第十二章微分方程

1、 教案序号：1授课时间 第1周 1 授课学时2教学内容第十二章 微分方程§12.112.3微分方程的基本概念，可分离变量的方程，齐次方程教学目的与要求使学生了解微分方程的基本概念，熟练掌握分离变量的方法，学会解一般的齐次方程。教学重点与难点可分离变量的方程、齐次微分方程的解法。教学方法与手段传统教学与多媒体教学相结合思考题与参考书高等数学讲义樊映川编 如何求解可分离变量的方程、齐次微分方程？课后小结通过本次课程的教学，使学生了解微分方程的基本概念，熟练掌握分离变量的方法，学会解一般的齐次方程。讲 授 内 容 与 课 堂 组 织一、 什么是微分方程？1 定义 含有未知函数的导数和微分的

2、方程称为微分方程。若未知函数为一元函数，叫常微分方程。微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶。2 什么是微分方程的解？如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等则称此函数为该微分方程的解。 通解：如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为该微分方程的通解。 特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为该微分方程的特解。 初值问题：求微分方程 f(x,y)满足初始条件y|y的特解，这样一个问题叫一阶微分方程的初值问题。二、 如何求解微分方程？1 一阶微分方程的解法： 一阶微分方程的一般形式是：F（x,y, ）0,它的通解含有一个任意常数。 可分离变量的一阶

3、微分方程：例如 - 解： 分离变量 - 两边积分 -lny- lnx + b 故 xyc就是所给微分方程的解。 可化为分离变量的一阶微分方程（齐次方程） 例如 解微分方程 解：原方程可写为： 令 u 则 x+ u x+ u 整理得 x 分离变量 du 两边积分整理得 yc 教案序号：2授课时间 第1周 2 授课学时2教学内容第十二章 微分方程§12.412.6一阶线性微分方程，可降阶的高阶方程。教学目的与要求使学生熟练掌握一阶微分方程的公式解法，学会解一般的二次方程。教学重点与难点一阶微分方程的公式解法。教学方法与手段传统教学与多媒体教学相结合。思考题与参考书高等数学讲义樊映川编 求

4、解一阶微分方程的公式是什么？课后小结通过本次课程的学习，使学生熟练掌握一阶微分方程的公式解法，学会解一般的二次方程。讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 一阶线性微分方程定义 形如+p(x)yq(x) 的微分方程称为一阶线性微分方程。若q(x) 0称为一阶线性齐次微分方程。若q(x) 0称为一阶线性非齐次微分方程。 一阶线性齐次微分方程的通解为 yc (c为任意常数) 一阶线性非齐次微分方程的通解为 ydx + c 例如 解 -y 解 由题意 所求微分方程的通解为 ydx + c 这里p(x)- q(x) dx 故所求微分方程的通解为 y + c讲 授 内 容 与 课 堂 组 织2. 二阶微分方

5、程的解：二阶微分方程的一般形式是：F(x,y,)0,它的通解含有两个任意常数。 经过适当的变换可将二阶降为一阶的微分方程 形如 f(x)的微分方程，这种方程的通解可经过两次积分而求得。 不显含未知函数y的二阶微分方程：形如 f(x, ) 令p 不显含自变量x的二阶微分方程: 形如 f(y, ) 令p p 例 求微分方程满足初始条件y|1 |1 的特解 解：令p p p 分离变量且两边积分得 -2x + 再由初始条件得 y即为所求之特解。 教案序号：3授课时间 第2周 1 授课学时2教学内容第十二章 微分方程§12.8二阶常系数齐次线性微分方程。教学目的与要求使学生熟练掌握二阶常系数齐

6、次线性微分方程解法。教学重点与难点二阶常系数齐次线性微分方程解法。教学方法与手段传统教学与多媒体教学相结合。思考题与参考书高等数学讲义樊映川编如何求解二阶常系数齐次线性微分方程？课后小结通过本次课程的学习，使学生熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程解法。讲 授 内 容 与 课 堂 组 织 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式 + p + qy f(x) 其中p q是常数，f(x)是x的已知函数。当f(x) 0时， + p + qy 0称为二阶常系数线性齐次微分方程。当f(x) 0时， + p + qy f(x)称为二阶常系数线性非齐次微分方程。（1） 二阶常系数线性齐次微分方程

7、的解法： + p + qy 0 第一，根据特征方程+ pr + q 0求特征根第二，根据判别式的不同情况讨论 + p +qy 0的解当-4q0 则 + p + qy 0的通解为y + (,为任意常数)当-4q0 则 + p + qy 0的通解为y( + x) (,为任意常数)当-4q0 则 + p + qy 0的通解为y(cosx+sinx )(,为常数) 例1 求方程 -3 -10y 0的通解 解 特征方程-3r -10 0 -2 5原方程的通解为y + (,为任意常数)例2 求方程 -4 +4y 0的通解 解 特征方程-4r +4 0 2原方程的通解为y( + x) (,为任意常数)例3

8、求方程 -4 +13y 0的通解 解 特征方程-4r +13 0 2+3i 2-3i原方程的通解为y (cos3x + sin3x) (,为任意常数) 教案序号：4授课时间 第2周 2 授课学时2教学内容第十二章 微分方程§12.9二阶常系数非齐次线性微分方程。教学目的与要求使学生熟练掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解法。教学重点与难点二阶常系数非齐次线性微分方程解法。教学方法与手段传统教学与多媒体教学相结合。思考题与参考书高等数学讲义樊映川编如何求解二阶常系数非齐次线性微分方程？课后小结通过本次课程的学习，使学生熟练掌握二阶常系数非齐次线性微分方程解法。讲 授 内 容 与 课 堂

9、组 织(2)二阶常系数线性非齐次微分方程的解法： + p + qy f(x) 第一，根据特征方程+ pr + q 0求特征根第二，根据判别式的不同情况讨论 + p +qy 0的通解又因为二阶常系数线性非齐次微分方程的通解等于齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解 上次我们已经讨论了二阶常系数线性齐次微分方程的通解，现在我们只需要讨论如何求非齐次微分方程的一个特解。下面仅对f(x)的两种情况作一具体讨论：（a） 若f(x)(x) (x)是多项式，r是常数。 + p + qy (x)的特解y(x) r0 -r不是特征根 r1-r是特征单根r2-r是特征重根（b） f(x)(x)cosx+(x)sinx (r ± i) + p + qy f(x) 的特解可设为ycosx+sinx其中,都是m次的多项式 mmaxl,n当(r ± i)不是特征根时，设特解为 ycosx+sinx当(r ± i)是特征根时，设特解为