第六章期权定价理论

1、第六章期权定价理论第一节期权价格的特性一、期权价格的构成期权的内在价值是期权多头在行使期权时可以获得的收益的现值。我们在第五章已经介绍。下面我们介绍期权的时间价值。期权的价格等于期权的内在价值加是时间价值。期权的时间价值是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动性越高，期权的时间价值越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响，以无收益看涨期权为例，当时，期权的时间价值最大，当的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的。我们用例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议

2、价格分别为元，元，它们的有效期都是1年，1年期权无风险利率为10%（连续复利）。这两种期权的内在价值分别为0和1.81（）元，那么这两种看涨期权的时间价值谁高？假设这两种看涨期权的时间价值相同，都是2元，那么第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元，此时投资者愿意买哪一种呢？我们比较这两种期权，假定一年后出现如下三种情况：情况一：，那么期权持有者可从期权1中获利：元，从期权2中获利：元，获利金额相等；情况二：，那么期权持有者在期权1上亏损：元，期权2也亏：元；情况三：，期权1的亏损仍为2.21元，而期权2的亏损则为元，期权1的亏损小于期权2。由此可见，无论未来A股票的涨是跌还是平，

3、期权1均优于期权2，因此期权1的时间价值不应该等于期权2，而应该大于期权2。我们还可以比较下列两个期权：和，显然这两种期权都是内在价值为零的看涨期权，通过分析可以得到，期权1的时间价值应高于期权2的时间价值。时间价值S图1 无收益资产看涨期权的时间价值与内在价值的关系二、期权价格的影响因素期权价格的影响因素有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。（一）标的资产的市场价格与期权协议价格由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的价格与协议价格之差，因此，标的资产的价格越高，协议价格越低，看涨期权的价格就越高；对看跌期权面而言，其收益等于协议价格与标的资产当时的价格之差，标

4、的资产的价格越低，协议价格越高，看跌期权的价格就越高。（二）期权的有效期对于美式期权而言，期限越长获利机会就越多，因此期权的价格会越高。对于欧式期权，由于其只能在期末执行，有效期长的期权不一定包含有效期短的期权的所有执行机会，如标的资产在期限长的有效期内有红利支付（在知短的期限内没有），那么期限长的期权的价格就会低于期限短的期权。这就使欧式期权的有效期与期权的价格之间的关系显得较为复杂。如果剔除了标的资产支付大量收益这一特殊情况，由于有效期长，标的资产的风险就越大，空头的亏损风险就大，因此有效期长，其期权的价格就越高。（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益标的资产分红付

5、息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行调整，因此在期权的有效期内标的资产产生收益将使看涨期权的价格下降，并使看跌期权价格上涨。三、期权价格的上、下限1、无套利定价法套利就是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。即套利就是一投资组合。例：假定市场条件如下：货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1USD1.8DEM（1：1.8），问题是一年期的远期汇率是否还可以是1：1.8呢？如果是，是否存在套利机会？答案是否定的，因为在此情况下会产生无风险的套利活动。套利者可以从货币市场借入1美元（一年后归还1.06美元）；

6、在即期汇率市场上将1美元兑换成1.8马克（存入银行，一年到期可以得到1.98马克），同时在远期市场上以汇率1：1.8卖出1.98马克，期限为一年。那么一年后，套利者就可以在远期市场上换回1.1美元，在支付了原先借入1美元的本息1.06美元后，还有0.04美元的剩余，如果不计成本的话，这个剩余就是套利者获得的无风险的收益，显然，1：1.8不应该是远期汇率的价格，上述组合就是一套利机会。定义1若在整个交易时间0，T内，投资人在决定投资投资后，没有加入新的资金，也没有资金被抽走或消耗，则称投资策略是自融资的。定义2一个自融资策略被称为在0，T内存在套利机会（arbitrage opportunity

7、），如果存在时刻，使得当而且定义3若对于任意的自融资策略在任意时段内都不存在套利机会，那么称市场在时段0，T内是无套利的。定理1若市场在时段0，T内是无套利机会的，则对于两个投资组合和，如果且那么，对于任意的，必有证明：反证法。若不然，一定存在时刻，使得记。在时刻构造新的投资策略那么可以证明是在时段内存在套利机会。从而与定理的假设矛盾。推论若市场在时段0，T内是无套利的，如果两个投资组合和满足，那么对于任意的，必有证明：考虑组合，则有。由定理1知：对于任意的，有即令知：同理可证：。无套利定价的基本的思路是：构建两种投资组合，让其终值期待，则其现值也一定相等；否则就会产生套利机会，即卖出现值较高

8、的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可获取无风险收益。2、期权价格的上、下限基本假设：1、市场不存在套利机会； 2、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）； 3、无风险利率是常数。定理3对于有效期内无收益标的资产的欧式期权，以下的估计式成立（考虑复利率）：（2.1） (2.2)证明：在0时刻，构造两个投资组合：对于一张0时刻面值为的无风险债券，若考虑复利率，有则有因此所以，且由定理1知：即且所以证得了期权的下界。再构造一投资组合，则有且由定理1知：(2.1)证毕。（2.2）的证明作为作业。定理4对于有效期内有收益标的资产的欧式期权，以下的估计式成立（考虑复利率）：（2.3）

9、(2.4)其中D是期权有效期内资产收益的现值。四、期权价格曲线的形状我们以无收益资产的情况为例。1、看涨期权的价格曲线实值期权虚值期权期权价格上限期权价格下限时间价值看涨期权价格2、看跌期权的价格曲线（略）五、欧式看涨、看跌期权的平价公式定理5看涨看跌平价公式（无收益资产）：定理6看涨看跌平价公式（有确定现金收益资产，收益的现值为D）：第二节期权定价的二叉树模型基本假设：1、市场不存在套利机会； 2、证券交易不付交易费用（市场无摩擦）； 3、无风险利率是常数。 4、股票是无限可分的。一、一个例子假定原生资产股票在时刻的价格为元，一个月后（），它有两种可能性：上扬到45元或下跌到35元。那么在时

10、刻购买一张一个月到期，庙宇价格的平价期权，问应该支付多少期权金？（假定一年期的存款利率为12%）。根据期权到期时的收益在时刻，期权的价值亦有两种可能性：若股票上扬，元；若股票价格下跌，则元，即期权一文不值。在时刻，构造一个投资组合：在到期日，该组合的价值也有两种可能性：若股票价格上扬，若股票价格下跌即在到期日，该组合具有确定的值元。另外在时刻，构造一个投资组合：（元）那么在到期日（即一个月后），组合的收益（元）因此有由无套利假设及其推论，知：即由此得：这表明投资者为了购买这张期权，在时刻应该支付期权金元。这个例子的关键在于：（1） 由风险资产股票的看涨期权限c构造一个无风险投资组合，这就是对冲

11、的思想；（2） 求得的期权价格元与每个投资者对未来价的期望无关，因此所得的价格就是期权的风险中性价格。二、 期权定价的一期模型关于风险资产（股票、外汇等）的价格变化规律的研究，从最简单的模型单时段双状态模型开始。以此为基础，我们讨论如何利用无套利原理，求出它的衍生物期权的价格。假设市场由两个资产构成：无风险资产B和风险资产S（股票）。单时段（one period）：是指交易只在时刻的初始时刻以及终止时刻进行。双状态（two state）：是指风险资产的价格在未来时刻只有两种可能性：。我们的问题是：假如在时刻，风险资产的价格为，预期在时，它的价格可能是：和这里。现投资者在购买一张到期日为T，敲定

12、价格为X的看涨期权，如果在0，T时段无风险利率为，那么该看涨期权的价格为多少？在时刻，期权的价格为即在到期日，期权的价格也有两种可能性：和我们的思想是：构造无风险的投资组合。试想卖出一张看涨期权，出售方必然面临风险，为了回避这个风险，出售方要采取适当的策略对风险进行控制，即买进适当份额的股票与它对冲，使得组合为无风险的。记这个份额为，这就是对冲的思想。构成投资组合：购买一份股票，卖掉份看涨期，使得该组合是无风险的，这称为对冲（hedging）。利用对冲技巧，我们给出期权的定价公式。假定存在，使得是无风险的，即有时刻，的价值是确定的，即无风险的。既然是无风险的，那么的投资增长率为无风险利率(不计

13、复利)，即由此得：（3.1）由于在时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有两种可能性，但由于构造的无风险组合，那么我们有（3.2）由（3.1）和（3.2），我们知：在这里，和是未知量。解之得：（3.3）那么（3.4）由无套利假设知：事实上，若，则用无风险利率借入的资产，然后购买一支股票，在到期日时，股票的最少价格为，用卖出股票的钱还债则有无风险收益（最少）：这个组合是一套利机会，与假设相矛盾。同理可得：。定义新的概率测度Q：易知：且从而（3.4）可以改写为（3.5）这里的表示在概率测度Q下，随机变量的数学期望。我们通常也将测度Q称为风险中性测度，（3。5）式告诉我们，看涨期权的价格也可以

14、解释为在风险中性概率条件下，期权价格是其收益期望值的折现。定理1在概率测度Q下，看涨期权在时刻的贴现价格是期权到期日价格贴现值的数学期望，即（3.6）注意：即这说明在概率测度Q下，风险资产S在时刻的期望回报与无风险资产的期望回报相同，我们把具有这个性质的金融市场称为风险中性世界。在这样的世界中，所有的投资者对风险不要求补偿，所有证券的预期收益率都是无风险利率。由此，我们把以上定义的测度Q称为风险中性测度，在风险中性测度下给出的期权定价公式称为风险中性价格。例1 设股票价格为，股票价格以的概率向上和向下波动，无风险利率为15%，那么股票的变化情况为S=21uS=29.4dS=23.1试求协议价格

15、为的看涨期权的价格（到期日就是T时刻）。解：由上面的分析，所以看涨期权的价格为说明：1、由此可知，构造投资组合所需的投资为：，而在期末投资的总价值为：；2、此投资组合的回报率为：一期模型的期权定价公式有三人个有趣的性质：1、期权的价格不依赖于股票价格上升或下降的概率；2、投资者对风险的态度与期权定价公式无关，我们只假设投资者偏好更多的财富；3、股票价格是期权价值惟一依赖的随机变量。3.3 期权定价的二期模型下面我们讨论二期模型。无风险债券B：无风险利率为r为常数，且每期复利一次，即期初为的无风险债券，到二期结束时的价值为。在本例中，设。股票S：经历两期，每期都有两个状态：向上，向下。不妨假定：

16、，。根据假定，可知：由一期模型的讨论知：风险中性概率，我们考虑看涨期权：到期日为时刻，敲定价格为。那么在时刻，期权金从到，可以看作一期模型，因此可以得到：同理，从到仍可以看作一期模型，那么有得：如果期权的执行价格为，则，则期权的价格为（元）第三节 BS期权定价公式金融资产的定价问题是现代财务金融理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融资产（如债券），其价格都是通过净现值方法来确定的。运用净现值方法需要事先确定一个适当的折现率，即资本成本和未来现金流。按照财务理论，该折现率的大小应该与投资风险大小成正比，也就是它应该由无风险利率和风险溢价组成。对于期权来讲，其风险究竟有多大？如何计算出相应的

17、风险溢价以及未来的现金流？这些都是较难解决的问题。一、基础知识和基本假定定义1随机过程被称为Brown运动或Wiener过程，如果满足：1） 轨道连续：，且是的连续函数；2） 增量正态分布：对固定的，以及对有3） 增量独立：若，有与都是相互独立的。定义2 若是非预测的随机过程，在作一个剖分：作积：求和：如果极限存在，其中，且此极限与剖分无关，则称此极限值为的Ito积分，记作：注意：这个积分定义与通常的Riemann积分的定义是有差别的。定理（Ito公式）设，其中是二元可微的。若随机过程适合随机微分方程则 Ito公式是随机分析中复合函数求微分的法则。一、基本假设：1） 股票价格满足随机微分方程：

18、（4.1）其中，是常数。我们称股票价格服从几何布朗运动。2） 股票市场允许卖空；3） 没有交易费用或税收；4） 所有证券都是无限可分的；5） 证券在有效期内没有红利支付；6） 不存在无风险套利机会；7） 交易是连续进行的；8） 无风险利率是常数。二、BS期权定价公式设表示时刻的期权价格，它是时间和股票价格的函数，假定关于有一阶连续偏导数，关于有二阶连续偏导数。（一）BS微分方程构造组合：选取适当的，使得在时段内，是无风险的。设在时刻形成投资组合，并在内，不改变份额。那么由于是地风险的，因此在时刻，投资组合的回报即由于是满足（4.1）的随机过程，而是的函数，所以即要使得是无风险的，则应取，由此可知：那么我们有：这就是著名的BS微分方程。（二）BS期权定价公式1973年，BS成功求解了他们的微分方程，从而获得了看涨期权的定价公式。定理（BS公式）其中, 根据欧式看涨看跌的平价公式，对于无收益资产的看跌期权，其定价公式为：（三）有收益资产的期权定价公式到现在为止，我们一直假定期权的标的资产没有现金收益，那么对于有收益资产，其定价公式又是怎样的呢？当标的资产已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）