是横波表示电场波动是横波, E可在垂直可在垂直于于k的任意方向上振荡的任意方向上振荡.矢量矢量k方向传播的平面波方向传播的平面波2 弧度的波长数弧度的波长数19E的取向称为电磁波的的取向称为电磁波的偏振偏振方向可选与方向可选与k垂直的任垂直的任意两个互相正交的方向作为意两个互相正交的方向作为E的两个独立偏振方向的两

15、个独立偏振方向因此，对每一波矢量因此，对每一波矢量k，存在，存在两个独立两个独立的偏振波的偏振波平面电磁波的磁场平面电磁波的磁场 0i k xtEeEikE kBEnEk n为传播方向的单位矢量由上式得为传播方向的单位矢量由上式得k B=0，因此，因此磁场波动也是磁场波动也是横波横波20E、B和和k是三个互相正交的矢量是三个互相正交的矢量E和和B同相，振幅同相，振幅比为比为1EvB 在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为001EcB （用（用高斯单位制高斯单位制时，此比值为时，此比值为1，即电场与磁场量，即电场与磁场量值相等）值相等）21概括平面电磁波的特

16、性如下概括平面电磁波的特性如下 电磁波为横波电磁波为横波, E和和B都与传播方向垂直；都与传播方向垂直； E和和B互相垂直，互相垂直，E B沿波矢沿波矢k方向；方向； E和和B同相，振幅比为同相，振幅比为v平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所示随着时间的推移，整个波形向如图所示随着时间的推移，整个波形向x轴方向轴方向的移动速度为的移动速度为rrvc 224电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流电磁场的能量密度电磁场的能量密度 2211122wE DH BEB 在平面电磁波情形在平面电磁波情形221EB 平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，

17、有平面电磁波中电场能量和磁场能量相等，有221wEB 1EvB 23平面电磁波的能流密度平面电磁波的能流密度 2 SEHEnEE n 1Swnvwnwv v为电磁波在介质中的相速为电磁波在介质中的相速24由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入场强的复数表示直接代入.例如：例如：Eaib E的物理有意义部分为的物理有意义部分为a，22SEa若直接代入：若直接代入： 22Saibaibab 减少了减少了b2 22020cos1 1cos22wEk xtEk xt 计算计算 和和S的瞬时值时，应把的瞬时值时，应把实数实数表示代入

18、表示代入25为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式设公式设f(t)和和g(t)有复数表示有复数表示 00,i ti t if tf eg tg e 和和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的用到它们的时间平均值时间平均值 是是f(t)和和 g(t)的相位差的相位差. fg对一周期的平均值为对一周期的平均值为 2000*00dcoscos211 cosRe22fgtft gtf gf g 式中式中f *表示表示f的复共轭，的复共轭，Re表示实数部分表示实数部分26由此，能量密度和能流密度的平均值为

19、由此，能量密度和能流密度的平均值为22001122wEB *201122SEHE n 27本节所要研讨的问题是：本节所要研讨的问题是：用用Maxwell电磁理论来分电磁理论来分析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射析在介质的分界面上，电磁波将发生的反射和折射规律。规律。28关于反射和折射的规律包括两个方面：关于反射和折射的规律包括两个方面： 运动学规律运动学规律: 入射角、反射角和折射角的关系；入射角、反射角和折射角的关系； 动力学规律动力学规律: 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位。研究电磁波反射和折射问题的基础是电磁场在两个研究电磁波反

20、射和折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的不同介质界面上的边值关系边值关系。29一般情况下，电磁场的边值关系为：一般情况下，电磁场的边值关系为：21212121()0()()()0nEEnHHnDDnBB 介质的分界面上，通常没介质的分界面上，通常没有自由电荷和传导电流，有自由电荷和传导电流，即即0 , 0 21212121()0()0()0()0nEEnHHnDDnBB 30但是，在一定频率的情况下，这组边界方程但是，在一定频率的情况下，这组边界方程（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨（边值关系）不是完全独立的。因此，在讨论定态（一定频率）电磁波时，介质界面上论定态（一定频率）电磁波

21、时，介质界面上的边值关系只取下列两式：的边值关系只取下列两式：2121()0()0nEEnHH 也就是说也就是说2121 , ttttEEHH 切向连续性切向连续性31 反射和折射定律反射和折射定律假若所考虑的交界面为一平面，即设假若所考虑的交界面为一平面，即设 x-y 平面，考平面，考虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在虑一单色平面电磁波入射到交界面上，设在z = 0 平平面的上、下方的介质不同，如图所示面的上、下方的介质不同，如图所示xzkkkEEE11 22 设入射波、反射波和折射波的设入射波、反射波和折射波的电场强度为电场强度为 、 ，波矢量，波矢量分别为分别为 、 。由。由Four

22、ier频频谱分析可知，反射波和折射波谱分析可知，反射波和折射波与入射波一样，也是平面波。与入射波一样，也是平面波。EEE 和和 kkk 和和32把入射波、反射波和折射波写为：把入射波、反射波和折射波写为：()0()0()0 i k xti k xti kxtEE eEE eEE e 入入射射波波反反射射波波折折射射波波由由 可得磁场矢量为：可得磁场矢量为：BEt ()()00()()00()()001 1 1 i k xti k xti k xti k xti kxti kxtBB ekE eBB ekE eBB ekE e 入入射射波波反反射射波波折折射射波波33在在 z=0 的平面所有的点

23、必须满足边界条件。意味着：的平面所有的点必须满足边界条件。意味着：在在 z=0 处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，处，所有场的空间和时间变化必须相同。即，所有的相因子在所有的相因子在 z=0 处必须相等处必须相等. 波矢量方向之间的关系波矢量方向之间的关系()nEEnE ()()()00000 i k xti k xti kxtttztzE eE eE e 边界条件边界条件要使该式成立，只有要使该式成立，只有00000000 ttztzzzzEEEk xtkxtkxt 以以及及34因为因为x、y、t 都是独立变量，必然有都是独立变量，必然有xyxyxyk xk ytk xk ytk xk

24、 yt 因此因此xxxyyykkkkkk讨论讨论：由于由于 ，说明反射波、折射波的频率与，说明反射波、折射波的频率与入射波的入射波的频率相同频率相同。 35根据根据 ，假若，假若 ，则必有，则必有 这说明反射波和折射波与入射波在这说明反射波和折射波与入射波在同一平面内同一平面内，这个面就称为这个面就称为入射面入射面（入射波矢（入射波矢 与分界面的法线与分界面的法线 所组成的平面）。所组成的平面）。yyykkk 0yk 0.yykk kn因此：因此： ，即反射角，即反射角=入射角。入射角。（反射定律）（反射定律）根据根据 11 , | |, xxkkkk sinsinkk 36根据根据xxkk

25、1122sin , sin, | | , sinsinxxkkkkkkkk 则则222222111111sinsinknnkn 这就是这就是折射定律折射定律，其中，其中n21为介质为介质2相对于介质相对于介质1的折射率，一般介质的折射率，一般介质 （除铁磁质外），故（除铁磁质外），故 0 为两介质的为两介质的相对折射率相对折射率。21 37所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的所谓菲涅耳公式就是在边值关系条件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅关系。入射波、反射波和折射波的振幅关系。对每一个波矢对每一个波矢 有两个独立的偏振波，所以有两个独立的偏振波，所以只需要分别讨论电场只需要分别讨论电场

26、 入射面和电场入射面和电场 入射面两种情况就可以了。入射面两种情况就可以了。kEE38 入射面入射面E 电场只有电场只有y分量，并分量，并入射面（纸入射面（纸面）指向外面。因为介质面）指向外面。因为介质1中有入中有入射波和反射波，介质射波和反射波，介质2中只有折射中只有折射波，根据边界条件（边值关系）：波，根据边界条件（边值关系）： kkkSESESEPHPHPH1 122 xz2100021000 , , ttttxxxEEEEEHHHHH由由有有由由有有即即000coscoscosHHH11221 , | | BHkEkkk 考虑到考虑到39故有故有1200012()coscosEEE 联

27、立联立、两式得两式得121200121211001212coscoscoscos2coscoscosEEEE 40对于光波，对于光波，120 2100210021sincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsin()sin()2cos2cos sinsin()coscosEEEE 因此因此41 入射面入射面/E kkkPEPEPESHSHSH1 122 xz这时磁场只有这时磁场只有y分量，并分量，并入射面入射面（纸面）指向外面，以（纸面）指向外面，以 表示。由表示。由边界条件，即在边界条件，即在 z=0 的界面上有：的界面上有：000000 xxxEEEHHH 即即

28、000000coscoscosEEEHHH 同理由同理由 的关系的关系, 把上式中的磁场换为把上式中的磁场换为电场。电场。1HkE 420001200012()coscos()EEEEEE 从而得到：从而得到：0|21120|21120|120|2112coscoscoscos2coscoscosEEEE 即得即得43对于光波，对于光波，120 20|10|21222222sincoscoscoscossinsincoscoscoscossinsin cossincossin cossincossin cossincossincossincossin cossincossiEE 22ncoss

29、incossin()cos()tan()sin()cos()tan() 440|0|212coscossincoscoscoscossin2cossinsincossincosEE 综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅综上所述，我们得到的振幅关系就是光学中的菲涅耳公式。不过当时，菲涅耳是利用光的耳公式。不过当时，菲涅耳是利用光的“以太以太”理理论推导出来的。因此，这也有力地证示了光是电磁论推导出来的。因此，这也有力地证示了光是电磁波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波波的理论学说，即光实际上是在一个特殊频段（波长由长由4000 到到8000 ）的电磁波。）的电磁波。AA45菲涅耳

30、公式菲涅耳公式0000sin()sin()2cossinsin()EEEE 0|0|0|0|tan()tan()2cos sinsincossincosEEEE 利用菲涅耳公式讨论利用菲涅耳公式讨论 偏振偏振 半波损失半波损失 反射系数、透射系数反射系数、透射系数90 46菲涅耳公式讨论：菲涅耳公式讨论：垂直偏振：垂直偏振： 当当 时，时， ，即，即反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反反射波中没有电场平行入射面的部分，这时的反射波是完全的线偏振波射波是完全的线偏振波. 0|090 0 , 0EE 根据根据21sinsinsinsin(90)n 令此时的令此时的b sinsintansin

31、(90)cosbbbbb 121tanbn Brewsters angle47bi90bir r由此可见，一个任由此可见，一个任意偏振的波，总可意偏振的波，总可以分为平行和垂直以分为平行和垂直入射面的两个入射入射面的两个入射波。平面波以布儒波。平面波以布儒斯特角入射时，反斯特角入射时，反射波只有垂直入射射波只有垂直入射面偏振的波，反射面偏振的波，反射波和折射波传播方波和折射波传播方向互相垂直。向互相垂直。48半波损失：半波损失：当平面波从光疏介质入射到光密介当平面波从光疏介质入射到光密介质时（即质时（即n211）。根据折射定律）。根据折射定律21sinsinn 可知：可知： 00: 0 ;EE

32、E 入入射射面面与入射波的相应分量反向与入射波的相应分量反向反射波与入射波位相相差反射波与入射波位相相差 ，好象差个半波长，好象差个半波长，这种现象称为这种现象称为半波损失半波损失。 49当平面波从光密介质入射到光疏介质时当平面波从光密介质入射到光疏介质时00 , 0EE 反射波与入射波同位相，即没有半波损失。反射波与入射波同位相，即没有半波损失。由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透由菲涅耳公式可以计算电磁波的反射系数和透射系数。射系数。反射系数（反射系数（R）：）：反射波平均能流与入射波平反射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比均能流在法线方向的分量之比透射系数（透射系数（T）

33、：）：折射波平均能流与入射波平折射波平均能流与入射波平均能流在法线方向的分量之比。均能流在法线方向的分量之比。50E 入射面入射面*210111Re()22|kSEHEk 入入入射波的能流平均值：入射波的能流平均值：反射波的能流平均值：反射波的能流平均值：*221100111Re()21122|SEHkkEEkk 反反51折射波的能流平均值：折射波的能流平均值：*22021()212|eSR EHkEk 折折从而得到：从而得到：2202202202210|sin ()|sin ()cos|sin2 sin2cos|sin ()SnERESnSnnETnESn 反反入入折折入入52同理同理|:E

34、 入入射射面面220|220|22|tg ()|()sin2 sin2sin ()cos ()EREtgT 容易证明：容易证明：|11RTRT 符合能量守恒定律符合能量守恒定律53若若 ，则，则 ，因此，因此12 211n sin1sin 即电磁波从介质即电磁波从介质1入射时，折射角入射时，折射角入射角入射角。当当 时，则时，则 。2211sinn 2 1021sin ()n 全反射临界角全反射临界角如果再增大入射角，使得如果再增大入射角，使得 ，这时不能定义，这时不能定义实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象的物理现象.21sinn 5

35、4假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为假设在这种情形下两介质中的电场形式仍然为()0()i k xtE x tE e 边值关系依旧成立，仍可得到边值关系依旧成立，仍可得到 , xxxyyykkkkkk 112122sinxxxxkkkkkkkkkknk 5521sinn 在在 ，情形下有，情形下有 .xkk 令令2221 , sinzkikn 222222222212221sinsinzxyxkkkkkkk nkikn 因此因此y轴垂直与入射面时，=0虚数虚数故折射波的传播因子为：故折射波的传播因子为：()()xzi k x k zi kxee 这里这里sin , cosxxzkkkkk

36、56即即sin()sinzikxik zi kxikxzeeee 折射波的电场为：折射波的电场为：()(sin)00i kxtzi kxtEE eE ee 上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的一种可能波模因为当中传播的一种可能波模因为当z- 时时E ，上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波只存在于研究的折射波只存在于z0的半空间中，因此，上的半空间中，因此，上式是一种可能的解式是一种可能的解57折射波将沿折射波将沿 z 方向衰减，沿方向衰减，沿 x 方向传播。因此，在方向传播

37、。因此，在全反射时，介质全反射时，介质2中的电磁波并不为零，如果介质中的电磁波并不为零，如果介质2的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。的电磁波完全为零的话，那么就不满足边值关系。可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表可见电场不仅沿着界面方向传播，而且被限制在表面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为面附近的一个区域内，所以称全反射时的折射波为表面波表面波。xzk58上式是沿上式是沿x轴方向传播的电磁波，它的场强沿轴方向传播的电磁波，它的场强沿z轴方轴方向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近向指数衰减。因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度一薄层内，该层厚度

38、(sin)0zi kxtEE ee 11222221211sin2sinknn 1 1为介质为介质1中的波长。一般来说，透入第二介质中中的波长。一般来说，透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。的薄层厚度与波长同数量级。折射波磁场强度折射波磁场强度kBEnEk 59考虑考虑 入射面入射面 ：E yEE 222221sinxzykHEEkn 22222221sin1zxykHEiEkn 与与 同相同相与与 有有900的相位差的相位差E E 60 *1Re02zyxSEH 折射波平均能流密度折射波平均能流密度 2*22022111sinRe22zxyzSE HEen 由此，折射波平均能流密度只有由

39、此，折射波平均能流密度只有x分量，沿分量，沿z轴方轴方向透入第二介质的平均能流密度为零向透入第二介质的平均能流密度为零虚数虚数61以上推出的有关反射和折射的公式在以上推出的有关反射和折射的公式在 sin n21情情形下形式上仍然成立。只要作对应形下形式上仍然成立。只要作对应212221sinsinsincos1xzkknkikn 62当当 入射面时：入射面时：E22210220212222221212221cossincossincos(sin)2cossin1iinEEinninen 222cos2sin2(cossin)2sin cosieii 比较上式，可得比较上式，可得22122212

40、21coscos1sinsin1nnn 欧拉公式欧拉公式632221sinsintancoscosn 表示在全反射时，入射波和反射波表示在全反射时，入射波和反射波振幅相同振幅相同，两者存在两者存在相位差相位差，因此反射波与入射波的瞬时，因此反射波与入射波的瞬时能流值是不同的。只是能流值是不同的。只是 Sz 的平均值为零，其的平均值为零，其瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放

41、出来变为反射波能量。一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。64当当 入射面时：入射面时：|E 22120|2120|212212221212222121sincos1sincos1cossincossininiEnEninninenin 2221221sinsintgcoscosnn 其中其中65比较比较 ，可见，可见 ，并与入射角有关，并与入射角有关，如果如果 入射波是线编振波，但其振动方向与入射面入射波是线编振波，但其振动方向与入射面成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相成一定夹角，则反射波的两个分量将有一个位相差，因而是一个差，因而是一个椭园偏振波椭园偏振波，即一个线偏振波入，即一

42、个线偏振波入射在介质界面上经过反射成了一个射在介质界面上经过反射成了一个椭园偏振波椭园偏振波。和和0 66本节所要研讨的问题是：导电介质中的电磁波的本节所要研讨的问题是：导电介质中的电磁波的传播。由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的传播。由于导体内有自由电荷存在，在电磁波的电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传电场作用下，自由电荷运动形成传导电流，而传导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。由导电流要产生焦耳热，使电磁波能量有损耗。由此可见，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减此可见，在导体内部的电磁场（波）是一种衰减波，在传播过程中，电磁能量转化为热量。波，在传播过程中，电磁能量转化为热量

43、。671、导体内的自由电荷的分布、导体内的自由电荷的分布根据焦耳定律的微分形式根据焦耳定律的微分形式jE 电荷守恒定律电荷守恒定律0jt Gauss 定理定理D 0t 0( )tte 衰减的特征时间为衰减的特征时间为 电荷密度电荷密度随时间指数衰减随时间指数衰减68因此，只要电磁波的频率满足因此，只要电磁波的频率满足1 1 或或良导体条件良导体条件导电介质与非导电介质的根本区别在于导电介质导电介质与非导电介质的根本区别在于导电介质中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，中有自由电荷存在。因而，只要有电磁波存在，总要引起传导电流总要引起传导电流 。j 因此，导体内部：因此，导体内部：0 , j

44、E 69则则Maxwell equs为：为：00BEtDHjtDB 00EiHHiEEEH DEBH jE 令令i 00EiHHiEEH 70从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同从形式上看，与均匀介质中的情况完全相同2 ()() EiHEEiE 0 则有则有220EE 22k 220Ek E 220Hk H 令令同理：同理：运动方程运动方程7122k i 如果令如果令ki 复波数复波数22222kii 22212xxyyzz 72 0k 0kkxz导体当电磁波从真空中入射到导体表面时，以当电磁波从真空中入射到导体表面时，以 矢量表矢量表示真空中的波矢，示真空中的波矢， 表示导体内的波矢表示导

45、体内的波矢.(0)k k 根据边值关系：根据边值关系： (0)(0)1 xxxkkk 真空中真空中 为实数，其值为为实数，其值为(0)(0)00kk (0)k (0)(0) , sinxxxxkikk (0)(0)sinxxxikk 垂直于金属表面垂直于金属表面 (0)00sin0 xxxk 73 (0)(0)2 0yyykkk 0yyyki 00yy 2222ki 2222()(1)kiii 13 2xxyyzzzz 1 因为良导体条件下因为良导体条件下在导体内部，在导体内部，k也在入射面内也在入射面内k2的实部可忽略的实部可忽略74220222zxz 12zz 12zzzx 2220000

46、0202(0)2211sin22111sin()()222xxkk 21sin 2222zxzz 753、趋肤效应和穿透深度、趋肤效应和穿透深度根据根据22212 221112111 .2 1 良导体：良导体：1276则此时的电磁场形式为：则此时的电磁场形式为：()0()0.n xin xtn xin xtEE eeHH ee 讨论：讨论：从电磁场从电磁场 可看到，复数波矢量可看到，复数波矢量 ，包含了两个部分：实部包含了两个部分：实部 是通常意义上的是通常意义上的波矢量，而虚部波矢量，而虚部 反映着电磁波在进入导体以后反映着电磁波在进入导体以后的衰减程度。的衰减程度。EH和和ki 2/ 77

47、波振幅沿传播方向按指数衰减，波振幅沿传播方向按指数衰减， 为为衰减常数衰减常数。 12 例如对铜来说，例如对铜来说， 5 107S m-1，当频率为，当频率为 50Hz时，时， 0.9cm；当频率为；当频率为 100MHz时，时， 0.7 10-3cm因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它因此，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为种现象称为趋肤效应趋肤效应 .穿透深度穿透深度78不良导体不良导体1 221111 , 1122进行泰勒展开，得进行泰勒展开，得, ,2 21 衰减很小，穿透深度很大衰减很小，穿透深

48、度很大. 例如对于例如对于1020Hz的的X射线，铜的射线，铜的 ，X射射线可以穿透铜板线可以穿透铜板210 79相速度相速度 ，可见，在导体中传播速度，可见，在导体中传播速度k 由由决定，决定，称为称为相位常数相位常数，波长，波长 .22k 1 一般介质中：一般介质中： 0k 金属中：金属中：2k 02kk 一般情况下，所以在导体中一般情况下，所以在导体中波长变短波长变短了。了。良导体条件良导体条件80在良导体中，在良导体中， ，电磁场的关系为：，电磁场的关系为：2 411()11122.iHkEinEinEe nE 磁场相位比电磁场相位比电场相位滞后场相位滞后45 1HE 磁场远比电场重要

49、，金磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要属内电磁波的能量主要是磁场能量是磁场能量1()2wE DH B 能量密度能量密度81和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导和绝缘介质情形一样，应用边值关系可以分析导体表面上电磁波的反射和折射问题在一般入射体表面上电磁波的反射和折射问题在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以杂垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点因此这里只讨论垂直入显示出导体反射的特点因此这里只讨论垂直入射情形射情形82设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生设电磁波由

50、真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波垂直入射情形，反射波和透入导体内的折射波垂直入射情形，电磁场边值关系为：电磁场边值关系为：,EEEHHH 012EEi E 112Hi nE 入射方为真空，故入射方为真空，故0000, HE HE83 反射系数反射系数202020211212211EREi 电导率越高，发射系数越接近于电导率越高，发射系数越接近于1. 测量结果证实测量结果证实此式的正确性。可以将金属近似看作理想导体，此式的正确性。可以将金属近似看作理想导体，其反射系数接近于其反射系数接近于1. 002121iEEi 84200002000000020000coscosc

51、ossincoscoscossin2cos2coscoscoscossinEEEE 由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）由菲涅耳公式得到：（非垂直入射）2000|020|0000|0020|000sincos1coscoscoscossincos12cos2coscoscossincos1EEEE 85若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即若电磁波从真空垂直入射到金属表面，即0 故反射波和入射波的振幅之比为：故反射波和入射波的振幅之比为：0000EkkEkk 0|00|0EkkEkk 对于良导体，对于良导体，1 1iki 从而从而2 其中其中8600000000000011112121iiEiEii

52、i 0 87000|0|0000000011211121iEkkiEkkiiii 88反射系数为：反射系数为：202022002020|220|0211211211211EREERE 8902|2222 1 . (1)11(1)11(1)(1)1212(1)(1)1AAARRRAAAAAAAAAA 所所以以021212RA 设设905、导体内功率损耗问题、导体内功率损耗问题导体内的电场为：导体内的电场为：()()00i kxtziztEE eE ee 其中略去了其中略去了 因子，可见导体内的电流密度为因子，可见导体内的电流密度为x jE 导体内单位体积内的平均功耗为：导体内单位体积内的平均功耗

53、为： *()()0022011Re()Re221Re212ziztziztzPj EEEE eeE eeEe 91 导体表面单位面积的功耗为：导体表面单位面积的功耗为：2220000124zLEPPdzEedz 定义定义表面电流密度表面电流密度：()000()00()0001ziztfizi ti tizi tjdzE eedzEeedzE eedzE ei 92因为因为221 . tgiie 故得故得022()022ii tfiteE eeE 由此可见：由此可见：0022: .ffE 的的峰峰值值所以所以022222200444LfEEP 与平均功率与平均功率 比较，可见比较，可见212mP

54、I R 93222SR 导体表面电阻导体表面电阻在高频情况下：在高频情况下：() 2212SR0 xyzds=dxdyf相当于厚度为相当于厚度为 的薄层的直流电阻的薄层的直流电阻1lRS 单位面积下的导体在高频电磁波的电阻单位面积下的导体在高频电磁波的电阻 11l 944-4 4-4 谐振腔谐振腔951有界空间中的电磁波有界空间中的电磁波在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这种类型的波称为种类型的波称为横电磁（横电磁（TEM）波）波.从电磁波与导体的相互作用可知，电

55、磁波主要是从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量透人导体表层内小部分电磁能量透人导体表层内理想导体理想导体(电导率电导率)，导体表面自然构成电导体表面自然构成电磁波存在的边界磁波存在的边界.962理想导体边界条件理想导体边界条件实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜实际导体虽然不是理想导体，但是象银或铜等金属导体，对无线电波来说，透入其内而等金属导体，对无线电波来说，透入其内而损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。损耗的电磁能量一般很小，接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，

56、因此，分析实际问题时，在第一级近似下，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，可以先把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引起的损耗。起的损耗。97在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波在第二节中我们阐明在一定频率的电磁波情形，两不同介质（包括导体）界面上的情形，两不同介质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为边值关系可以归结为 12DDn 012 BBn式中式中n为由介质为由介质1指向介质指向介质2的法线。这的法线。这两关系满足后，另外两个关于法向分量两关系满足后，另外两个关于法向分量的关系自然能够满足。的关系自然能够满足。

57、 21210nEEnHH 98取角标取角标1、2分别代表理想导体和真空或绝缘介质。分别代表理想导体和真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内部没有电磁场（对实际导体来说，应为导导体内部没有电磁场（对实际导体来说，应为导体内部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，体内部足够深处，例如离表面几个穿透深度处，该处实际上已没有电磁场），因此，该处实际上已没有电磁场），因此，E1=H10。导体表面边界条件导体表面边界条件略去角标略去角标 2，以，以E和和H表示介质一侧处的场强，有表示介质一侧处的场强，有边界条件边界条件0nEnH 0n Dn

58、 B 自然满足自然满足99理想导体界面边界条件可以表述为：理想导体界面边界条件可以表述为：电场线与界电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。面正交，磁感应线与界面相切。 实际求解时，先看方程实际求解时，先看方程 E=0对边界电场的限制对边界电场的限制往往是方便的。在边界面上，若取往往是方便的。在边界面上，若取x，y轴在切面轴在切面上，上，z轴沿法线方向，由于该处轴沿法线方向，由于该处Ex=Ey=0，因此方，因此方程程 E=0在靠近边界上为在靠近边界上为 Ez/ z0，即，即0nEn 100例题：证明两平行无穷大导例题：证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏体平面之间可以传播一种偏振的振的TE

59、M电磁波。电磁波。解：设两导体板与解：设两导体板与y轴垂直。轴垂直。两导体平面上的边界条件为，两导体平面上的边界条件为，Ex=Ez=0 , Hy=0 若沿若沿z轴传播的平面电磁波的电场沿轴传播的平面电磁波的电场沿y轴方向偏振，则轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。另一种偏振的平面电磁波板之间传播。另一种偏振的平面电磁波(E与导体面相与导体面相切切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏振的以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。平

60、面波。101实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发。低频无线电波采用激发。低频无线电波采用LC回路产生振荡。在回路产生振荡。在LC回回路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡3 3谐振腔谐振腔1 2LC 如果要提高谐振频率，必须减小如果要提高谐振频率，必须减小L或或C的值。频率提的值。频率提高到一定限度后，具有很小的高到一定限度后，具有很小的C和和L值的电容和电感值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，