第二章 流体的运动

1、第二章 流体的运动  复杂的心脏流动模式可以利用速度场中假象粒子的轨迹直观地表示出来。此图使用时间分辨三维相差磁共振成像技术通过粒子轨迹直观地表示了流入左心室的血流本章是用这些一般规律去研究适用于液体和气体流动的较为特殊的规律。液体和气体的各部分之间可以有相对运动，因而没有固定的形状。物体各部分之间可以有相对运动的特性，称为流动性。具有流动性的物体，称为流体。从具有流动性来看，液体和气体都是流体。 流体的运动规律在水利、电力、煤气和石油的输送等工程部门都有广泛的应用。在人体生命活动中，也起着十分重要的作用。 本章研究流体运动的方法，选用欧拉法，即通过确定流体质元每一时刻在空间各点的密

2、度和速度来描述流体的运动。 实际流体是复杂的，具有可压缩性和粘滞性，研究流体的运动时，可分为理想流体和粘性流体。一般流体的运动也是复杂的，根据流体的运动状态可分为层流（即稳定流动）、湍流和过渡流。 实际流体及其运动都是复杂的。实际流体具有可压缩性和粘滞性；一般实际流体运动时，流速是空间点(位置)及时间的函数，即v = f ( x ,y, z, t )。但在某些问题中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使问题简化。因此，提出流体的理想模型绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体，称为理想流体。把在流体中，各点质元流速不随时间改变的流动称为稳定流动(或定常流动)。为了形象地描述流体的运

3、动情况，引入流线和流管；为了便于描述流体在管道中运动，定义了横截面上的体积流量和平均速度等物理概念。经分析得出不可压缩的流体、稳定流动时的运动规律连续性方程。可压缩性：流体的体积（或密度）随压力的大小而变化的性质，称为流体的可压缩性。压力增大时，流体的体积减小：压力减小时，流体的体积增大。液体的可压缩性很小；气体流动时，可压缩性可以忽略。粘滞性：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力（即内摩擦力），流体的这种性质称为流体的粘滞性。流速大的一层给流速小的一层以拉力，流速小的一层给流速大的一层以阻力。流体的粘滞性流线（stream line）：在流体中作许多曲线，曲线上每一

4、点的切线方向和流经该处的流体质元的速度方向一致，这种曲线称为流线。流线流管（tube of flow）：由流线围成的管子，称为流管。流管理想流体（ideal fluid）：绝对不可压缩、完全没有粘滞性的流体（理想化模型），称为理想流体。实际意义：可压缩性和粘滞性都很小的实际流体，可近似看成理想流体。稳定流动（steady flow）：在流体中，任意时刻，流体质元流经任一给定点的速度不随时间改变，这种流动称为稳定流动。特点：流线不随时间改变，不同时刻也不相交，流线与流动线（流线上质元的运动轨迹）相重合。流管不随时间改变，不同时刻也不相交，管内流体不会流出管外，管外流体不会流入管内。体积流量（vo

5、lume rate of flow）：单位时间内通过流管某一横截面的流体的体积，称为该横截面的体积流量。公式：设Dt时间内通过流管某一横截面的流体的体积为DV，则该横截面的体积流量Q为：           单位：米3·秒-1（m3·s-1）平均流速（mean velocity of flow）：通过流管某一横截面的单位面积流体的体积，定义为该横截面的平均流速。公式：设流管某一横截面的面积为S, 通过该横截面的流量为Q,则流体通过该横截面的平均流速v为：  

6、;    单位：米·秒-1（m·s-1）连续性方程（equation of continuity）： 条件：不可压缩的流体作稳定流动。连续性方程方程：设流管两横截面的面积分别为s1和s2；平均流速分别为v1和v2，则流体通过两横截面的流量Q1 和Q 2相等，即Q1 = Q 2 ，亦即 s1v1 = s2v2 ，此式称为连续性方程。连续性方程表明：(1) 不可压缩的流体作稳定流动时，流管的任一横截面积与该处的平均流速的乘积为一恒量。(2) 同一流管，截面积较大处流速较小；截面积较小处流速较大。(3) 流场中，流线密集的地方流速较大；流线

7、稀疏的地方流速较小。流体动力学的基本原理仍然是牛顿运动定律。伯努利于1738年首先推导出理想流体稳定流动时的动力学基本规律伯努利方程。伯努利方程实质上是理想流体作稳定流动时的功能原理。应用伯努利方程可以解决很多流体运动中的实际问题，而解题方法有别于固体物体的运动。虹吸管、抽水机、流量计、流速计（皮托管）等，都是伯努利方程的实际应用。伯努利方程（Bernoulli equation）： 如图所示，理想流体、稳定流动时，同一流管两截面（s1和s2）处的参量横截面积、速度、压强、高度分别为s1、v1、p1、h1和s2、v2、p2、h2，流体的密度为r由功能原理可推导出伯努利方程： 

8、0;          或            伯努利方程表明：理想流体、稳定流动时，同一流管不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。 解题方法：1.在流体中选流管：通常选管壁或流线。2.在流管上选截面（或点）的原则：选所求量所在处的截面（或点）和已知条件多的截面（或点）。3.高度h的零点（即重力势能零点）位置可任意选，但要便于解题。4.近似条件的使用：(1) 若S2 &g

9、t;> S1，则v2 << v1, 在伯努利方程中v2可近似为零。(2) 与气体相通处液体的压强可近似看成气体的压强。5.较复杂的题，可选同一流管的多个截面，列联立方程求解。 虹吸管：如图所示，粗细均匀的U形管，先注满水，一端插入敞开的容器内的水面下，另一端在容器外，可从容器中把水抽出来，这种管子称为虹吸管。抽水条件：(a) h2>0，即出水口低于液面. (b) h1<10m.抽水机：用管子将水从低处抽到高处的机器。一般抽水机，机内空气压强p内为 0<p内<p0；真空式抽水机一般10-8毫米汞柱，极限状况下p内=0。抽水条件：抽水机不得置于高

10、出水面10m以上。流量计：测量管道中流体流量的仪器。         已知S1、S2、重力加速度g，测量出h，求出Q。液体流量计其中g为重力加速度，r为气体的密度，r'为液体的密度。已知S1、S2，测量出h，求出Q。气体流量计皮托管：测定流速的仪器。如图所示，两个弯成L形的管子，一个管子的开口（A）在前方，另一个管子的开口（B）在侧面。测流速时，将两个管子沿流动方向放置，两管口A、B在同一水平高度，开口A 与流速方向相对，开口B与流速方向相切。液体流速计流速计：由皮托管测速原理制成的测流速的仪器。（注：画原

11、理图及实物图）液体流速计（皮托管）：如图所示，流速 ，测量出h，可知流速v。 气体流速计：如图所示，流速 其中g为重力加速度，r为气体的密度，r'为液体的密度。测量出h，可知流速v。实际流体都不同程度地具有粘滞性。气体和一些粘滞性小的液体在小范围内流动时，粘滞性作为次要因素可忽略不计，而粘滞性很大的流体、或粘滞性虽小，但由于远距离输送，粘滞性的影响却不能忽略不计。研究在流体中运动的物体受到阻力时，也必须考虑到流体的粘滞性。粘性流体层流时，各层流动的速度不同。相邻两层之间存在着摩擦力，称为内摩擦力（或称为粘滞力），其大小与该处的速度梯度有关，与流体的粘滞系数有关，服从牛顿粘滞定律。流体的

12、流动除层流外，还有湍流和过渡流的运动形式，流体处于那一种运动形式，由雷诺数决定。不可压缩的、粘滞流体在粗细均匀的水平圆管中层流时，圆管横截面上速度分布有一定的规律，通过管子的流量遵从泊肃叶定律。：不可压缩的粘性流体，稳定流动时，有粘性流体的运动规律，即对理想流体、稳定流动时的伯努利方程加一个修正项，表示粘性流体在流动过程中需克服内摩擦力做功，因而有自身的能量损失。在流体中运动的物体，由于其表面附着的流体与相临的流体有相对运动，而受到粘滞阻力。球形物体在流体中运动的速度很小时，其受到的粘滞阻力服从斯托克斯定律，物体在流体中上升或下降时，受到重力、浮力和到粘滞阻力。物体起初为变速运动，最终会达到匀

13、速运动，此时的速度称为收尾速度。内摩擦力(internal friction), 粘滞力(viscous force), 粘滞性(viscosity)：流体分层流动时，速度不同的各流层之间存在着沿分界面的切向摩擦力，流速大的一层给流速小的一层以拉力，流速小的一层给流速大的一层以阻力。这种流体内部的摩擦力，称为内摩擦力，或粘滞力。流体的这种性质称为流体的粘滞性。速度梯度（velocity gradient）：流体中，在垂直于流速方向上，单位距离的两流层的速度变化量，称为速度梯度。平均速度梯度：xx+Dx 范围内的平均速度梯度为： 速度梯度：x 附近的速度梯度为： 速度梯度的单位：秒1（s1）。

14、牛顿粘滞定律（Newton law of viscosity ）：粘性流体层流时，相邻两层之间的内摩擦力F与两流层的面积S成正比，与该处的速度梯度 成正比，即称为牛顿粘滞定律。式中比例系数h，称为为流体的粘滞系数。粘滞系数（coefficient of viscosity）h：流体粘滞性大小的量度。流体具有粘滞性的原因：分子力和分子的无规则热运动。滞系数的决定因素：粘滞系数大小由流体本身的性质、流体的温度决定。对液体来说：温度越高，粘滞系数越小；温度越低，粘滞系数越大。对气体来说：温度越高，粘滞系数越大；温度越低，粘滞系数越小。粘滞系数的单位：Pa·s层流（laminar

15、flow）：流体分层流动、各层流动彼此不相混合、只作相对滑的流动，称为层流。湍流（turbulent flow）：流体不保持分层流动、各层之间相互混合、可出现旋涡的流动，称为湍流。过渡流：流体的流动状态不稳定，可能层流，也可能湍流。雷诺数（Reynold number）Re ：流体的流动状态与流体的密度r、粘滞系数h、平均流速v，管道半径r有关。定义  ：Re称为雷诺数。 Re<1000时，流体作层流；Re>1500时，流体作湍流；1000<Re<1500时，流体作过渡流。速度分布: 不可压缩的、粘滞系数为h的流体，在半径为R的水平圆管中层流时，若长度为L的流

16、体两端的压强差为p1-p2，则圆管横截面上速度分布流速随半径变化的关系为：       管壁处：r=R处，vR=0；管中心处：r=0处，中心流速最大， ； 当R，h 一定时，vr由 决定，称为压强梯度。 泊肃叶定律（Poiseuille law）：不可压缩的、粘滞系数为h的流体，在半径为R的水平圆管中层流时，若长度为L的流体两端的压强差为p1-p2，则  流量： ；称为泊肃叶定律。 平均流速 ，流阻：定义 ，则Rf 称为流阻。 单位：牛顿·秒·米-5（N·s·m-5

17、）, 则流量有： 粘性流体的运动规律：不可压缩的粘性流体，稳定流动时有 粘性流体的伯努利方程： 其中w为单位体积流体从1处流到2处克服内摩擦力所做的功，或损失的能量。 能量损失：粘滞性流体，在半径相同的管道中稳定流动时，由粘性流体的伯努利方程：(1) 高度相同时： w = p1 p2，又由泊肃叶定律可得： 此二式表明：(a ) 该情况下流体损失的能量与流程成正比，故称为沿程能量损失，流体损失了压强；(b) 即使在水平管中，也必须有一定的压强差，粘性流体才能作稳定流动。(2) 压强相同时： w = rgh1 rgh2。此式表明：在外界压强相同的情况下，流体损失了重力势能，管道必须有一定的高度差，粘性流体才能保持速度。斯托克斯定律（Stokes law）：半径为r的球形物体,在静止的粘滞系数为