第八章典型习题解答与提示

1、第八章 无穷级数典型习题解答与提示习题8-11（1）；（2）。2提示，级数的和为。3（1）提示，级数发散；（2）提示，级数是公比的等比级数，级数是公比的等比级数，原级数收敛；（3）因， 则 故，故级数收敛；（4）因，故， 故由级数收敛的必要条件知，级数发散。4（1）错；（2）对；（3）错；（4）错。习 题 8-21（1）级数发散；（2）级数收敛；（3）因，又因为级数是收敛的级数，故由比较审敛法知，已知级数收敛；（4）因，又级数是收敛的等比级数，故由比较审敛法知，级数收敛。2（1）级数发散；（2）级数收敛；（3）因，则，即由比值审敛法知，级数收敛；（4）因，则，故由比值审敛法知，级数发散。3（1

2、）因，故，且，故审敛，即已知级数绝对收敛；（2）故。又，级数是收敛的级数，故由比较审敛法知，级数绝对收敛；（3）因，故，且级数发散，故由比较收敛法知，级数不绝对收敛，但是，易知该级数满足莱布尼兹的条件，故该级数是条件收敛的交错级数；（4）因，故，则，故由比值审敛法，级数绝对收敛。习 题 8-31（1）收敛区间为；（2）收敛区间为；（3）收敛区间为；（4），收敛区间为；（5）因，故， 则，收敛区间为；（6）因，故， 即，收敛区间为；（7）因，故， 即，收敛区间为，即，也即；（8）令，则原级数可化为，因，则，关于的幂级数的收敛半径，即在内收敛；故原级数在内，即内收敛。即所求收敛区间为。2（1）提示

3、令，两边从积分，再求导即可，；（2）方法一因，令， 两边从两次积分，得， 上式两边两次求导，得 即所求和函数为； 方法二因，两边求导，得。即，两边再次求导，得即；（3）令，两边求导，得两边从积分，得即因，故；（4）令，两边求导，得两边再次求导，得则上式从积分，得，上式两边再次从积分，得。3令，两边求导，得，上式两边从积分，得由上级数的和函数知当时，有，则，即。* 习 题 8-41（1）；（2）；（3）提示，；（4）因，又， 则；（5）因，又，则；（6）因，又，则。2（1）提示，；（2）；（3）。3因可看作是在处的函数值。又。则。显然上式右端是一个收敛的交错级数，若取级数的前三项作为的近似值，则

4、误差为，精确到了，达到了精确到要求，即。4略。* 习题8-51（1）提示：由欧拉-傅里叶公式计算，则的傅里叶级数为，由收敛定理知；（2）因，由欧拉-傅里叶公式知，则的傅里叶级数为且，由收敛定理知；（3）因，则由欧拉-傅里叶公式知，则所求傅里叶级数为由收敛定理知；（4）因，则由公式知：，即所求傅里叶级数为且由收敛定理知。2（1）因，是偶函数，则由公式知， 即可得如下余弦级数。（2）因为奇函数，则，即有正弦级数且，由收敛定理知。* 习 题 8-61因周期为4，由公式知，,则所求傅里叶级数为且，由收敛定理知。2因周期为2，则由公式知，为偶函数， 故由收敛定理有。3因，周期数为4，即，则由公式知，则的

5、傅里叶级数为，且，。复习题八17略。8（1）因，又是发散的正项级数， 故由比较审敛法知，原级数发散；（2）因，又是收敛的级数， 故由比较审敛法知，原级数收敛；（3）因，则， 故时，级数发散；时，级数收敛；（4）因，又级数是收敛的级数， 故由比较审敛法知，原级数收敛；（5）因，则，故由收敛的必要条件知，级数发散；（6）因，则， 显然级数发散，即原级数不绝对收敛， 但是，单调递减且趋于0，故由莱布尼兹审敛法知，原级数条件收敛。9（1）原级数可化为，令，则级数又可化为， 于是，故关于的幂级数的收敛半径，即当时，级数收敛，从而原级数在时收敛，于是其收敛区间，当时，级数为，是收敛的交错级数；当时，级数为，是发散的调和级数，于是原级数的收敛域为；（2）原级数即为，于是有，故收敛半径，收敛区间为，又容易知道时，级数皆发散，于是收敛域为；（3）因，又当令时，级数，极限，故级数的收敛区间为，于是，故原级数的收敛区间是，经检验知，已知级数的收敛域为。10（1）因，又，； （2）因，又因，则 （3）因，又，则； （4）因，则；11（1）因，且以为周期，则由公式知：， 即所求傅里叶级数为；（2）因，且以2为周期，则由公式知，注明：，,故