第2章单自由度系统自由振动(1)

1、2022-3-7振动力学12022-3-7振动力学2 任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响应，通常称为应，通常称为自由振动自由振动。自由振动是没有外界能。自由振动是没有外界能量补充的振动。保守系统在自由振动过程中，由量补充的振动。保守系统在自由振动过程中，由于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等幅振动，称为幅振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。但实际系统不可。但实际系统不可避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由避免存在

2、阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由振动不能维持等幅而趋于衰减，称为振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由有阻尼自由振动。振动。某些实际的机械或结构系统的振动问题有某些实际的机械或结构系统的振动问题有时可以简化为单自由度系统的振动。时可以简化为单自由度系统的振动。单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-7振动力学3 本章只讨论最简单的振动系统，即单自由本章只讨论最简单的振动系统，即单自由度系统的自由振动。以质量度系统的自由振动。以质量弹簧系统为简化弹簧系统为简化的力学模型。所讨论系统的动力学方程为的力学模型。所讨论系统的动力学方程为常系常系数线性微分方程。数线性微分方程。系统的

3、无阻尼振动频率为系系统的无阻尼振动频率为系统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统作非往复的衰减运动。作非往复的衰减运动。2022-3-7振动力学4单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-7振动力学5典型的单自由度系统典型的单自由度系统: :弹簧弹簧- -质量系统质量系统 例、梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方例、梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的

4、质向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧簧- -质量系统质量系统 1.1 1.1 单自由度系统振动单自由度系统振动 方程方程1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学61.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动st()mxmgkx当物块偏离平衡位置为当物块偏离平衡位置为x x距离时，物块的运动微距离时，物块的运动微分方程为分方程为 mxkx 取物块的静平衡位置为坐标原点取物块的静平衡位置为坐标原点O O，x x轴顺弹簧轴顺弹簧变形方向

5、铅直向下为正。当物块在静平衡位置变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形弹簧的静变形固有圆频率固有圆频率020 xx 令令 ：mk02022-3-7振动力学71.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动020 xx 通解通解 ： )sin()cos()(0201tctctx tsinAtx0令令 tex0i算得本征值算得本征值 导出本征方程导出本征方程 0202无阻尼自由振动是无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动. 式中，式中，c c1 1和和c c2 2是取决

6、于初始位置是取决于初始位置 和初始速度和初始速度 的的积分常数。为了方便起见，引入符号积分常数。为了方便起见，引入符号0 x0 x cosAc,sinAc 212022-3-7振动力学81.2 1.2 无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点（1）固有频率）固有频率无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动200t)Tt (fTT212;200则周周期期f 称为振动的称为振动的频率频率，表示每秒钟振动的次数，单位为表示每秒钟振动的次数，单位为1/s或或Hz 0 称为称为固有角（圆）频率（固有频率）固有角（圆）频率（固有频率），表示每表示每2 秒内振动秒内振

7、动的次数，单位为的次数，单位为rad/s，只与系统的质量只与系统的质量m和刚度系数和刚度系数k有关有关。1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学9mk20stPk/gPm/st0g只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。（2）振幅与初相位）振幅与初相位tsinAx0 A相对于振动中心O的最大位移，称为振幅振幅。 0 t + 决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位相位。 决定质点运动的初始位置，称为初相角初相角。 振幅A和初相角 两个待定常数由运动的初始条件初始条件确定。1.

8、单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学10零时刻的初始条件：零时刻的初始条件： 0)0(xx 0)0(xx20020 xxA0001xxtg )sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： )sin(0 tA1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学11弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 =300质量质量 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm=4.9kN/m开始时弹簧无伸长，且速度为零

9、开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求： 系统的运动方程。系统的运动方程。m300k重力加速度取重力加速度取 9.81.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动例例 题题 12022-3-7振动力学12解：解：x0以静平衡位置以静平衡位置O为坐标原点为坐标原点建立坐标系。建立坐标系。物块平衡时，弹簧的变形量物块平衡时，弹簧的变形量ksinmg0物块在任意位置物块在任意位置x处，物处，物块沿块沿x轴的运动微分方程轴的运动微分方程xksinmgxm0 kxxm 即：即：m300k1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学

10、13x0运动方程：运动方程：振动固有频率：振动固有频率：)/(70 1/1049 /20sradmk 振动初始条件：振动初始条件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考虑方向考虑方向)sin()cos()(00000txtxtx 00 x 初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学141.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由力学

11、模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即固有频率；、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。、求解标准方程。2022-3-7振动力学15mh0l/2l/21.单自由度系统自由振动无阻尼自

12、由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动一个质量为一个质量为m的物块从的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由自由振动的频率振动的频率、振幅振幅和和最大挠度最大挠度。 例例 题题 22022-3-7振动力学16解：解：由材料力学由材料力学 ：系统可以等效为质量系统可以等效为质量-弹簧系统弹簧系统 ,如如图。图。 EImgl483取平衡位置取平衡位置以梁承受重物时的静平以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立衡位置为坐标原点建立坐标系。坐标系。静变形静变形

13、mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k梁的刚度：梁的刚度：348lEImgk2022-3-7振动力学17振动微分方程：振动微分方程： 348mlEI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k0 kxxm mk0kmg 在静平衡位置：在静平衡位置： gmk0则有：则有： )sin()cos()(00000txtxtx 零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动： 1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学

14、18撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：时，有： 0 x则自由振动振幅为则自由振动振幅为 ：20020 xxA梁的最大挠度：梁的最大挠度： Amax)sin()cos()(00000txtxtx h22ghx20mh0l/2l/2x静平衡位置静平衡位置1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学19内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。转中常常产生扭转振动，简称扭振。 kJ例例 题题 3扭振系统称为扭振系统称为扭摆扭摆。OA 为一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为为

15、一铅直圆轴，圆盘对其转动惯量为JO。在研究扭摆的运动规律时，假定在研究扭摆的运动规律时，假定OA的质量略的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，来决定，称称扭角扭角。圆轴的抗扭刚度系数为圆轴的抗扭刚度系数为k ，表示使，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩圆盘产生单位扭角所需的力矩 。)/(radmN 1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动OA2022-3-7振动力学20解：解：0kJO 020 kJ扭矩扭矩T作用在圆盘上，使圆盘产生一角作用在圆盘上，使圆

16、盘产生一角位移位移 ，根据材料力学知识可知，根据材料力学知识可知PGITl扭转刚度系数扭转刚度系数k ，表示使圆盘产生单位扭角，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩所需的力矩lGITkP扭转振动微分方程：扭转振动微分方程：kt ddJO22由刚体转动微分方程有由刚体转动微分方程有令 ，则OJk201.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学21oJ/k0扭振固有频率：扭振固有频率：020 kJ1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动扭转振动方程：扭转振动方程：运动方程：运动方程： tsintcost00000)si

17、n()cos()(00000txtxtx 对比：对比：工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分方程表示2022-3-7振动力学22 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动角振动与与直线振动直线振动的数的数学描述完全相同。学描述完全相同。 如果在弹簧质量系统中将如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的量系统是广义的 。0 kxxm mk /00kJo oJ/k0

18、kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学23 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件惯性元件和和弹性元件弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。件，它表现为具有刚度或扭转

19、刚度的弹性体。 同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大固有频率增大 。0 kxxm mk /00kI Ik /0 kI0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学242kaa)a(kmglJstO 02OJka OJka0mgFmkalOA系统微振动的固有频率：系统微振动的固有频率：mkla2mlJO转动惯量：转动惯量：1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022

20、-3-7振动力学25l固定端 均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为 l,弯曲刚度为弯曲刚度为EI。梁的自由端放置梁的自由端放置一质量为一质量为m的物块的物块，其静挠度为，其静挠度为 st。若不计梁的质量。若不计梁的质量，物块在梁，物块在梁未变形位置处无初速释放，求系未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。统的振动规律。练习练习 1mEIl固定端stOx 解：此无重弹性梁相当于一个弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚度系数为EImglEIPl3333st3st3lEImgk1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学26 分

21、析物块运动到任意位置(坐标为x)时的受力，有P=mgFxstmEIl固定端Oxkxxkmgtxmst)(dd22设 ，则mk200dd2022xtx上述振动微分方程的解为初始条件为stgmktAx00)sin(其中0,00vxst1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学27振幅为stvxA2020202)arctan(arctan000vx初相角为系统的自由振动规律为)3cos(3)2sin(33tmlEIEImgltgxstst1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学28小结：小结

22、：1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动分析的一般过程：单自由度系统自由振动分析的一般过程：1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；3、根据本征值，写出标准方程的通解；、根据本征值，写出标准方程的通解；4、根据初始条件，计算标准方程的特解。、根据初始条件，计算标准方程的特解。单自由度系统自由振动分析的一般目标：单自由度系统自由振动分析的一般目标：1、求系统的固有角频率，即

23、固有频率；、求系统的固有角频率，即固有频率；2、求解标准方程。、求解标准方程。2022-3-7振动力学29单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-7振动力学30 能量法能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用可以利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。出系统的固有频率。 无阻尼系统为无阻尼系统为保守系统保守系统，其，其机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和和势能势能 V 之和保持不变之和保持不变 ，即：，即：constVT0ddVTt

24、或：或：单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法2022-3-7振动力学31弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：221xmT势能：势能：mgx （重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒为不可能恒为 0 x 0 kxxm 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动kmg 221kxxkmgx221kx0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k零势能点零势能点222121kxxmVT2022-3-7振动力学32 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，而是取

25、在弹簧为自由长时的位置。位置，而是取在弹簧为自由长时的位置。 动能：动能：221xmT 势能：势能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0ddVTtmgkxxm 设新坐标设新坐标 kmgxy0 kyym 221 kxmgx x单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法0零势能点零势能点mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置k2022-3-7振动力学33单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法2022-3-7振动力学34考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大能为零，动能达到最大

26、021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系统动最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大能为零，势能达到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(0tAtxmk /0max0maxxxmaxmaxVTmax0max对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置k静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法2022-3-7振动力学35例例 题题 4 图示结构中，不计质量的杆图示结构中，不计质量的杆OA在水平位置处于平衡，若在水平位置处于平衡，若k、m、a、l 等均为已知。等均为已

27、知。 求：系统微振动的固有频率求：系统微振动的固有频率mgFmkalOA1.单自由度系统自由振动无阻尼自由振动单自由度系统自由振动无阻尼自由振动2022-3-7振动力学36解：设解：设OA杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例例 题题 5由能量法解由能量法解 例题4tsinA0202222121AmllmTmaxmax2222121AkaakVmaxmaxmaxmaxVTmkla0mkalOA2022-3-7振动力学37如图所示是一个倒置的摆如图所示是一个倒置的

28、摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 2k求求: 倒摆作倒摆作微幅振动微幅振动时的固有频率。时的固有频率。lmak/2k/2单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法例例 题题 62022-3-7振动力学38解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能2222121mlJT势能势能maxmaxVTmax0max220mlmglka 零势能位置零势能位置1cos1212122mglakV零势能位置零势能位置1)(21 222mglka2sin21121 222mglka22)(21 mglka lmak/2k/2单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自

29、由振动能量法22sin微幅振动：微幅振动：2022-3-7振动力学39解法解法2：零势能位置零势能位置2动能动能2222121mlJT势能势能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml0ddVTt0)(2222mglkaml 220mlmglka 零势能位置零势能位置22sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法2022-3-7振动力学40单自由度系统自由振动能量法单自由度系统自由振动能量法小结：小结：能量法的概念能量法的概念: 利用无阻尼系统的利用无阻尼

30、系统的机械能守恒机械能守恒，即动能，即动能 T 和势能和势能 V 之之和保持不变和保持不变 ，即：，即：0ddVTt求系统的固有频率和振动方程，固有频率即求系统的固有频率和振动方程，固有频率即maxmax0max0maxxxxx2022-3-7振动力学41单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动2022-3-7振动力学42 实际振动系统通常由多个构件组成，因而其质量实际振动系统通常由多个构件组成，因而其质量是分散的，这给振动分析带来困难；因此，对于相是分散的，这给振动分析带来困难；因此，对于相关的那些质量，可以采用等效质量代替实际的分散关的那些质量，可以采用等效质量代替实际的分散质量，来简化力

31、学模型。但在进行质量折算求解等质量，来简化力学模型。但在进行质量折算求解等效质量时，效质量时，应保持系统的振动动能不变应保持系统的振动动能不变。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度 同样，实际振动系统也可由多个弹簧元件，可以同样，实际振动系统也可由多个弹簧元件，可以采用等效弹簧代替实际的组合弹簧，但采用等效弹簧代替实际的组合弹簧，但应保持系统应保持系统的势能守恒的势能守恒。2022-3-7振动力学43例如，一个杠杆例如，一个杠杆-弹簧系统如图弹簧系统如图(a)，均质杆长度为，均质杆长度为L，质量为，质量为m，弹簧刚度为，弹簧刚度为k，为了便于振动分析可把

32、该杠杆，为了便于振动分析可把该杠杆-弹簧系统化弹簧系统化成集中质量成集中质量-弹簧系统弹簧系统(b)。因弹簧刚度保持不变，只需用一个等。因弹簧刚度保持不变，只需用一个等效质量效质量m来代替杠杆的分散质量来代替杠杆的分散质量m。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学44系统变换前的动能：系统变换前的动能：221aJT 222248741214mLLmmLLmJJba系统变换后的动能：系统变换后的动能：221xmT 系统动能保持不变：系统动能保持不变：TT222121xmJaLx43可得：可得：mm277单自由度系统自由振动等效质量和等

33、效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学45 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式： 221xMTe 221xKVe 当当 、 分别取最大值时：分别取最大值时：x x则可得出：则可得出： maxTT maxVV eeMK /0 Ke：简化系统的等效刚度；：简化系统的等效刚度；Me：简化系统的等效质量。：简化系统的等效质量。 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。 单自由度系统自由振动等效质量和

34、等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学46 2222121mllmT2222121kaakVmkla0mkalOA动能动能势能势能2mlMe2kaKeeeMK /0 单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学47动能动能2221mlT 势能势能220mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零势能位置零势能位置1lmak/2k/2单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度eeMK /0 2022-3-7振动力学48方法方法2：定义法：定义法等效刚度

35、：等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。的等效刚度。等效质量：等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量上的等效质量 。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学49例：串联系统例：串联系统11kP22kP总变形：总变形： Pkk)11(21

36、212121kkkkPKe 21111kkKe 在质量块上施加力在质量块上施加力 P弹簧弹簧1变形：变形： 弹簧弹簧2变形：变形： 根据定义：根据定义： 或或 P mk1k2 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学50例：并联系统例：并联系统两弹簧变形量相等：两弹簧变形量相等：受力不等：受力不等：11kP 22kP 在质量块上施加力在质量块上施加力

37、 P由力平衡：由力平衡：)(2121kkPPP 根据定义：根据定义：21kkPKe 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。 P mk1k2 mk1k2单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。2022-3-7振动力学51杠杆系统杠杆系统杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：求：求：系

38、统对于坐标系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度的等效质量和等效刚度 k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度例例 题题 72022-3-7振动力学52解法解法1：能量法：能量法动能：动能：212221)(2121xllmxmT 势能：势能：213221)(2121xllkxkV221221mllmMe 221231kllkKe eeMK /0 2221221)(21xmllm2221231)(21xkllk 等效质量：等效质量：等效刚度：等效刚度：固有频率：固有频率：k1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和

39、等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学53解法解法2：定义法：定义法设使系统在设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力方向产生单位加速度需要施加力P2122111)() 1(lllmlmPl 221221mllmPMe 设使系统在设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力坐标上产生单位位移需要施加力P3132111)() 1(lllklkPl 221231kllkPKe 则在则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩：上产生惯性力，对支座取矩： 则在则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：处将产生弹性恢复力，对支点取矩： P122llm 11m1x 11k132llk P1xk1k2m1m2l1l2l3x单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度2022-3-7振动力学54小结小结单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度单自由度系统自由振动等效质量和等效刚度选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写