第1节利息计算等值计算

1、 第一篇第一篇 工程经济学基础工程经济学基础 第一章第一章 资金的时间价值资金的时间价值 与投资方案评价与投资方案评价 利息就是资金时间价值的一种重要表现形式。利息就是资金时间价值的一种重要表现形式。（一）利息：（一）利息： 债务人支付给债权人超过原借贷金额的部分就是利息。指占用资金所债务人支付给债权人超过原借贷金额的部分就是利息。指占用资金所付的代价或者是放弃使用资金所得的补偿。付的代价或者是放弃使用资金所得的补偿。 I=F-P I利息；利息； F目前债务人应付总金额；即还本付息总额。目前债务人应付总金额；即还本付息总额。 P原借贷款金额，常称为本金。原借贷款金额，常称为本金。 第一节第一节

2、 利息计算利息计算一、利息的种类及计算一、利息的种类及计算1 1、单利计息、单利计息 指每期仅按本金（原金额）计算利息，而指每期仅按本金（原金额）计算利息，而本金的利息不再计算利息的一种计息方式，本金的利息不再计算利息的一种计息方式，其利息金额与借款时间成正比其利息金额与借款时间成正比 I=Pnin F=P+I=P+Pni=P(1+ni)2 2、复利计息、复利计息( (利生利利生利) )指借款人在每期末不支付利息，而将利息转为下期指借款人在每期末不支付利息，而将利息转为下期的本金，下期再按本利和的总额计算，即不但本金的本金，下期再按本利和的总额计算，即不但本金产生利息，而利息部分也产生利息产生

3、利息，而利息部分也产生利息 F=P(1+i)F=P(1+i)n nn I=F-P= P(1+i) I=F-P= P(1+i)n n-P= P(1+i)-P= P(1+i)n n-1-1 例例 借款借款10001000元，合同规定借期元，合同规定借期3 3年，年利率为年，年利率为6%6%。分别用单利法计息与复利法计息计算，问分别用单利法计息与复利法计息计算，问3 3年后，年后，本金、利息与本利和是多少？本金、利息与本利和是多少？【解】【解】: :(1)(1)单利法计息计算单利法计息计算 本金本金:P=1000:P=1000元元 利息利息:I=P:I=Pnini=1000=10003 36%=18

4、06%=180元元 本利和本利和:F=P:F=PI=1000I=1000180=1180180=1180元元(2) (2) 复利法计息计算复利法计息计算 利息利息:I= P(1+i):I= P(1+i)n n-P= P(1+i)-P= P(1+i)n n-1-1 =1000(1+6%) =1000(1+6%)3 3-1=191.02-1=191.02元元 本利和本利和:F=P:F=PI=1000I=1000191.02=1191.02191.02=1191.02元元3 3、资金的时间价值、资金的时间价值n 静态评价静态评价与与动态评价动态评价二、名义利率与实际利率二、名义利率与实际利率一般名义

5、利率一般名义利率r r：年利率：年利率名义利率名义利率r r，周期利率，周期利率i i , ,每年的计息期每年的计息期m m次次名义利率名义利率r=r=周期利率周期利率i i每年的计息周期数每年的计息周期数m mn即即: r= i: r= i m m 或或 i i = r/m = r/mnF= P(1+ r/m)nm 名义利率：名义利率： r是指计息周期利率是指计息周期利率i乘以一年内乘以一年内 的计息周期数的计息周期数m所得的年利率。所得的年利率。 若计息周期月利率为，则年名义利率为若计息周期月利率为，则年名义利率为有效利率：是指资金在计息中所发生的实际利率，有效利率：是指资金在计息中所发生

6、的实际利率，包括计息周期有效利率和年有效利率两种情况包括计息周期有效利率和年有效利率两种情况 r=im1.计息周期有效利率，即计息周期利率计息周期有效利率，即计息周期利率imri 2.年有效利率，即年实际利率年有效利率，即年实际利率mmrPF)1 ( 根据利率的定义可得年的实际利率，即有效利率根据利率的定义可得年的实际利率，即有效利率ieff为为mmrPIeffi)1 ( 有效利率和名义利率的关系实质上与复利和单利的关系一样有效利率和名义利率的关系实质上与复利和单利的关系一样例例某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利某厂拟向两个银行贷款以扩大生产，甲银行年利率为率为16%，计息每年一次。乙

7、银行年利率为，计息每年一次。乙银行年利率为15%，但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠？但每月计息一次。试比较哪家银行贷款条件优惠？解：解：%0755.1611215.0111%1612nnrii乙甲因为因为i乙乙 i甲甲，所以甲银行贷款条件优惠些。，所以甲银行贷款条件优惠些。【例例】借款借款10001000元，合同规定借期元，合同规定借期6 6年，年利年，年利率为率为12%12%。试按：试按：1 1）一年）一年1 1次复利计息次复利计息; 2; 2）一年）一年2 2次复利计息次复利计息; ; 3 3）一年）一年4 4次复利计息次复利计息; 4; 4）一年）一年1212次复利计息次复利计

8、息; ; 5 5）二年）二年1 1次复利计息次复利计息; 6; 6）三年）三年1 1次复利计息次复利计息; ; 求六种情况下的本利和是多少？求六种情况下的本利和是多少？【解】【解】(1) (1) 一年一年1 1次复利计息次复利计息 F= P(1+ i)F= P(1+ i)n n= 1000(1+12%)= 1000(1+12%)6 6=1973.82=1973.82元元 (2) (2) 一年一年2 2次复利计息次复利计息 i i = r/m =12%/2=6% = r/m =12%/2=6% F= P(1+ r/m) F= P(1+ r/m)nmnm= 1000(1+ 6%)= 1000(1+

9、 6%)1212=2012.20=2012.20元元 ( (多多38.3838.38元元) )(3) (3) 一年一年4 4次复利计息次复利计息 i i = r/m =12%/4=3% = r/m =12%/4=3% F= P(1+ r/m) F= P(1+ r/m)nmnm= 1000(1+ 3%)= 1000(1+ 3%)2424=2032.79=2032.79元元 ( (多多58.9758.97元元) )(4) (4) 一年一年1212次复利计息次复利计息 i i = r/m =12%/12=1% = r/m =12%/12=1% F= P(1+ r/m) F= P(1+ r/m)nmn

10、m= 1000(1+ 1%)= 1000(1+ 1%)7272=2047.10=2047.10元元 ( (多多73.2873.28元元) )(5) (5) 二年二年1 1次复利计息次复利计息 i i = r/m =12%/(1/2)=24% = r/m =12%/(1/2)=24% F= P(1+ r/m) F= P(1+ r/m)nmnm= 1000(1+ 24%)= 1000(1+ 24%)3 3=1906.62=1906.62元元 ( (少少67.2067.20元元) )(6) (6) 三年三年1 1次复利计息次复利计息 i = r/m =12%/(1/3)=36% i = r/m =1

11、2%/(1/3)=36% F= P(1+ r/m) F= P(1+ r/m)nmnm= 1000(1+ 36%)= 1000(1+ 36%)2 2=1849.60=1849.60元元 ( (少少124.22124.22元元) ) 四四. .现金流量图现金流量图（cash flow diagram)描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在描述现金流量作为时间函数的图形，它能表示资金在不同时间点流入与流出的情况。不同时间点流入与流出的情况。 是资金时间价值计算是资金时间价值计算中常用的工具。中常用的工具。现金流量图的三大要素：大小现金流量图的三大要素：大小 、流、流 向向 、时间点、时间点作

12、图方法和规则：作图方法和规则：1）以横轴为时间轴，轴上每一刻度表示一个时间单位：）以横轴为时间轴，轴上每一刻度表示一个时间单位： 年月，零为起点。向右延伸表示时间的延续，年月，零为起点。向右延伸表示时间的延续，2）垂直箭线代表不同时点的现金流量情况，横轴上方的箭线）垂直箭线代表不同时点的现金流量情况，横轴上方的箭线 表现金流入，即收益，下方的箭线表现金流出，即费用表现金流入，即收益，下方的箭线表现金流出，即费用3）在各箭线上方（或下方）注明现金流量的数值。）在各箭线上方（或下方）注明现金流量的数值。4）箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时间单位）箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时间单位

13、（年、季、月）（年、季、月） 必须把握好现金流量的三要素，即：现金流量的大小流量必须把握好现金流量的三要素，即：现金流量的大小流量（现金数额）、方向（现金流入或流出）和作用点（现金（现金数额）、方向（现金流入或流出）和作用点（现金 发生的时间点）发生的时间点）第二节第二节 等值计算等值计算一一 等值的含义等值的含义n作用效果相同作用效果相同等值等值n工程经济分析中，等值三个因素：工程经济分析中，等值三个因素：n金额的大小、金额发生的时间、利率大小金额的大小、金额发生的时间、利率大小注：货币等值是考虑了资金的时间的等值其含义是注：货币等值是考虑了资金的时间的等值其含义是由于利息的存在，因而使不同

14、时点上的不同金额由于利息的存在，因而使不同时点上的不同金额的货币可以具有相同的经济价值的货币可以具有相同的经济价值二、等值计算公式二、等值计算公式n等值计算等值计算可以把一个时点发生的资金额折算可以把一个时点发生的资金额折算 成另一个时点的等值金额，成另一个时点的等值金额，（1 1）常用符号）常用符号PP现值现值FF终值终值AA连续出现在各计息期末的等额支付金额；连续出现在各计息期末的等额支付金额；ii每个计息周期的利率；每个计息周期的利率；nn计息周期数。计息周期数。1.一次支付nn-13210F=？Pnn-13210FP=?等值公式等值公式nn-13210F=？P F = P(1+i)n=

15、 P（F/P，i，n）（F/P，i，n）=(1+i)n _一次支付终值系数一次支付终值公式一次支付终值公式 【例】在第一年年初，以年利率例】在第一年年初，以年利率6%投资投资1000元，元， 则到第四年年末可得之本利和？则到第四年年末可得之本利和？ F=P(1+i)n =1000 (1+6%)4 =1262.50元元 例例某投资者购买了某投资者购买了1000元的债券，限期元的债券，限期3年，年， 年利率年利率10%，到期一次还本付息，按照复利计算法，到期一次还本付息，按照复利计算法， 则则3年后该投资者可获得的利息是多少？年后该投资者可获得的利息是多少？I=P(1+i)n1=1000(1+10

16、%)31=331 元元解：解：0123年年F=?i=10%1000P = F(1+i)-n= F（P/F，i，n）（P/F，i，n）= (1+i)-n 一次支付现值系数nn-13210FP=?一次支付现值公式一次支付现值公式【例】某公司计划两年以后购买一台【例】某公司计划两年以后购买一台100万元的万元的机械设备，拟从银行存款中提取，银行存款年机械设备，拟从银行存款中提取，银行存款年利率利率2.25%,问现应存入银行的资金为多少？问现应存入银行的资金为多少？解：已知解：已知F=100万元，万元，n=2年，年，i=2.25% P= F(1+i)-n =100(1+2.25%)-5 =95.648

17、(万元万元)2. 等额系列终值公式和积累基金公式等额系列终值公式和积累基金公式 等额支付系列现金流量图等额支付系列现金流量图 （1）等额系列终值公式）等额系列终值公式记为（记为（F /A，i, n） iinAF1)1(A1累累 计计 本本 利利 和和 （ 终终 值值 ）等额支付值等额支付值年末年末23AAnAAA+A(1+i)A+A(1+i)+A(1+i)2A1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)n-1=F 0 1 2 3 n 1 n F =？ A (已知）已知）F= A+A(1+i)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 (1) 以以(1+i)乘乘(1)式式,得得 F(1+i)= A(1+i

18、)+A(1+i)2+A(1+i)n-1 +A(1+i)n (2) (2) - (1) ，得，得F(1+i) F= A(1+i)n A),/(1)1 (niAFAiiAFn 【例】连续【例】连续5年每年年末借款年每年年末借款1000元，按年利率元，按年利率 6%计算，第计算，第5 年年末积累的借款为多少？年年末积累的借款为多少？)(1.56376371.51000%61%611000),/(1)1(5元niAFAiiAFn【例】如果从【例】如果从1月份开始，每月月末存入银行月份开始，每月月末存入银行200元，月利率元，月利率1.43，问年底累积的储蓄，问年底累积的储蓄额（复本利和）为多少？额（复

19、本利和）为多少？解：已知解：已知A=200元，元， i=1.43， n=12 = 20012.0948=2419.96(元元) （2 2） 等额支付系列积累基金公式记为等额支付系列积累基金公式记为- -（A / FA / F，i, ni, n）1)1(niiFA例例某公司在第五年末应偿还一笔某公司在第五年末应偿还一笔50万元的债务，按万元的债务，按年利率年利率2.79%计算计算,该公司从现在起连续该公司从现在起连续5年每年末年每年末应向银行存入资金为多少，才能是其复本利和正好应向银行存入资金为多少，才能是其复本利和正好偿清这笔债务？偿清这笔债务？解：已知解：已知F=50万元，万元，n=5年，年

20、，i=2.79%（万元）9.2580.189250FA1i)(1in3.等额系列资金恢复公式和现值公式等额系列资金恢复公式和现值公式 （1）等额系列资金恢复公式）等额系列资金恢复公式根据F = P(1+i)F = P(1+i)n n= =P(F/P,i,n)P(F/P,i,n)F =A F =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i ),/(1)1 ()1 (niPAPiiiPAnnP(1+i)P(1+i)n n =A =A (1+i)(1+i)n n 1 1i i 【例】如果以年利率【例】如果以年利率10%投资某项目投资某项目100万万元，拟在今后元，拟在今后5年中把复本利和在每年年年中

21、把复本利和在每年年末按相等的数额提取，每年可回收的资金末按相等的数额提取，每年可回收的资金为多少？为多少？解：已知解：已知F=100万元，万元，n=5年，年，i=10% = 26.38（万元）（万元）（2）等额支付系列现值公式）等额支付系列现值公式记为（记为（P /A，i, n）【例】某公司拟投资建设一工业项目，希望建成后在【例】某公司拟投资建设一工业项目，希望建成后在6年年内收回全部贷款的复本利和，预计项目每年能获利内收回全部贷款的复本利和，预计项目每年能获利100万元，银行贷款的年利率为万元，银行贷款的年利率为5.76%，问该项目的总投资，问该项目的总投资应控制在多少范围以内？应控制在多少

22、范围以内？解：已知解：已知A=100万元，万元，n=6年，年，i=5.76%n = 495.46（万元）（万元）4. 等值公式使用注意事项：等值公式使用注意事项： 1）计息期数为时点或时标，本期末即等于下期初。）计息期数为时点或时标，本期末即等于下期初。 2）P是在第一计息期开始时（是在第一计息期开始时（0期）发生。期）发生。 3）F发生在考察期期末，即发生在考察期期末，即n期末。期末。 4）各期的等额支付）各期的等额支付A，发生在各期期末。，发生在各期期末。 5）当问题包括）当问题包括P与与A时时 ，系列的第一个，系列的第一个A与与P隔一期。隔一期。 6）当问题包括）当问题包括A与与F时，系

23、列的最后一个时，系列的最后一个A是与是与F 同时同时 发生。不能把发生。不能把A定在每期期初。定在每期期初。注意：实施方案建设投资假定发生在每个计息期（年）初，注意：实施方案建设投资假定发生在每个计息期（年）初， 经常性支出假定发生在每个计息期（年）末经常性支出假定发生在每个计息期（年）末【例】写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为【例】写出下图的复利现值和复利终值，若年利率为i 。0123n-1nA0123n-1nA=A（1+ i ）解：11111111,/nnnniiiAiiiiAniAPAP， 111111,/1iiAiiiAniAFAFnn，三、计息期与支付期相同的计算三、计息期与支

24、付期相同的计算相同相同有效利率有效利率名义利率名义利率直接计算直接计算1.计息期为一年的等值计算计息期为一年的等值计算 从利息表上查到，当从利息表上查到，当n=9，1.750落在落在6%和和7%间间 例：当利率为多大时，现在的例：当利率为多大时，现在的300元等值于第元等值于第9年年末年年末 的的525元？元？%41.6%1)838.1689.1750.1689.1(%6i6%的表上查到的表上查到1.6897%的表上查到的表上查到1.839从从用直线内插法可得用直线内插法可得解：解： F=P(F/P,i,n)525=300(F/P,i,9)(F/P,i,9)=525/300=1.750或：或：

25、F=P(1+i)n=300(1+i)9=500 i=6.41% (一次支付终值公式）一次支付终值公式）例：当利率为例：当利率为8%时，从现在起连续时，从现在起连续6年的年末等额年的年末等额 支付为多少时与第支付为多少时与第6年年末的年年末的10000 等值？等值？ A=F（A/F,8%,6）=10000 (0.1363) =1363 元元/年年解：解：(等额支付终值系列公式等额支付终值系列公式)10000 0 1 2 3 4 5 6 年 i=8% 0 1 2 3 4 5 6 年 A=？ i=8% (等额支付系列终值公式）等额支付系列终值公式） F=A(1+i)n-1)/i 10000=A(1+

26、8%)6-1)/8% A=1363元元/年年 例：当利率为例：当利率为10%时，从现在起连续时，从现在起连续5年的年的年末等额支付为年末等额支付为600元，问与其等值的第元，问与其等值的第0年的年的 现值为多大？现值为多大？ 解：（等额支付系列现值公式）解：（等额支付系列现值公式） P=A(P/A,10%,5)=2774.50元元 P=A(1+i)n-1)/i(1+i)n =600(1+10%)5-1)/i(1+10%)5 =2274.50元元 计算表明计算表明:当利率为当利率为10%时，从现在起连续时，从现在起连续5 年的年的600元年末等额支付与第元年末等额支付与第0年的现值年的现值 22

27、74.50元是等值的。元是等值的。 2. 计息期短于一年的等值计算计息期短于一年的等值计算 如计息期短于一年，仍可利用以上的利息如计息期短于一年，仍可利用以上的利息公式进行计算，这种计算通常可以出现下列公式进行计算，这种计算通常可以出现下列三种情况：三种情况：例例年利率年利率12%，每半年计息一次，从现在起连续，每半年计息一次，从现在起连续3年，年， 每半年为每半年为100元的等额支付，问与其等值的第元的等额支付，问与其等值的第0年的年的 现值为多大？现值为多大？ 解：每计息期的利率解：每计息期的利率 （等额支付系列现值公式）（等额支付系列现值公式） i=12%/2=6%i=12%/2=6%（

28、每半年一期）（每半年一期） n=(3年年) (每年每年2期期)=6期期 P=A（P/A，6%，6）=100 4.9173=491.73元元 元73.49110066%)61%(61%)61()1(1)1(nniiAPi【例】求等值状况下的利率，假如有人目前借入例】求等值状况下的利率，假如有人目前借入2000元，元，在今后两年中分在今后两年中分24次等额偿还，每次偿还次等额偿还，每次偿还99.80元，元，复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效复利按月计算。试求月有效利率、名义利率和年有效利率。利率。 解：名义利率解：名义利率 r=(每月每月1.5%） （12个月）个月）=18% 年有效利

29、率：年有效利率：%56.1911218.011112nnri直接代入等额支付系列恢复公式直接代入等额支付系列恢复公式四、计息期与支付期不相同的计算四、计息期与支付期不相同的计算计息期与支付期不同的等值计算，通常的办法是计息期与支付期不同的等值计算，通常的办法是将其转化、使计息期与支付期相同后再利用等值将其转化、使计息期与支付期相同后再利用等值公式计算公式计算 1.计息期短于支付期计息期短于支付期 【例】按年利率为【例】按年利率为12%，每季度计息一次计算利息，每季度计息一次计算利息，从现在起连续从现在起连续3年的等额年末支付借款为年的等额年末支付借款为1000元，元，问与其等值的第问与其等值的

30、第3年年末的借款金额为多大？年年末的借款金额为多大？ 解：解： 其现金流量如下图其现金流量如下图 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 季度 F=？100010001000n 第一种方法第一种方法：取一个循环周期，使这个周期的年末支取一个循环周期，使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量付转变成等值的计息期末的等额支付系列，其现金流量见下图：见下图： 0 1 2 3 4239 239239 2390 1 2 3 410001000将年度支付转化为计息期末支付（单位：元）将年度支付转化为计息期末支付（单位：元） A=F （A/F，3%，4） =Fi/(1+i)n-1) =1000 0.2390=239元元（A/F，3%，4） 239F=？季度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 经转变后计息期与支付期重合（单位：元）经转变后计息期与支付期重合（单位：元）F=A（F/A，3%，12） =A (1+i)n-1) /i =239 14.192=3392元元 第二种方法第二种方法：把等额支付的每一个支付看作为一次：把等额