第三章曲面论

1、第三章 曲面的局部理论§3.1 曲面的概念1 曲面的方程向量式方程在中Descartes直角坐标系 O-xyz 下，取单位正交向量 i , j,k为基向量给定三个二元函数 x(u,v), y(u,v),z(u,v)Î作向量值函数r: D®(u,v)®r(u,v) =x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k= (x(u,v), y(u,v),z(u,v) ，则其位置向量终点全体 C= (x, y,z)ν(u,v)ÎD 称为中一光滑曲面。简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数；曲面也可写为分量形式的参数方程例3.1.1：

2、球面的表达式： 或者 例3.1.2：圆柱面的表达式： 例：正螺面的表达式：中曲面的一般式(简单介绍)方程F(x,y,z)=0在直角坐标系O-xyz表示的图像也是一曲面。若可写成z=f(x,y). 这时曲线的向量表达式为r(x,y)=(x,y,f(x,y) 正则曲面 是光滑曲面，若满足则称曲面是正则曲面。2曲面的参数变换先比较曲面S:和 以及 显然和都表示整个圆柱面，表示半圆柱面，。在内 取参数和之间的变换显然和是一一对应的。而且这时在内，和可以统一表示成而 知两曲面正则性也一致。我们称参数和之间的变换 为同一曲面之间的参数变换。定义：设是一一对应，而且满足，则我们称是曲面S：和曲面：的一个参数

3、变换。3 曲面的切平面和法方向。曲面上的曲线。曲面S：上的曲线总可以写成注： 对任意t， 总存在与之对应，故是的函数。特别：当常数，对应的曲线称为曲线。 当常数，对应的曲线称为曲线。曲线和曲线统称坐标曲线。例：曲面的两坐标曲线是？例：曲面的两坐标曲线是？例：曲线的切向量为 ，曲线的切向量为曲面的切向量若过曲面点，称在点的切向量为曲面在点的一个切向量。由可以看出，曲面上任意一切向量可以由该点的坐标曲线的切向量线性表出。故曲面在一点所有切向量是共面的。切平面和法向量 切平面：曲面在一点由该点的张成的平面称为曲面在该点的切平面。显然曲面在P的切平面的方程： 法向量：曲面在一点与该点的切平面垂直的向量

4、称为法向量，过该点与法向量平行的直线称为法线。单位法向量 法线方程： 切平面和法向量与参数变换的关系。设是曲面的另一参数， 显然： 故法方向是由Jacobi行列式的符号决定的。但在参数变换下始终保持平行。故切平面在参数变换下不变。例：求曲面在点的切平面和法线。例: 求曲面的单位法向量。是曲面S上任一曲线，其切向量 又，即 故与正交。由曲线的任意性知，是法向量。 故 练习：求的单位法向量。 自然标架 对 称为点P处的自然标架。显然它一般不正交。例3.1.9 验证旋转面的自然标架一定是正交的。§3.2 第一基本形式1 曲面上曲线的弧长与第一基本形式 若 我们知道的弧长微元又 故令称为第一

5、基本量。称 为第一基本形式。 显然曲线，的弧长为关于第一基本形式的注记： 为一正定二次型。 这是因为 坐标曲线夹角余弦为, 故坐标曲线正交例：求的第一基本形式。例：若曲面的第一基本形式为I= 求曲面上曲线u=从 。例：求曲面坐标曲线的夹角。2 第一基本形式与参数变换。定理：I在参数变换下不变。 证明：设是曲面的另一组参数。现比较和的关系。令=，即=定理3.2.2：I在合同变换下不变。 证明：设为合同变换。显然第一基本量也在合同变换下不变 例如：§3.3 第二基本形式1 曲面在一点的展开与第二基本形式 将曲面沿曲线在展开 令记当时 令称为曲面的第二基本形式。 又，故 关于第二基本形式的

6、注记 显然同样例：计算的第二基本形式。例：计算在处的第二基本形式。2 II的几何意义 令 ，现考察的符号与曲面形状的关系。 考虑高度函数 显然 故是的临界点。 又因为在的Hessian阵为：当时 正定(L>0)或负定(L<0),这时 在达到极值。曲面在该点是凸(不区分上凸何下凸)。 当时 不定，在不是极值，这时曲面在该点为马鞍形。当时 退化。曲面的形状不定。可以考察曲面。3 II的与参数变换的关系设是曲面的另一组参数。现比较和的关系。 ， =注：=，由一阶微分形式不变性，容易得到。 同理：当参数变换是正向变换时 ， 故当参数变换是反向变换时 故得到性质：当参数变换是正向变换时，II

7、不变；当参数变换是反向变换时II变号。4 II与合同变换的关系设合同变换， 故 故§3.4 法曲率和Weigaten变换1 法曲率的概念(1)切方向的确定。每一个向量确定一个方向，反过来却不是。我们需要找到一个和方向是一一对应的量。对 则即的方向只与有关，而且它们是一一对应的。以后我们可以用来表示所确定的方向。 例：曲面上的曲线在点P确定的方向为这是因为 曲线的方向为或者0：1 ，曲线的切向量为或1：0(2)法曲率的定义：定义：设是曲面S：上过P的任一弧长参数曲线。n是曲面在P的法向量。称为曲面在点P处沿曲线的法曲率。 性质：曲面在一点的法曲率与曲线的选取无关，只与曲线的方向有关。证

8、明： 故只与曲线方向有关。 曲面点P处沿方向的法曲率的表达式。因为方向的法曲率为取=，得到沿方向的法曲率为例：求曲面r(u,v)=(ucosv,usinv,v)在点(0,0)沿切方向2的法曲率。例：求曲面在(0,0)点沿方向的法曲率。例：求半径为R的球面的法曲率。2曲面上的渐近方向和点的分类定义：曲面在点P处使法曲率为零的方向称为渐近方向。显然渐进方向满足方程：=0 例：r(u,v)=(ucosv,usinv, u)在点(0,0)的渐近方向为1：0和0：1，即坐标曲线方向是渐进方向。 当时 ， 曲面在点P没有实渐近方向。称点P为椭圆点。当时，曲面在点P有两实渐近方向。称点P为双曲点。当时，曲面

9、在点P有一个实渐近方向。称点P为抛物点。时，称点P为平点。 例：求证:曲面r=的点全是双曲点.3 曲面的Gauss映射和Weingarten变换 (1)Gauss映射定义:映射 称为Gauss映射。为单位球面。S上的任一曲线r(t)在Gauss映射下的像为，则 即 为切向量。 显然也是切向量。(2)Weingarten变换 定义：线性变换 称为Weigaten变换。显然 例：求曲面S：r=(cosu,sinu,v)上任一点r(u,v)在Gauss映射下的象，以及切向量在Weingarten变换下的像。 关于Weingarten变换的一些注记：性质：曲面沿切方向的法曲率 证明：令 则 性质：We

10、ingarten变换是到自身的自共轭变换。 即§3.5 主曲率 Gauss曲率 和平均曲率1 主曲率和主方向定义：Weingarten变换是对称变换，故它的两个特征值都是实数。称这些特征值是曲面的主曲率。对应的特征方向称为曲面的主方向。 设是主方向，是主曲率，则. 即 故主曲率即是主方向上的法曲率。 关于主方向和主曲率的主要性质性质：若两主曲率，则两主方向正交。 证： 设为主方向向量，则，即性质：曲面一点处的两主曲率是该点法曲率的极大极小值。 即若 ，则证：取新参数 ，使，. 故性质：若在一点，则曲面在该点的所有方向都是主方向。在该点常数。是该点任意切向量，常数。故 即，因此. 例：

11、曲线C：r(u(t),v(t)是曲面S:r(u,v)上一曲线，若C的每一点的切方向都是主方向。证明： 其中n(t)是曲面沿C的单位法矢量,是方向对应的主曲率。2 主曲率的计算设Weingarten变换在基下的矩阵为A即.()则A的特征值就是主曲率，特征方向为主方向。现在只需求出矩阵A即可。 即 故()由方程可得到主曲率。 进一步计算可得到主曲率满足的方程为 :.() 再由可得到主方向。例3.5.2：求曲面r(u,v)=(ucosv,usinv,v)在点(0,0)的主曲率和主方向。 E=1,F=0,G=1; L=0,M=-1,N=0. 由 又 解得 即方向1:1 可以得到即方向-1:13 Gau

12、ss曲率和平均曲率 Gauss曲率K=detA=平均曲率 = 的曲面称为极小曲面显然主曲率满足 例3.5.3：求曲面r(u,v)=(u+v,u-v,uv)在点(0,0)的Gauss曲率和平均曲率。E=2,F=0,G=2; L=0,M=-1,N=0.K=-1/4 H=0 主曲率 例3.5.4：验证：()4 Euler 公式设是曲面在点的两个正交主方向。切方向与夹角为，现在来求方向的法曲率。 令例3.5.5：设曲面在一固定点的某方向与一主方向的夹角为,这个方向的法曲率为证明: (H是平均曲率) 例3.5.6：若为曲面上一双曲点两渐进方向的夹角,证明:tan=,这里K,H分别为曲面在此点的Gauss

13、曲率和平均曲率. 提示： 由后一等式可得 例： 若曲面两渐进曲线交于定角,证明:两主曲率之比为常数.5 曲面在一点的近似 设是曲面在点的两个正交主方向，是否存在曲面的另一参数，使 ？若令，则 取， 即可。 即这样的参数是存在的。性质：设是曲面在点的两个正交主方向，则存在曲面的另一参数使取参数使 则曲面的第二基本量分别为：() 这时曲面在点展开为： 取自然标架为新的坐标系。 得到曲面的近似曲面： ， 注：这里 落在切平面部分是高阶无穷小，被略掉了。同样一样考虑。6 面积和面积元曲面的面积元，考虑，则若,则面积S§3.6 特殊曲面 常平均曲率曲面，常高斯曲率曲面等。这里只讨论直纹面和全脐

14、面。 1 直纹面和可展面(1)定义3.6.1单参数直线族构成的曲面称为直纹面（ruled surface），它的参数表示为r(u, v)=a(u) + vb(u) ()其中a(u)是一条空间曲线，称为直纹面的准线(directrix)，b(u)是沿a定义的一个非零向量场，固定u时，a(u) + vb(u)是过点(u)，沿方向b(u)的一条直线，称为直纹面的直母线(ruling)注：上述定义的直纹面是参数曲面，且可能有奇点，即使得的点例3.6.1对于直纹面r(u, v)=a(u) + vb(u)，当b为常向量时，相应的直纹面称为柱面(cylinder)；当所有直母线都经过一个定点时，所得直纹面称

15、为锥面(cone)；当a(u)正则，且a(u)=(u)时，称相应的直纹面为a的切线面(tangent surface to ) 例r(u, v)=(cosu-vsinu, sinu+vcosu, v) =(cosu, sinu, 0)+v(-sinu,cosu, c) 故曲面是直纹面。 例正螺面r(u,v)=(vcosu, vsinu, au)=(0, 0, au)+v(cosu, sinu, 0)是直纹面性质3.6.1直纹面的Gauss曲率非正.证明：对于直纹面r(u, v)=a(u)+v(u)，易算得 ru=(u)+v(u)，rv=(u)，(3.6.2)ruu=(u)+v(u)，ruv=r

16、vu=(u)，ruv=0，则g=rvv，n=0，因此直纹面的Gauss曲率.(3.6.3)证毕.(2)直纹面可展的判断定义3.6.2Gauss曲率恒为零的直纹面称为可展曲面(developable surface)性质3.6.2直纹面r(u, v)=(u)+v(u)是可展曲面，当且仅当它满足下列条件之一：i)(, , )=0；ii)沿着直母线，直纹面的法向量不变，即n(u, )=n(u, ) (). 证明：i)直纹面 ()可展又M=n, ruv= = = 得证。ii) 故 例：证明例3.6.2，3.6.3是可展面。 例：证明：曲面r(u,v)=()是可展面。(3)可展面的分类：可展面只有柱面，锥面，和切线面三类。证明：设S为可展曲面，其参数表示为,根据性质3.6.2，满足=0. ()分两种情形讨论(1)若0，则方向固定，此时S为柱面；(2)若0，即线性无关，()式意味着可以线性表示为=.i) 若,则，直纹面r(u, v)=(u)+v(u)= 它的所有直母线过，曲面为锥面。ii) 若,令，显然 () 即是正则曲线。S的参数表示可写为+由()上式 =+,这说明S的直母线是的切线，此时S为切线面注：上述几种情形并