真题微积分课件第八章

1、一、全微分一、全微分二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用三、小结三、小结 思考题思考题第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二元函数二元函数 对对 x 和对和对 y 的的偏微分偏微分 (partial differential) 二元函数二元函数 对对 x 和对和对 y 的的偏增量偏增量(partial increment) 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分（perfect differential) 如果函数如果函数),(yx

2、fz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量全增量(perfect increment)的概念的概念 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全增增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示为为)( oyBxAz ，其其中中BA,不不依依赖赖于于yx ,而而仅仅与

3、与yx,有有关关，22)()(yx ，则则称称函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，yBxA 称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分，记记为为dz，即即 dz= =yBxA . . 全微分的定义全微分的定义 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故

4、函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续. 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微分分为为 yyzxxzdz 可微的条件可微的条件证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分,对 点对 点P的 某 个 邻 域 内 的 任 意 一 点的 某 个 邻 域 内 的 任 意 一 点),(yyxxP ，下下式式 )( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，

5、时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx

6、 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf

7、 xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及

8、三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2s

9、in(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.

10、 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.证证令令,cos x,sin y则则22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋

11、于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导二、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连

12、续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .

13、08. 1 ?,1 . 04,206少少黄黄铜铜问问需需要要准准备备多多的的黄黄铜铜均均匀匀地地镀镀上上一一层层厚厚度度为为的的圆圆柱柱体体表表面面半半径径要要在在高高为为例例cmcmRcmH 解解设黄铜的比重为设黄铜的比重为3cmg圆柱体的体积为圆柱体的体积为HRV2 .,2 . 0, 1 . 0,20, 4,VHRHR 要要求求时时依依题题意意2,2RHVRHRV 由于由于HHVRRVdVV 于是于是2 . 0161 . 0160 .2 .19g 从而所需准备的黄铜为从而所需准备的黄铜为 2 .19 多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多

14、元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数的区别）（注意：与一元函数的区别）三、小结 函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处可微的充分条件是处可微的充分条件是: （1）),(yxf在点在点),(00yx处连续；处连续； （2）),(yxfx 、),(yxfy 在点在点),(00yx的的 某邻域存在；某邻域存在； （3）yyxfxyxfzyx ),(),(， 当当0)()(22 yx时是无穷小量；时是无穷小量； （4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx , 当当0)()(22 yx时是无穷小量时是无穷小量. 思考题思考题练练 习习 题题

15、二、二、 求函数求函数)1ln(22yxz 当当, 1 x 2 y时的全微分时的全微分. .三、三、 计算计算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 设有一无盖园柱形容器设有一无盖园柱形容器, ,容器的壁与底的厚度均为容器的壁与底的厚度均为cm1 . 0，内高为，内高为cm20, ,内半径为内半径为cm4, ,求容器外壳体求容器外壳体积的近似值积的近似值. .五、五、 测得一块三角形土地的两边边长分别为测得一块三角形土地的两边边长分别为m1 . 063 和和m1 . 078 , ,这两边的夹角为这两边的夹角为0160 . .试求三角形面积试求三角形面积的近似值的近似值, ,并求其绝对误差和相对误差并求其绝对误差和相对误差. .六六、利利用用全全微微分分证证明明: :乘乘积积的的相相对对误误差差等等于于各各因因子子的的相相对对误误差差之之和和; ;商商的的相相对对误误差差等等于于被被除除数数及及除除数数的的相相对对误误差差之之和和. .七、求函数七、求函数 ),(yxf 0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx 的偏导数的偏导数, ,并研究在点并研究在点)0 , 0(处偏导数的连续性及处偏导数的连续性及 函数函数),(yxf的可微性的可微性. .一、一、1 1、)(1,1,2d