第七节方向导数与梯_第1页
第七节方向导数与梯_第2页
第七节方向导数与梯_第3页
第七节方向导数与梯_第4页
第七节方向导数与梯_第5页
已阅读5页，还剩1页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、第七节 方向导数与梯度分布图示 引例 数量场与向量场的概念 方向导数的概念 例1 例2 例3 例4 例5 梯度的概念 例6 例7 例8 梯度的运算性质及应用（例9） 例10 等高线及其画法 内容小结 课堂练习 习题97 返回内容要点 一、场的概念： 数量场 向量场 稳定场 不稳定场 二、方向导数 定理1 如果函数在点是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且 （7.1）其中为x轴正向到方向l的转角（图8-7-2）. 三、梯度的概念：函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设可微，为常数，则（1

2、） gradgrad grad ;（2） grad grad grad ;（3） grad grad . 四、等高线的概念例题选讲 方向导数例1（E01）求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数.解 这里方向即为故轴到方向的转角所求方向导数例2 求函数在点沿与轴方向夹角为的方向射线的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?解 由方向导数的计算公式知故(1) 当时，方向导数达到最大值(2) 当时，方向导数达到最小值(3) 当和时，方向导数等于0.例3（E02）求函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点方向的方向导数.解 这里为的方向, 向量的方

3、向余弦为又所以 于是 例4 求在点沿方向的方向导数, 其中的方向角分别为60, 45, 60.解 与同向的单位向量因为函数可微分,且故 例5（E03）设是曲面在处的指向外侧的法向量，求函数在此处方向的方向导数.解 令故 方向余弦为所以 例6（E04）(1) 求 (2) 设, 求.解 (1)这里因为 所以 (2)于是 例7 求函数在点处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?解 由梯度计算公式得故在处梯度为例8（E05）求函数在点处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少.解 由得从而于是在点处沿方向的方向导数最大,最大值是例9（E07） 设为可微函数,求解 由上述公式(3)知grad grad 因为所以grad 注:利用场得概念，我们可以说向量函数grad确定了一个向量场梯度场，它是由数量场产生的. 通常称函数为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10（E06）试求数量场所产生的梯度场, 其中常数 为原点O与点间的距离.解 同理从而 如果用表示与同方向的单位向量,则 上式右端在力学上可解析为, 位于原点而质量为的质点对位于点而质量为 1 的质点的引力.该引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距离平方成反比,该引力的方向由

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论