第04b讲地下水文学

1、地下水水文学地下水水文学主讲： 刘国东 教授电话mail:第第4讲讲第二章 地下水运动水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 u潜水非稳定流运动的基本微分方程 取平行于xoz平面的单位宽度进行研究，如图2-2所示，在渗流场中取一微小均衡单元体(称微元体)，它的上界面为潜水面，下界面为隔水层，左右为两相距dx的垂直平面。在dt时间内，潜水面由aa，上升到bb，潜水面变化量为dttH 设流入该微元体的单宽流量为q流出量按线性变化，则为dxxqq 根据均衡方程式收入量收入量-流出量流出量=储蓄量的变化量储蓄量的变化量储蓄量的变化量=dxdttH 布

2、西涅斯克(J. V. Boussinesq)在研究潜水非稳定流运动时，假定地下水是不可压缩的流体，渗透速度仅仅是平面坐标x、y和时间t的函数，即渗透速度Vx和Vy沿高度z没有变化。2.1 地下水运动的基本方程水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 流量Q=VA对于右图，Q=Vx h BB为垂直于流向的含水层延伸长度(宽度)Q/B= Vx h =q 称为单宽流量单宽流量根据 收入量收入量-流出量流出量=储蓄量的变化量储蓄量的变化量在dt时段内，有:dxdttHdtdxdtdxxqqq)(dxdttHdtdxdtdxxq将q= Vx h 代入，同时约去dxdt得tHxhV

3、x)(根据达西公式，xHKVx可得到水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 tHxHhxK)(此式即为一维潜水非稳定运动的基本微分方程，又称为布西涅斯克方程同样原理，可导出二维潜水非稳定运动的基本微分方程为tHyHhyxHhxK)()(若底板水平，上式可写成thyhhyxhhxK)()(潜水非稳定流运动的基本微分方程是一个二阶的非线性偏微分方程，因为式中包含了未知函数h及其导数的乘积项，除了特殊情况有特解外，一般无精确解。为了求解该方程，通常要将其线性化。例如，当含水层的厚度变化不大时，可用平均厚度 来表示，即把 视为常数，则上式变为hhthyhxhhK2222tHz

4、HhzyHhyxHhxK)()()(问题：问题：是否可由此类推得出三维潜水非稳定流的基本微分方程为水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 u承压水非稳定流基本方程直角坐标系将潜水二维非稳定流方程中的h换为M，换为e ，换为E，则有tHEyHyxHxKMe)()(tHTTEyHxHe2222TKM 令则有式中，M为承压含水层厚度，L； T为导水系数，L2T-1 ；E为源汇项，LT-1 ； e为弹性释水系数或弹性储水系数，无量纲。 弹性释水（储水）系数：单位面积承压含水层水头下降（上升）一个单位时所释放（储存）的水量（见图）设E=0，对于稳定流运动，有02222yHxH为

5、Laplace方程水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 如右图所示为承压含水层中抽水井形成的流场剖面。任取一抽水井的微分圆柱体，该柱体高为承压含水层的厚度M，圆柱体内径为r，外径为r+dr。当流入内径为r的圆柱体表面积的水量为-Q，流入外径为r+dr的圆柱体表面积的水量为 ，则微分圆柱体内外的水量差就有)(drrQQrr+drdrrQQdrrQQ)()(根据质量守恒定律，在dt时段内有dttHrdrdtdrrQe2由达西公式，有rHrMKQ2代入上式，得u承压水非稳定流基本方程径向渗流水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 )(2)(2 )

6、(2)2(2222rHrHrKMrHrrHrrKMrHrrKMrHrMKrrQ进而有dttHrdrdrdtrHrHrKMe2)(222tHTrHrrHe122整理，得此式即为承压含水层径向渗流方程tHarHrrH1122eTa若令称为压力传导系数压力传导系数，则有水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程u包气带水的毛细运动毛细现象的实质将细小的玻璃管插入水中，水会在管中上升，到一定高度才停止，这便是毛细现象(图2-5)毛细现象的产生：任何液体都有力图缩小其表面的趋势。一个液滴总是力求成为球体，因为球体是同一容积的液体表面积最小的形状由此说

7、明，液体表层犹如蒙盖着一层拉紧的弹性薄膜，表层分子彼此拉得很紧。设想在液面上划一根长度为l的线段，此线段两边的液面，以一定的力f相互吸引，力的作用方向平行于液面而与此线段垂直(图2-6)，大小与线段长度l成正比，即f=l；称为表面张力系数水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 由于表面张力的作用，弯曲的液面将对液面以内的液体产生附加表面压力，而这一附加表面压力总是指向液体表面的曲率中心方向：凸起的弯液面，对液面内侧的液体，附加一个正的表面压力，凹进的弯液面，对液面内侧的液体，附加一个负的表面压力。 液体与固体接触有两种现象(图2-7)：一种是力图湿润固体表面，称为湿润

8、液体；另一种则力图摆脱固体，称非湿润液体。水对于大多数固体，水属于前者。后者如油水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 图2-8 毛细现象 因此，此时弯液面下的液体实际承受到的表面压力(以下简称“实际表面压力”) P=P0+Pa，此中P0为大气压力。 我们试来分析附加表面压力是如何引起的。为了方便起见，设想切取一个半径为R的半圆球形液面(图2-8)。显然，在此液面的圆周状边线上都存在着指向液层内部的表面张力，其合力为 2R，垂直于面积为R2 的投影圆面。由此，表面张力所引起的附加表面压力P。为：2.2 包气带水运动的基本方程水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电

9、学院四川大学水电学院 当R1 = R2 = R时，RPa2 实际上，任何形状的弯液面所产生的附加表面压力Pa都可以用拉普拉斯方程式表示： 拉普拉斯方程式的涵义是：弯曲的液面将产生一个指向液面凹侧的附加表面压力，附加表面压力与表面张力系数成正比，与表面的曲率半径成反比。水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 PaPaP0P0P=P0-PaP=P0+PaP=P0 当液面为凸形时，附加表面压力是正的。此时，实际表面压力P=P0+Pa ， 如液面为凹形时，附加表面压力是负的， 故实际表面压力P=P0-Pa 。 平的液面，不产生附加表面压力，故实际表面压力P=P0 (图2-9)

10、图2-9 弯液面形状与表面压力的关系2.2 包气带水运动的基本方程湿润液体非湿润液体水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 将半径为r的毛细管插入水中(如图2-10)，毛细管中的水形成凹进的弯液面，并向上升起，到达一定高度才停止，由于管壁上形成结合水，故水能够完全湿润管壁，弯液面的边缘与管壁平行，当毛细管足够细时，弯液面接近于凹进的半圆球形面。根据拉普拉斯方程 ，这里R1 = R2 = r ，故得：rPa2DPa4或D=2r为毛细管直径为应用方便，将附加表面压力Pa换算为以米为单位的水柱高度，并以专门符号S表示，则DgDgPPSaa03. 04图2-10 毛细高度2.

11、2 包气带水运动的基本方程Pa水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 图2-10 毛细高度 设以水面为基准，则毛细管外水面上任一点A的水头值为0，弯液面刚形成，毛细管中水面未开始上升时，管内与A点同高度的B点水头值为-S 。在这一水头差作用下，毛细管中的水上升，直到C点才停止。BC这一高度称为最大毛细上升高度Hc 。此时C点水头值必与A点相等，即：0cHSSHc则 毛细管的直径愈小，毛细力或吸力S便愈大，最大毛细上升高度Hc 也愈大。 2.2 包气带水运动的基本方程0PPHc00PPPHacSPHac S即是所谓的毛细力又称为吸力，在如图2-10 所示的条件下，凹形弯

12、液面下的水实际承受的表面 压力要比平的液面下的水小一个相当S水柱高的压力。换句话说，毛细力S在此情况下是一个负压力，犹如在液体表面造成相当于S的真空，使实际表面压力低于大气压力Pc 。PP0Pa水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 用指向液面凹面一侧的箭头表示毛细力，用从水柱重心画起的箭头向下的线段表示重力，线段长度代表力的大小。 也就是说，包气带水的吸力S愈低，则其基质势m愈大(即负值愈小) ；反之，吸力S愈高，则其基质势m愈小(即负值愈大) 。包气带水分的运动趋势是由基质势m高处向低处流动，也即由吸力S低处向高处流动。毛细力或吸力的负值称为土壤的基质势或负压势m

13、，即mS图2-11显示了不同情况下毛细水受力平衡的情况。水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 土中基质势或负压势的测定，通常用张力计或负压计进行测定(如图2-12)。其原理是当土壤处于非饱和时，由于吸力张力计中的水将通过多孔陶头被吸入水中，那么与负压计相通的水分就补充，水柱降低，则降低的水柱即为吸力(如图2-13)。图2-12 负压计实物zS水基准面非饱和土壤负压计图2-13 负压计原理2.2 包气带水运动的基本方程水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程u水分特征曲线包气带水的基质势或吸力是其含水率的函数，基

14、质势m或吸力S与含水率关系的曲线即称为水分特征曲线(图2-14)。 包气带土壤水分特征曲线须由实验室测出，不同土壤质地的水分特征曲线不同(图2-14a)，即使是同一土壤由于结构不同、干容重不等，其水分特征曲线也不相同(图2-14b) 。水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 许多实验表明，对于同一个土样，即使在其它外界条件不变的情况下，土壤在由湿变干的脱湿过程，以及由干变湿的吸湿过程所测得的水分特征曲线是不相同的，产生所谓的滞后现象 (图2-15)水分特征曲线斜率的倒数(或负倒数)称为(比)容水率，即或容水率或比容水率表示单位基质势(或吸力)的变化引起的含水量变化值，

15、它随土壤含水率或包气带水基质势m(或吸力S)而变化，可记为C()、C(m)或C(S)。水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程u包气带水渗流的基本定律包气带流动的达西定律1931年，理查德(LARichards)最早提出，可以将达西定律引伸应用于包气带水的运动。不过，这时的渗透系数K不再是一个常值，而是一个与包气带含水率 有关的函数值，记为K=K()。 因此，包气带水运动的达西定律可表示为lKV)()(水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 式中 V包气带水运动的断面平均渗透速度； K()与包气带含水率有关的包气

16、带渗透系数，也称导水率； l包气带水的渗透距离； ()与包气带含水率有关的包气带水的土壤水势， =z+ m； ()则指相距l的两处包气带水的土壤水势差，而 则为其土壤水势梯度。l)(水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 在笛卡尔坐标系中，包气带水的达西公式沿三个垂直方向的表达式记为xKVxx)()(yKVyy)()(zKVzz)()(2.2 包气带水运动的基本方程包气带的渗透系数因包气带水的渗透系数K是包气带含水率的函数，而包气带基质势m也是含水率的函数。因此，包气带的渗透系取K也基质势的函数，即K=K(m)。水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学

17、水电学院 实验证明，包气带的渗透系数随含水率的减小而降低，其原因为：随着含水率的减小，包气带孔隙的实际过水面积将减少，因此在单位时间内通过包气带。单位断面积的水量相应减小在包气带含水率减小的过程，较大孔隙中的水分率先排出，余下的水分必将在较小的土壤空隙中流动，其所受的阻力相应增大；随着水分愈趋于在小孔隙中流动，其流程必然更加弯曲，从而使实际流速相应降低。非饱和状态的包气带渗透系数K()恒低于饱和状态的饱水带渗透系数K，两者的比值称之为相对渗透相对渗透率率Kr。其与土壤含水率的关系曲线，如图2-16水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程u

18、包气带水运动的基本微分方程边长为x、y、z；时段 tP点:渗透速度=V(Vx,Vy,Vz)，水的密度=x方向两侧面的流速分别为：2xxVVxx2xxVVxx左侧面：左侧面：右侧面：右侧面：y方向两侧面的流速分别为：2yyVVyy2yyVVyy后侧面：后侧面：前侧面：前侧面：水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 z方向两侧面的流速分别为：2zzVVzz2zzVVzz下侧面：上侧面：x方向两侧面的径流量方向两侧面的径流量(质量质量)：tzyxxVVxx)2(左侧面(流入)为：tzyxxVVxx)2(右侧面(流出)为：x方向质量差：tzyxxVVtzyxxVVxxxx)2

19、()2(流入量-流出量=tzyxxVx水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 y方向质量差：tzxyyVVtzxyyVVyyyy)2()2(流入量-流出量=z方向质量差：tyxzzVVtyxzzVVzzzz)2()2(流入量-流出量=2.2 包气带水运动的基本方程tzyxyVytzyxzVz水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 设t时刻微元体的含水率为， t时间段内的含水率变化为tt则 t时间段内的水量变化为:zyxtt根据质量守恒原理，有zyxtttzyxzVtzyxyVtzyxxVzyx化简得：tzVyVxVzyx)(将包气带水运动的达

20、西公式(即下面三式)代入上式，水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 xKVxx)()(yKVyy)()(zKVzz)()(可得：)()()(zKzyKyxKxtzyx将 =z+ m代入上式，得zKzKzyKyxKxtzmzmymx)()()()(上式为均质各向异性包气带介质中包气带水运动的基本微分方程式，也称为理查德(Richards)方程2.2 包气带水运动的基本方程水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程u各种形式的Richards方程以基质势m为变量的基本方程 包气带渗透系数K和容水率C均可表示为含水率的

21、函数K()和C()，也可表示为基质势m的函数K(m) 和C(m)。由此，可将Richards方程的左端改写为tCtddtmmmm)(将Richards方程中的K()用K(m)代换，得zKzKzyKyxKxtCmzmmzmmymmxmm)()()()()(将Richards方程中的m 用毛管负压水头hm代换(m = hm)，得zhKzhhKzyhhKyxhhKxthhCmzmmzmmymmxmm)()()()()(水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 2.2 包气带水运动的基本方程以含水率为因变量的方程 取包气带渗透系数K() 和容水率C()的比值，定义为包气带的扩散

22、系数D()，即ddKddKCKDmm)(/ )()()()( 扩散系数D()的量纲为L2T-1， 它也是含水率 、基质势m或吸力S的函数。先将Richards方程写成以下形式，zKzKzyKyxKxtzmzmymx)()()()( 由扩散系数D()的定义，可得zKzDzyDyxDxtzzyx)()()()( 对于二维和一维只要在上述方程中降维即可。)(xDxt对于一维垂向流动可写为zKzDztz)()(对于一维水平流动可写为水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 包气带水运动方程的应用包气带水运动方程的应用水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 包包气气带带水水运运动动方方程程的的应应用用水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院四川大学水电学院 包气带水运动方程的应用包气带水运动方程的应用水文地质与地下水水文地质与地下水四川大学水电学院