第2章正弦交流电路

1、第第2 2章章 正弦交流电路正弦交流电路l2.2 正弦量的相量表示法正弦量的相量表示法l2.3 电阻元件的交流电路电阻元件的交流电路 电容元件的交流电路电容元件的交流电路 电感元件的交流电路电感元件的交流电路l2.4 电阻、电感与电容串联的交流电路电阻、电感与电容串联的交流电路l2.5 阻抗的串联与并联阻抗的串联与并联2.6 电路中的谐振电路中的谐振2.1 正弦电压与电流正弦电压与电流2.7 功率因数的提高功率因数的提高 前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小和方向是不随时间变化的。流的大小和方向是不随时间变化的。I，UOt直流电压和电流直流电

2、压和电流 tu0电路图上所标方向为电路图上所标方向为Ru+u= Umsin( t+ i)是交流电任一时刻的值。用小写字母表示是交流电任一时刻的值。用小写字母表示如如i,u,e 分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。正弦交流电路正弦交流电路 是指含有正弦激励是指含有正弦激励, 电路各部分电路各部分的电压和电流的电压和电流(响应响应)均按正弦规律变化的电路。均按正弦规律变化的电路。tIimsin it mI频率频率mI幅度幅度f 、初相位初相位正弦量的三要素I = 2ImIt=0时的相位角称为时的相位角称为初相位初相位 ti0 i= Imsin ti= Imsin

3、( t+ ) i t0 1212 tt 两个两个同频率同频率正弦量的相位差正弦量的相位差 (| |) 222111 sin sintIitIimm122i1i ti2 超前超前 i 1 角角i1 落后落后 i2 角角 ti0i1i2i4i1与与i4反相反相i1与与i2同相同相I ?i1i221iii222111 sin2 sin2tIitIitItItI sin2 sin2 sin22211同频率正弦波加减运算，频率不变同频率正弦波加减运算，频率不变结论结论: :因角频率（因角频率（ ）不变，）不变，所以所以讨论讨论同频率正弦波同频率正弦波时，时， 可不考虑，可不考虑，主要研究主要研究幅度与初

4、相位的变化。幅度与初相位的变化。相量表示法相量表示法: :用复数表示正弦量的一种方法用复数表示正弦量的一种方法相量表示法相量表示法相量图相量图相量式（复数式）相量式（复数式）xy0 t1 Im i= Imsin( t+ )有向线段有向线段 长度是长度是Im; t=0时，与横轴的夹角是时，与横轴的夹角是 ; 以以 角速度逆时针方向旋转，角速度逆时针方向旋转，正弦量可用旋转有向线段表示正弦量可用旋转有向线段表示相量：表示正弦量的有向线段（复数）相量：表示正弦量的有向线段（复数）0 ti 它在它在纵轴上的投影，纵轴上的投影，为正弦电流的为正弦电流的瞬时值瞬时值+1+j 有向线段有向线段A表示形式表示

5、形式:A =a + jbabarctan22bar复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角)sinj(cossinjcos rr rAaA0 b+1+jr模模幅角幅角 jerA sinjcosje可得可得: rrrjrbaAjsincosje rA由欧拉公式由欧拉公式:2jsinjj ee,ee2cosjj )sinj(cosrA 或：或：)(sinm tUu设正弦量设正弦量:相量相量: 用有向线段用有向线段(复数复数)表示正弦量表示正弦量 UUUejmUmmUeUj1.1.相量式相量式2.2.相量图相量图正弦量的相量表示法的几点说明正弦量的相量表示法的几点说明)(sinmtIi？=IeImjm

6、非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I 相量相量 - 大写大写 + “.”U最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU符号说明正误判断正误判断)15sin(2505015jtueU？瞬时值瞬时值复数复数相量是相量是正弦交流电的复数，正弦交流正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并电是时间的函数，所以二者之间并。45210I已知：已知：)45sin(10ti正误判断正误判断？4510 eIm？有效值有效值j45 则：则：)50(sin100ti已知：已知：50100I？正误判断正误判断最大值最大值2100

7、2 IIm解解：例例1：已知已知瞬时值瞬时值: : A6314sin4 .141tiI1006/相量图相量图求：求： i 的相量的相量(复数复数)，画出相量图画出相量图A50j6 .86301003024 .141I+1+j求：求：21ii 、例例2：其相量形式为：其相量形式为：A10A6010030j21eIIA )306280sin(210A )606280sin(210021titi解解：6280100022fsrad已知两个频率都为已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流的正弦电流I ?i1i221iii222111 sin2 sin2tIitIitItItI sin2 sin2

8、sin22211同频率正弦波加减运算，频率不变同频率正弦波加减运算，频率不变只有只有的正弦量才能的正弦量才能画在同一相量图上。画在同一相量图上。 2 I21 I1 I21 I I I相量运算规则相量运算规则+1+j2 I21 I1相量运算规则相量运算规则21j22j11erIerI21j2j121ererII)j(2121err+1+j)j(212121errIIjjerA +1+jo 相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转 ，得到，得到A 90jeB90A90BA90jeAAj)90j(re90sinj90cosj90e根据已知的正弦根据已知的正弦量（时间函数）量（时间函数）正弦量

9、运算正弦量运算所求正弦量所求正弦量变换变换相量（复数）相量（复数）相量结果相量结果反变换反变换相量运算相量运算（复数运算（复数运算)ii1i2已知：求：i = i1+ i2A)60(80tsin1iA)40(602tsini例例试用相量法求电流 i 。相量图法解：解：Im =8262+=10Aarc tan=86-2=230 图示电路已知：A)60(80tsin1iA)30(602tsiniA)23(100tsiniIm =.I1m .I2m .+i = i1+ i2，26I2m. .Im. .18I1m. .8ii1i2 图示电路试用相量法求电流 i 。例例=8ej6006e-j300+=+

10、8(cos 600+ j sin600)6(cos 300 j sin300)=+3(43)3(43)j10ej230A)23(100 tsini 复复数数运运算算法法已知：A)60(80tsin1iA)30(602tsiniii1i2Im =.I1m .I2m .+p 同频率、同相位同频率、同相位设设i = Imsin t 1.电压电流关系电压电流关系p有效值有效值大小关系大小关系 U=R Iu波形图波形图p电压与电流相量电压与电流相量关系关系U=RIRui+ u= R i t0相量图相量图+1+j0IUi则则 u= R i = R Imsin t = Umsin t i = Imsin t

11、 u= Umsin t 2.功率功率Rui+u t0ip0 tU Ip= u i 1. （耗能元件）（耗能元件）0p2. P随时间变化随时间变化= UI(1 cos2 t)(1)瞬时功率瞬时功率 2. 平均功率（有功功率）平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值一个周期内的平均值 UIP dtdiLu )(sin2tIi设设iuL1.电压电流关系电压电流关系)(cos2tILu)90(sin2tLIu 超前超前 i 90 iut90 有效值有效值LXIU 相量关系相量关系LjXIU 相量图相量图UI 感抗感抗（）LX电感电路中复数形式的电感电路中复数形式的欧姆定律欧姆定律其中含有幅度和相位信

12、息其中含有幅度和相位信息LXjIU 感抗感抗是频率的函数是频率的函数XLLLXIU 关于感抗关于感抗（XL =L ）e+_LR电感线圈对直流可视为短路，电感线圈对直流可视为短路，而对高频电流的阻碍作用很大。而对高频电流的阻碍作用很大。感抗感抗表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系)90sin(2sin2tUutIitUIttUIuip2sincossin21.1.瞬时功率瞬时功率 p ：iuL2.功率功率储存储存能量能量P 0P 0tuit 2. ）平均功率平均功率 P （有功功率）（有功功率）0)2(sin1100dttIUTdtpTPTT结论：结论

13、：纯电感不消耗能量纯电感不消耗能量，只和电源进行能量，只和电源进行能量 交换（能量的吞吐）交换（能量的吞吐）tUIuip2sin3.3.） 无功功率无功功率 QL2L2XUXIIUQQ 的单位：乏、千乏的单位：乏、千乏 (var(var、kvar) kvar) Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用 以衡量电感电路中能量交换的规模。以衡量电感电路中能量交换的规模。tUIuip2sin设设：tUusin2uiC)90sin(2cos2tCUtUCi1.电压电流关系电压电流关系dtduCi CXC1 容抗容抗（）vi 超前超前 u 90 v有效值有效值

14、CXIU IjXUCv 相量关系相量关系iut90IjXUC电容电路中复数形式的电容电路中复数形式的欧姆定律欧姆定律其中含有幅度和相位信息其中含有幅度和相位信息UIcXe+-是频率的函数是频率的函数容抗容抗）（CXC1电容对直流可视作开路，电容对直流可视作开路，对高频电流的容抗很小。对高频电流的容抗很小。表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系CXIU ui)90sin(2sin2tUutIitIUuip2sin1. ）瞬时功率）瞬时功率 p2.功率功率充充电电p放电放电放电放电P 0储存能量储存能量iutTdttIUTP00)2sin(1 2.）平均功

15、率）平均功率 PtIUuip2sin瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3. ）无功功率）无功功率 Q（电容性无功取负值）（电容性无功取负值）UIQ单位：单位：var，乏，乏 电阻电路电阻电路RIU)(LXjIU电感电路电感电路)(CXjIU电容电路电容电路复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律小小 结结CLjXjXR、 复数阻抗（复数阻抗（ )UIUIUI在电感电路中：在电感电路中：正误判断正误判断？LXuiLuiLUILXIULjIU？ 例：下图中电容例：下图中电容C=24 . 5 F，接在电源电压接在电源电压U=220V、频率为频率为50Hz、初相为零的交流电源

16、上，求电路中的、初相为零的交流电源上，求电路中的电流电流i 、P及及Q。i= Imsin( t+90 ) =2.4sin(414 t+90 )A XC= C1解：容抗解：容抗 I= XCU= 1.62A = 2 f C1=145 . 5 P=0Q=UI=456.4 VariuC+作作 业：业：P94-102P94-102页页A A选择题：选择题：2.1.1-2.3.22.1.1-2.3.2B B基本题：基本题：2.2.42.2.4相量模型相量模型CRLuRuLuciu+Ij LR+U URUCUL C1 jR-L-C串联交流电路中各量相量图串联交流电路中各量相量图先画出参先画出参考相量考相量C

17、UULUIRUCLUU电压电压三角形三角形CLUU总电压与总电流总电压与总电流的关系式的关系式CLRUUUU相量方程式：相量方程式：CCLLRjXIUjXIURIU 相量模型相量模型CRLuRuLuciu+Ij LR+U URUCUL C1 jCLXXjRICLjXIjXIRIU=R+j(XL-XC )Z=U I CLXXjRIU阻抗阻抗ZIU R-L-C串联交流电路中的串联交流电路中的 复数形式欧姆定律复数形式欧姆定律RRULUCUIU C1 jj LRLCRULUCUIU =arctan XL-XCR=R+j(XL-XC )Z阻抗阻抗 是一个复数，但并不是正弦交流是一个复数，但并不是正弦交

18、流量，上面量，上面不能加点不能加点。 Z Z1、关于复数阻抗、关于复数阻抗 Z 的讨论的讨论当当 时时， 电路呈感性电路呈感性CLXX 0CLXX 0当当 时，时， 电路呈电阻性电路呈电阻性CLXX0当当 时时， 电路呈容性电路呈容性= Z ej ZCLXXjRIUXXRZCL22)(ZRCLXXXZRCLXXXRXXtgXXRZCLCL122)(ZXXjRZCL)(iuiuIUZIUIUZ的模为电路总电压和总电流有效值之比，的模为电路总电压和总电流有效值之比，的幅角则为的幅角则为总电压和总电流的相位差。总电压和总电流的相位差。iuIUZ当当 时时， 电路呈感性电路呈感性, u 超前超前 iC

19、LXX 0CLXX 0当当 时，时， 电路呈电阻性电路呈电阻性, u 、i同相同相CLXX0当当 时时， 电路呈容性电路呈容性, u 落后落后 iCLXXjRIU2.功率功率 i= I msin t u = Um sin( t + ) 平均功率平均功率 =UIcos T10Tu i dtP =Ucos =UR=RIP = URI =I2R 无功功率无功功率 Q =(QL-QC)=UI sin 视在功率视在功率S =UI伏伏安（安（VA）或千伏）或千伏安（安（kVA） S用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压压额定电流）额定电流）PQSSQUURUXR

20、XZ 功率、电压、阻抗三角形功率、电压、阻抗三角形PS = P2 + Q2X = XL-XC UXULUC =+ Q = QLQCRLCRULUCUIU解：解：1. 感抗感抗 XL= L=314127 10-4=40 容抗容抗 XC= C1=31440 10-61=80 Z = R2 +(XL Xc)2=50 Z = 302 +(40 80)2复阻抗模复阻抗模例例： R、L、C串联交流电路如图所示。已知串联交流电路如图所示。已知R=30 、L=127mH、C=40 F，电源电压，电源电压u=220 sin(314 t+45 ）V求：求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模感抗、容抗及复阻抗的模;2 .

21、电流的有效值和瞬时电流的有效值和瞬时值表达式；值表达式；4. 各元件两端电压的瞬时值表达式。各元件两端电压的瞬时值表达式。 2CRLuRuLuciu+求：求：1. 感抗、容抗及复阻抗的模；感抗、容抗及复阻抗的模；2. 电流的有效值和瞬时电流的有效值和瞬时值表达式；值表达式；4 .各元件两端电压瞬时值表达式。各元件两端电压瞬时值表达式。解：解：1. XL=40 XC= 80 =50 Z 2. =220 45 VU 电压相量电压相量I =UZ=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 = 4.4 98 A I=4.4 Ai=4.4 sin(314 t+98 )A电流有效值电流

22、有效值瞬时值瞬时值 2Ij LR+U URUCULuR= 132 2sin(314 t+98 )V4. =RI =132 98 VUR=I j XL=176 172 VULuL= 176 sin(314 t 172 )V 2Uc=- j XcI=352 8 VuC= 352 sin(314 t +8 )V 2 C1 jZ1UI Z2U2U1Z=Z1+ Z2若若Z1 = R1+jX1 Z2 = R2+jX2则则Z =(R1+ R2 )+j(X1 + X2)Z = Z1 Z2+U = U1 U2+Z1UIZ2 I1 I2+Z =Z1Z2+Z1Z2 =Z 1Z1Z211+I = I1 I2+ =Z

23、1Z1Z211+例：图示电路中，电压表读数为例：图示电路中，电压表读数为220V,电流表读电流表读数为数为I1=10A， I2=14.14A, R1 =12 ，电源电压电源电压u与电流与电流i同相。求总电流同相。求总电流I、R2、 XL、 Xc. I I1U21014.1410U1120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI=10A Xc=10010=10 =10014.14Z2=7.07 R2= XL=5 解：解：I2+作作 业：业：P94-102P94-102页页A A选择题：选择题：2.4.1-2.4.1-2.5.22.5.2B B基本题：基本题：2.4.7

24、2.4.7、2.4.102.4.10、2.5.32.5.3、2.5.42.5.4、2.5.72.5.7 、2.5.102.5.10 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，即：补偿，即：u、 i 同相，便称此电路处于谐振状态。同相，便称此电路处于谐振状态。谐振谐振串联谐振：串联谐振：L 与与 C 串联时串联时 u、i 同相同相并联谐振：并联谐振：L 与与 C 并联时并联时 u、i 同相同相谐振概念谐振概念：串联谐振条件串联谐振条件串联谐振频率串联谐振频率:Ij LR+U URUCUL C1 jCLXXjRZCLXX CL001LC10LCf21

25、0串联谐振电路的特征串联谐振电路的特征I00fI0fR1 C LZ(2)阻抗模最小阻抗模最小,为为R。(3)电路电流最大，为电路电流最大，为U/R。f0f0IU URUCUL (1) ,电路呈电阻性电路呈电阻性,电源供给电路的能量全部被电电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉，没有能量转换。阻消耗掉，没有能量转换。0(4) 电感和电容两端电压大小电感和电容两端电压大小相等相等,相位相反。相位相反。注：串联谐振也被称为注：串联谐振也被称为电压谐振电压谐振品质因素品质因素 Q 值值 定义：定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压与总电压之比。电压与总电压之比。(无

26、量纲无量纲)RCRLUUUUQCL001在谐振状态下在谐振状态下, , Q 则体现了电容或电感上电压比电源则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。电压高出的倍数。串联谐振应用举例串联谐振应用举例收音机接收电路收音机接收电路1L2L3LC:1L接收天线接收天线2L与与 C ：组成谐振电路：组成谐振电路:3L将选择的信号送将选择的信号送 接收电路接收电路11)()(1)(1)(2LCRCjLjRLjRCjLjRCjLjRCjLjRZUIRLICI并联谐振条件并联谐振条件LC10LCf210或或UI、同相时则谐振同相时则谐振LCjLRC11问题的提出问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，日常

27、生活中很多负载为感性的， 其等效电路及相量关系如下图。其等效电路及相量关系如下图。 uiRLRuLu2.7 功率因数的提高功率因数的提高UIRULUP = PR = UICOS 其中消耗的有功功率为：其中消耗的有功功率为：提高功率因数的原则提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施提高功率因数的措施:uiRLRuLu并电容并电容CRLICIIL并联电容值的计算并联电容值的计算uiRLRuLuC 设原电路的功率因数为设原电路的功率因数为 cos L，要求补

28、偿到，要求补偿到cos (cos cos L) , 须并联多大电容？须并联多大电容？（设（设 U、P 为已知）为已知）UsinsinIIILRLCLRLUIPcoscosUIP CUXUICCsincossincosUPUPCULLRLICIILU)(2tgtgUPCL分析依据：补偿前后分析依据：补偿前后 P、U 不变。不变。作作 业：业：P94-102P94-102页页B B基本题：基本题：2.6.32.6.3例：某小水电站有一台额定容量为例：某小水电站有一台额定容量为10kVA的发电机，的发电机，额定电压为额定电压为220V，额定频率，额定频率f=50Hz，今接一感性负，今接一感性负载载,

29、其功率为其功率为8kW，功率因数，功率因数cos 1=0.6，试问：，试问：1. 发电机的电流是否超过额定值？发电机的电流是否超过额定值？2. 若要把电路功率因数提高到若要把电路功率因数提高到0.95，需并多大的电容器？，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？并联电容后，发电机的电流是多大？解：解：1. 发电机需提供的电流发电机需提供的电流I1UNcos 1I1= P=80002000.6=60.6A发电机额定电流发电机额定电流INUNIN=1000220=45.45ASN发电机提供的电流超过了发电机提供的电流超过了IN，不允许。不允许。解：解：2. cos 1=0.6 1=53.6o tan 1 =1.33 cos =0.95 =18.2o tan =0.329 C = U 2P(tan 1 tan )800