第七课无穷级数2010122(讲稿2)

1、第五课 无穷级数第四节 幂级数一、函数项级数的概念1.【定义】设 是定义在区间上的函数,则 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数.2收敛域(1) 收敛点 常数项级数 收敛；(2) 收敛域 函数项级数的所有收敛点形成的集合；3和函数,.4余项, .注: 只有在收敛域上,才有意义；, .二、幂级数及其收敛性1 一般幂级数标准幂级数（标准幂级数）, 其中常数，.2.重要公式：.对于级数，作代换可以将一般幂级数化为标准幂级数，所以我们只研究标准幂级数敛散性的判别方法.3.【阿贝尔定理】（补充）设的收敛域为，则（1）若且, 则对, 收敛且绝对收敛. (2) 若, 则对,有即级数发散.4收敛半径的计算【定

2、理3】对于， 记(或)（为常数或），则此幂级数的收敛半径为.常用公式:，.5.收敛半径、收敛区间、收敛域1) 收敛半径满足(或)（为常数或）的正数称为的收敛半径.2) 收敛区间若的收敛半径为,则敛区.3）收敛域：若的收敛半径为，且考虑级数在区间端点处的敛散性后所得到的区间称为级数的收敛域.注意:收敛域有四种可能的形式: 4) 规定 幂级数只在处收敛, 定义, 收敛域；独点集 幂级数对一切实数都收敛, 定义, 收敛域.提问（1）求幂级数的收敛域.（缺项级数收敛域求法）解由时级数收敛，由由时级数发散.得 当时，收敛，当时，收敛，所以 收敛域为 .（2） (90.5) 求级数的收敛域.（一般幂级数收

3、敛域求法）解,由知,因此当即时级数收敛.当时,原级数为收敛,当时,原级数为收敛.所以收敛域为.（3）(92.3) 级数的收敛域为.答原级数可看作,因为,于是,则原幂级数在,即内收敛.当和时,原级数都为发散,所以收敛域为.（4）(02.3) 设幂级数与的收敛半径分别为与,则幂级数的收敛半径为（A）(A) 5；(B) ；(C) ；(D) .答因为,所以.（5）（）的收敛半径为 .提示：.三、幂级数以及和函数的运算性质1.设 的收敛半径分别为1）加减法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,.其中: 待定, 而由系列表达式,确定.此处, , 但.2.【性质1】幂级数的和函

4、数在其收敛域上是连续.3.【性质2】幂级数的和函数在其收敛域上的闭子区间可积，且有逐项积分公式 , .例: , .逐项积分时在处无意义.4. 【性质3】 幂级数的和函数在其收敛区间上可微，且在收敛区间上 , .说明：求导与积分前后两级数的收敛半径不变.例13(99.3) .因为,收敛域为，令，则有,所以答案为4.例14(00.6) 设求的和.解由,得,令,则其收敛半径,在内,于是,令,则,从而.例15(03.9) 求幂级数的和函数及其极值.解依题意上式两边从0到积分,得,由得.令,求得唯一驻点,由于可见在处取得极大值,且极大值为.例16(05.9) 求幂级数在区间内的和函数.解设,则, 由于因

5、此又由于所以故例17(06.10) 求幂级数的收敛域及和函数.解由于,当时原级数绝对收敛,当时原级数发散,所以原级数的收敛半径为,且易知当时级数都收敛,故收敛域为.记,则 ，.由于,所以,从而,且幂级数的收敛域为.例18(04.9)设级数的和函数为,求(I)所满足的一阶微分方程; (II)的表达式.解(I)由,易知,且幂级数的收敛区域为,在上逐项求导得,所以是初值问题的解.(II)方程的通解为,由初始条件,知.故是上述初值问题的解,所以.例19 (02.7) (1)验证函数满足微分方程；(2) 利用(1)的结果求幂级数的和函数.解(1) 幂级数的收敛域是,在上逐项求导,得所以.（2）对应的齐次

6、微分方程为的其特征方程为,其特征根为,所以齐次微分方程的通解为.设非齐次方程的特解为,将代入方程可得,则,于是原方程通解为.由解之得,所以幂级数的和函数.例20(08.10) 设银行存款年利率为,并依年复利计算,某基金会希望通过存款万元,实现第一年提取万元,第二年提取万元,第年提取万元,并能按此规律一直提取下去,问至少应为多少万元？【此题为已知将来值求现值的问题】解 若第年提取万元,则相应现在应存入万元,于是 ,将代入,得(万元).第五节 泰勒级数及其应用一、泰勒级数【定理】（Taylor中值Th）:设在内具有直到n+1阶导数, 则在内，其中为拉格朗日型余项.【定理】（TaylorTh）:设在

7、内具有任意阶导数, 则在内.其中为的拉格朗日型余项.结论：函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一的. 因为 泰勒系数（）是唯一的. 2）为在点的Taylor级数，等式在时成立，称为函数的Taylor展式.5泰勒级数与麦克劳林级数设在点具有任意阶导数，则称(1) 为在点的泰勒级数,(2) 称为的麦克劳林级数,结论：当级数收敛于时，即时有泰勒展式.二、函数展开成幂级数1直接法(麦克劳林级数法)步骤：(1) 求； (2) 求；(3) 写出的麦克劳林级数并求出级数的收敛半径；(4) 讨论或，(5) 在收敛区间上有 , .重要公式：（1）, .（2） 收敛域为 .（3）.（4）.（5）.2间接法根据函数的泰勒展式的唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导, 逐项积分等方法,求函数的泰勒展开式.例26 按要求将下列函数展成幂级数（1） 将展开成的幂级数.（注意收敛区间的间接求法）解：已知, . 那么, . (2)解因为,所以有,并由得的收敛域为.(3)解 因为,所以有.(4)解 由,有又由得其收敛区间为.收敛域为 .注意：对于不需要通过积分与求导就可以的得到的级数，其收敛域可以直接由原收敛域间接求出，但对于要积分或求导才能得到的级数，端点要单独考察一下敛散性.（5） ()将函