电磁场课件4 边值问题、分离变量法、有限差分法

1、电介质电介质在外电场作用在外电场作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的，形成有向排列的电偶极子，电偶极子， 并在电介质内部和表面形成并在电介质内部和表面形成极化电荷极化电荷。式中，式中， 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向的方向从负极化电荷指向正极化电荷。正极化电荷。pV无极性分子有极性分子电介质的极化电介质的极化用用极化强度极化强度 P 表示电介质的表示电介质的极化程度极化程度，即，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度电偶极矩体密度1.2.2 1.2.2 静电场中的电介质静电场中的电介质1.2.3 1.2.3 电介质中的静电场电介质中的

2、静电场电介质中的高斯定理应写为：电介质中的高斯定理应写为：自由自由电荷电荷极化极化电荷电荷1()PSodqqES真空中的高斯定理为：真空中的高斯定理为：SVoqddVES当有电介质存在时，电场可看成是当有电介质存在时，电场可看成是自由电荷自由电荷和和极化电荷极化电荷共同在真空中引起的。共同在真空中引起的。+SEqqPPPVVSqdVdVd PPS0()SVddVEPS0DEPSVddVDS1()PSodqqESVqdV自由电荷：自由电荷：极化电荷：极化电荷：代入，得代入，得引入：引入：定义定义 D 为为电通量密度电通量密度，或电位移矢量，则，或电位移矢量，则高斯定律一般式为高斯定律一般式为n

3、电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律011SVSoddVdESPS整理，得整理，得1.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程静电场是一个静电场是一个无旋、有源场无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。，静止电荷就是静电场的源。数学模型为：数学模型为：环路定理环路定理0ldElSVddVDS0ED EDE高斯定律高斯定律积分形式积分形式微分形式微分形式引出计算量引出计算量电场强度电场强度 E 的环路线积分恒等于零。的环路线积分恒等于零。电通量密度电通量密度D的闭合面积分等于该面内所包围自由电荷的总电量。的闭合面积分等于

4、该面内所包围自由电荷的总电量。无旋场无旋场有源场有源场包围点包围点 P 作高斯面作高斯面 ( )。0L1.3.2 分界面上的衔接条件（分界面上的衔接条件（边界条件边界条件)1. . D 的衔接条件的衔接条件SSDSDn2n1则有则有SdqDS根据根据媒质分界面媒质分界面n1n2DD分界面两侧的电通量密度分界面两侧的电通量密度 D 的法向分量不连续的法向分量不连续，其不连续量，其不连续量就等于分界面上的就等于分界面上的自由电荷密度自由电荷密度。当当 时，时， 电通量密度电通量密度 D 的法向分量连续。的法向分量连续。0n2n1DD2. E 的衔接条件的衔接条件围绕点围绕点 P 作一矩形回路作一矩

5、形回路( )。 02LttEE12 E 的切向分量连续。的切向分量连续。0d llE根据01t21t1lElE则有媒质分界面媒质分界面分界面分界面两侧电场强度两侧电场强度 E 的切向分量连续的切向分量连续，即两媒质相交面切，即两媒质相交面切向方向电场强度向方向电场强度 E 相等相等。3. 折射定理折射定理2121tantan折射定律折射定律 n2n1DD t2t 1EE 222111coscosEE2211sinsinEE分界面上分界面上 E 线的折射线的折射2n1n0DD在媒质交界面上，若在媒质交界面上，若 则，则，0它适用于无自由电荷分布的两种电介质分界面。0dlim0021ddlE4 4

6、、 的衔接条件的衔接条件设设 P1 与与 P2 位于分界面两侧，位于分界面两侧， 0d21因此因此分界面电位连续分界面电位连续nn2211得得 电位的法向导数不连续电位的法向导数不连续又由于又由于 ，n1n2DD电位的衔接条件电位的衔接条件nEDnED22n22n211n11n1,即即说明说明 （1）导体表面是等位面，）导体表面是等位面，E 线与导体表面垂直；线与导体表面垂直；导体与电介质分界面导体与电介质分界面例例1 试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。 解解: : 分界面衔接条件分界面衔接条件t2t 1n1n2 EEDD，nn221121 ，n0 ,

7、 const2n2t 0DE，导体中导体中 E0 ，分界面侧，分界面侧（2）导体表面上任一点的）导体表面上任一点的 D 等于该点的等于该点的 。解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应1221021ddUE1221012ddUE1121 EE22110SSq图图(a)图图(b)02211qSS2211 例例2 试求两个平行板电容器的电场强度。试求两个平行板电容器的电场强度。2211EE02211UdEdE平行板电容器平行板电容器 实际电工中经常遇到的问题：实际电工中经常遇到的问题： 给定空间某一区域内的给定空间某一区域内的电荷分布电荷分布（或无电荷），（或无电荷），同时给定该同时给定该区域边界区域边界

8、上的电位或电场（边值，或称边上的电位或电场（边值，或称边界条件），在这种条件下求该界条件），在这种条件下求该区域内的电位或电场区域内的电位或电场强强度分布。度分布。1.4 边值问题、惟一性定理边值问题、惟一性定理接地金属槽的截面接地金属槽的截面y100V例：例：试求长直接地金属槽内试求长直接地金属槽内电位的分布。电位的分布。 静电场的边值问题静电场的边值问题 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程2泊松方程泊松方程E0EEEE2222222zyx2拉普拉斯算子拉普拉斯算子 D02拉普拉斯方程拉普拉斯方程当当 =0时时所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻所有静电场问题的

9、求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。DE1.4.2 边值问题边值问题（Boundary Problem)边值边值问题问题微分微分方程方程边界边界条件条件初始初始条件条件场域边界条件场域边界条件分界面衔分界面衔 接条件接条件 强制边界条件强制边界条件 有限值有限值lim0r自然边界条件自然边界条件 有限值有限值rrlim泊松方程泊松方程/2拉普拉斯方程拉普拉斯方程0221nn2211场域边界条件场域边界条件1）第一类边界条件（狄里赫利条件，）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet)2）第二类边界条件（诺依曼条件）第二类边界

10、条件（诺依曼条件 Neumann)3）第三类边界条件）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上电位及电位法向导数的线性组合已知边界上导体的电位已知边界上导体的电位)(|1sfs已知边界上电位的法向导数已知边界上电位的法向导数(即电荷面密度即电荷面密度 或或电力线电力线)(2sfnS)()3sfnS（例例1 试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布的对称性解：根据场分布的对称性确定计算场域，边值问题确定计算场域，边值问题022222yx（阴影区域）（阴影区域）Ubxbybybx)0,0,(及0)0,0,(222yxayx(

11、0,)0 xxby aEx 0),0(axbyy缆心为正方形的缆心为正方形的同轴电缆同轴电缆0)dd(dd122222rrrr)( ra通解通解43221021)( 16)(CrCrCrCrr例例2 求带电球体产生的电位及电场。求带电球体产生的电位及电场。解：采用球坐标系解：采用球坐标系,分区域建立方程分区域建立方程边界条件边界条件arar21ararrr2010有限值01 r参考电位参考电位02r012212)dd(dd1rrrr)(ar 体电荷分布的球体体电荷分布的球体 电场强度（球坐标梯度公式）：电场强度（球坐标梯度公式）：11)(rErararrreerE2022223)(得到得到ra

12、rararrar03222013)(0)3(6)(errrsin11eerarrrrr0301ee2泊松方程泊松方程E0E D所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方程或拉普拉斯方程的解的过程。程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程解二阶偏微分方程)DE微微分分方方程程边边界界条条件件外边界条件外边界条件内分界条件内分界条件 21nn2211)()3sfnS（环路定律环路定律高斯定律高斯定律静静电电场场定定解解问问题题小结：静电场定解问题（边值问题）小结：静电场定解问题（边值问题）静静电电场场定定解解问问题题静静电电场场定

13、定解解问问题题201.xdU A答案答案:（C ）反证法反证法1.4.3 惟一性定理（惟一性定理（Uniqueness Theorem)例例1.4.3 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？惟一性定理惟一性定理 ： 在静电场中，满足给定在静电场中，满足给定边界条件边界条件的的电位微分方程电位微分方程的的解是惟一解是惟一的。的。002.UxdU B003.UxdU C平板电容器外加电源平板电容器外加电源U0电磁场问题求解 电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题（含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别是解

14、析法、数值法和半解析数值法。 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法（FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ；解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ；半解析数值法是解析法和数值法的综合。1.5 分离变量法分离变量法 分离变量法采用正交坐标系，将分离变量法采用正交坐标系，将变量分离变量分离后得到微分方程后得到微分方程的的通解通解， 当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数积分常数，得到边值问题的解。，得到边值问题的解。1.5.1 解题的一般步骤：解题的一般步骤：2 2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；）

15、分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；3 3）解常微分方程，并叠加得到通解；）解常微分方程，并叠加得到通解；1 1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；）写出边值问题（微分方程和边界条件）；4 4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的特解。 只含有一个变量的微分方程，采用只含有一个变量的微分方程，采用积分法积分法求解。含有两个求解。含有两个变量的微分方程，可以采用变量的微分方程，可以采用分量变量法分量变量法求解。求解。例例1.5.1 试求长直接地金属槽内试求长直接地金属槽内电位的分布。电位的分布。 解解: : 1 1）确定）确定边值问题

16、边值问题1.5.2 应用实例应用实例1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）直角坐标系中的分离变量法（二维场）xayxaxayayaxaxyayxsin100000 ,0 ,0 , 00 , 022222（D 域内）域内）图图1.5.1 接地金属槽的截面接地金属槽的截面yxasin1002 2）分离变量）分离变量试探解试探解)()(),(21yxyx2222d0dy2112d0dx，则则- -分离常数分离常数, ,220, 0 0 ,nnkk 和有22122212dd11ddxy 设设0dd1dd122222121yx代入微分方程得代入微分方程得222220 xy电位方程为电位方程为二阶常系数

17、齐次方程二阶常系数齐次方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程双曲函数双曲函数212222d0dd0dxy2211222222d0dd0dnnkxky1( )cossinnnnnxAk xBk x100( )xA xB200( )yC yD2( )nnnnyC shk yD chk y1( )nnjk xjk xxAeBe120000( , )( )( )()()x yxyA xBC yD即即 kn 为实数时，为实数时，12( , )( )( )(cossin)()nnnnnnnnx yxyAk xBk x C chk yD shk y若若 ，20nk 若若 ，20nk ()(cossin)nnnnnnn

18、nA chk xB shk x Ck yDk y若若 ，20nk 2( )nnk yk yyCeDesinh( )2cosh( )2xxxxeexeex3 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 00B sinsin0nnnnnBDk aFk a (1,2,3)nnkna0)0000axyaA左侧0)00000nbyxaCC底) 00cxaya右侧yanshxanFyx1nn)sin(),(图图1.5.1 接地金属槽的截面接地金属槽的截面y

19、xasin100)sh()ch()(sin()cos()sin()cos()(sh()ch(11ykDykCxkBxkAykDykCxkBxkAnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()(000021yDCxBAyx通解1sin()(ch()sh()nnnnnnnBk x Ck yDk y( , )x y 沿沿 x方向作正弦变化，知方向作正弦变化，知0nnnABA题设题设1sin()sh()nnnnnB Dk xk yayd)sin(100 ax)sin()(sh)sin(1001xannFaxnn比较系数求常数比较系数求常数当当 时，时，1n)sh()sin(sh100),(yaxayx

20、当当 时，时，1n100sh1Fsh1001F1( , )sin()sh()nnnnx yFxyaa等式无法成立！等式无法成立！若金属槽盖电位若金属槽盖电位 ，再求槽内电位分布？，再求槽内电位分布？0U通解通解)(sh)sin),1yanxanFyxnn（)sin()sin()(sh110 xanExannFUnnnn等式两端同乘以等式两端同乘以 ，然后从，然后从 积分积分xamsina0(1) d)sin()sin(d)sin(1000 xxamxanExxamUnana左式左式 )cos1 ( 0mmaU1,3,5,. 20,2,4,. 00mmaUm当当 时，时，0Uay 右式右式 nm

21、EaxxanEnmnn 2d )(sin 02a0代入式代入式（1）)sh(2220nFaEamaUnn代入通解代入通解)sh()sin(sh14),(10yanxannnUyxnn奇数奇数1,3,5,. sh40nmnnUFn图图1.5.3 接地金属槽内接地金属槽内的等位线分布的等位线分布 解：解：1 1）取圆柱坐标系，边值问题）取圆柱坐标系，边值问题001)(1222122112aa0cos ，0 10221021EExa根据对称性根据对称性0)2,( ),(),(及 例例1.5.2 垂直于均匀电场垂直于均匀电场 E 放置放置一根无限长均匀介质圆柱棒一根无限长均匀介质圆柱棒 ， 试求试求圆

22、柱内外圆柱内外 和和 E 的分布。的分布。 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒自然边界条件自然边界条件当当 时，时，0n000000)( ln)(DCBAR，当当 时，时，0nnDnCBARnnnnnnnnsincos)( )(，)sincos( )(1nDnCBAnnnnnnn 代入方程整理代入方程整理 分离变量分离变量, ,设设 )()(),(R0dd1dddd22222RRRR)(ln(),(0000DCBA3 3）通解）通解0dddd2222RnRR拆分为两个方程拆分为两个方程0dd222n2）根据根据 （自然边界条件），得（自然边界条件），得cos01E当当 时，时，1n，

23、EABA100，0nBEnnncoscos),(11根据根据 0 ， 00002nBBA12cos),(nnnnA4 4）利用给定边界条件确定积分常数利用给定边界条件确定积分常数当当 时，时，1n，00noABAnBABAnnnnncos)()ln(),(100通解通解根据根据),(),(0, 00nDC得到得到比较系数比较系数121011)( AaBEaAaBEa和当当n=1时，时，当当 时，时，An=Bn= 0， 则最终解则最终解1n1111011cos)coscos(coscoscosnnnnnnnnnnnnnanAnaBEnaAnaBEa由分界面由分界面 的衔接条件，得的衔接条件，得a

24、cos)()(cos),(0201EaEaa0cos2cos)1 (),(00002EEaEaesin)()(12020 xxExeeE002222a0介质圆柱内外的电场介质圆柱内外的电场 eEcos)()(1202011Ea求电场强度求电场强度E1.6 有限差分法有限差分法1.6.1 二维泊松方程的差分格式二维泊松方程的差分格式Fyx2222（1）二维静电场边值问题二维静电场边值问题 基本思想基本思想：将场域离散为许多：将场域离散为许多网格网格 ，应用，应用差分原差分原理理，将求解连续函数，将求解连续函数 的的微分方程微分方程问题转换为求解问题转换为求解网格节点上网格节点上 的的代数方程代数

25、方程组的问题。组的问题。（2）)(LfL1.6.1 有限差分的网格分割有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格通常将场域分成足够小的正方形网格, ,网格线之间的距离为网格线之间的距离为 h , ,节点节点0,1,2,3,40,1,2,3,4上的电位分别用上的电位分别用 表示。表示。 01234, 令令 h = x - x0，将，将 x = x1 和和 x3 分别代入式分别代入式 ( 3 ) 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh（4）（5）)(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK（3）由式由式（4）+（5）2301222)(0hxxx（6）2402222)(0hyyy（7）同理同理, ,沿沿 x方向在方向在 x0 处的泰勒公式展开为处的泰勒公式展开为2043214Fh当场域中当场域中00404321 若场域离散为矩形网若场域离散为矩形网格格, 宽宽h1高高h2，差分格式为，差分格式为13240222212121111()()()2Fhhhh1.6.2 矩形网格剖分矩形网格剖分五点差分格式五点差分格式20将式将式(6)、式、式(7)代入式代入式 ，得到，得到Fyx2222)(41243210Fh即即应用五点差分格式构建方程组应用五点差分格式构建方程组右图，对该区