第2章小波变换的基础理论研究

1、第2章 小波变换的基础理论研究2.1引言Fourier 变换是信号处理的重要工具，它在语音、雷达、声纳、地震、图像、通信系统、自动控制、生物医学工程、机械振动、遥感遥测、电力系统等许多领域都得到了应用。但是Fourier 变换反映的是信号的整体特性，不能得到信号的局部特性。小波变换是时间和频率的局部变换，能更加有效的提取和分析信号的局部特性。小波分析在许多领域，如信号分析、图像识别、计算机视觉、视频图像分析、数据压缩和传输、故障诊断等领域有着重要的应用。图像的小波变换及其压缩编码是当今图像压缩编码领域中的研究热点， Saprio1提出的图像内嵌小波零树EZW(Embedded Zerotree

2、 Wavelet)编码技术使该技术由理论走向实用。Said 和 Pearlman2在EZW基础上又给出了更为精细的基于分层树结构的集合分裂算法SPIHT(Set Partitioning in Hierarchical Tree)。由于这种算法既降低了码率，又加快了算法的执行速度，因而得到了广泛的应用，在新标准JPEG20003,4中已有应用。然而在图像的小波压缩编码技术中，小波基的正则性、信号的边界处理对压缩率及失真的影响仍然是值得研究的问题5。本章在小波变换的理论基础上对这些问题做了一些分析和探讨。2.2 小波变换的原理7-11短时Fourier变换（STFT: Short Time Fo

3、urier Transform）对于一些非平稳信号，如音乐信号、语音信号，图像信号等，它们的频域特性都是随时间变化的。对这一类信号用Fourier变换进行分析，仅能知道信号所含有的频率信息，但不能知道这些频率信息究竟出现在什么时段上，为了研究这些信号的局部形态，需要对信号进行二维时-频分析。二维时-频分析实际上就是依赖于时间的频谱特性。STFT首先是由Garbor提出的。考虑一个信号x(t)，集中在一个局部点t，假定通过一个窗函数g(t)（g(t)是在有限的时间区间内定义的），通过窗口的x(t)g*(t-t)的Fourier变换就是STFT7： (2.1)这就把一维信号x(t)经STFT变换映

4、射到二维的时-频平面（t，f）上。STFT非常强的依赖于窗函数g(t)。STFT的反变换7为： (2.2)滑动窗g(t)tfSTFT(t,f1)STFT(t,f2)STFT(t1,f)STFT(t2,f)t1调制的滤波器组图2.1 STFT的时-频平面t2f1f2（2.1）式可从两方面进行解释6,7。在二维时-频平面上，如图2.1所示，垂直方向上的竖条表示在t时刻，在窗函数g(t)确定的窗口范围内所含有的所有频率分量；另一方面，从子带分析的角度来看，水平方向的横条表示在给定频率f处，用脉冲响应为g(t)的带通滤波器对所有时间的信号进行滤波。g(t)不但要求在时域是近似有限宽的，而且在频域也要求

5、是近似有限宽的，如图2.2所示。STFT中的窗函数g(t)一旦确定，它的时间窗大小和频率窗大小就确定了。时间窗大小和频率窗大小决定了g(t)的时间分辨率和频率分辨率。根据文献7，设g(t)的Fourier变换为G(f)，定义滤波器g(t)的带宽Df为： (2.3)其中分母表示g(t)的能量。两个正弦信号，只有它们的频率差大于Df时，通过滤波器g(t)才能将它们区分出来，所以以g(t)为窗口的STFT的频率分辨率由Df决定。类似，时间的宽度Dt定义为： (2.4)其中分母同样表示g(t)的能量，两个脉冲信号只有它们在时间上相距大于Dt时，通过滤波器G(f)才能将它们区分出来。 在(2.3),(2

6、.4) 式中，假定g(t)和G(f)的中心点在t=0和f=0处，如图2.2所示在STFT中，由于和的固定不变，在整个时-频平面上只能采用相同的频率、时间分辨率，这是STFT的不足。因为对于非平稳信号，也许某一小时间段上，是以高频信息为主，我们希望用小的时间窗进行分析，而对长时间段上的低频信号，希望采用大时间窗进行分析。因此，对于一个时变的非平稳信号，很难找到一个好的时间窗来适合于不同的时间段。小波变换的引入弥补了STFT的不足。小波变换采用了可变带宽的窗函数（滤波器），在低频端用窄带滤波器进行分析，而在高频端用宽带滤波器进行分析，这就是所谓的相对带宽固定的滤波器组（即恒Q特性）6。如图2.3

7、(b)所示。图2.3 (a)为STFT下的绝对带宽恒定的滤波器组。f(b)频域波形图2.2 STFT窗口函数的时、频域波形t(a)时域波形(a) 绝对带宽恒定的滤波器组频谱(b) 相对带宽恒定的滤波器组频谱G(f)G(f)fff02f03f04f05f06f0f02f04f08f0图2.3 STFT和小波变换滤波器组的频谱2.2.2 连续小波变换(CWT:Continuous Wavelet Transform)2.2.2.1 一维连续小波变换设为平方可积函数，L2(R), 若其Fouriera变换A(w)满足： (2.5)则称为一个基本小波或小波母函数，(2.5)式为小波函数的容许条件。由(

8、2.5)式可知： (2.6)即小波母函数的均值为零，那么它一定是正负交替的。如Marr小波:对一个小波母函数，通过平移和伸缩构成一组小波基，记为a0, tR (2.7)参数a,t分别称为尺度因子和位移因子（常数是用于能量的归一化）。Marr小波的基及其Fourier变换如图2.4所示。由于a, t为连续变换的，所以为连续小波基函数。图2.4 Marr小波基的时域波形、频域波形（b）频域波形-10-8-6-4-2024681001234a=2 a=1 a=0.5（a）时域波形-5-4-3-2-1012345-1-0.500.511.5a=0.5a=1a=2信号的连续小波变换定义为7： (2.8)

9、CWT将一维信号映射到二维时间-尺度平面上，在二维时间-尺度平面上，有利于信号特征的提取。从时-频分析的角度来看，如令 (2.9)则CWT可看作是STFT。信号在某一尺度a，平移点t上的小波变换系数，实质上表征的是t位置上，时间段上经过中心频率为，带宽为带通滤波器的频率分量大小。随着尺度a的变化，带通滤波器的中心频率及带宽都发生变化。当分析低频（对应大尺度）信号时，其时间窗增大，滤波器中心频率和带宽减小，而当分析高频（对应小尺度）信号时，其时间窗减小，滤波器中心频率和带宽增大，这正好符合实际问题中高频信号持续时间短，低频信号持续时间长的自然规律。而在STFT中，窗口是固定不变的，这正是两者的本

10、质区别。小波变换的逆变换为8,9： (2.10)2.2.2.2 二维连续小波变换设a(x,y)为一二维连续函数，满足容许条件：(2.11)则可以作为小波母函数。为的二维Fourier变换。二维连续函数的小波变换定义为： (2.12)其中，为二维小波基，t1，t2为两个方向上的位移，a为尺度。 (2.13)二维Marr小波母函数，时域波形见图2.5图2.5 二维Marr小波母函数的时域波形，尺度a分别为0.5、1、2二维小波变换的逆变换为： （2.14）当二维小波母函数是可分离型时，即，则它可简化为一维小波变换。在实际的图像小波变换中大都采用可分离的小波变换。2.3 多分辨率分析与Mallat算

11、法2.3.1 小波变换参数的离散化由于连续小波变换变换域参数是连续的，从降低信息冗余9的角度和实际应用的角度来说，需要将尺度参数和位移参数离散化。一种最常用的方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取a=a0m(mZ，Z为整数基，a01，常取为2)。位移的离散化，为了不丢失信息，要满足Nyquist采样定理。当尺度a增加一倍时（m加1），对应的滤波器带宽减小一半，采样频率可以降低一半，采样间隔增大一倍。因此，在尺度a=1（m=0）时，位移t的采样间隔设为T0，则在尺度a=a0m时的采样间隔为a0mT0。因此，在尺度和位移都离散化后，小波基函数可表示为：，m,nZ. 在归一化(设T0=1)情况下，上

12、式为：(2.15)任意函数x(t)的离散小波变换为：(2.16)2.3.2 多分辨率分析(MRA: Multi-Resolution Analysis)多分辨率分析方法是Mallat在研究计算机视觉时提出的11，它的基本思想是将图像在不同尺度下分解，得到不同尺度下图像分解的结果，然后进行比较，从而得到一些有用的信息。2.3.2.1 多分辨率分析的数学描述9,10,11设函数L2(R)(平方可积空间)，若其整数平移序列相互正交，即： n,nZ (2.17)则由所张成的子空间称为尺度空间9，而函数称为尺度函数(或生成元)。由(2.15)式可知，在尺度函数序列中由于m=0，因此，由所张成的子空间为零

13、尺度空间，记做V0，而即为V0的一组基。根据泛函分析的理论12，任意函数V0，可以由V0的一组基的线性表出，即： (2.18)其中： (2.19)同样可得到尺度m0下的尺度函数序列，由所张成的子空间为m尺度空间，记为Vm。那么任意Vm可由线性表出： (2.20)由此，尺度函数在不同尺度下的平移序列张成了一系列的尺度空间Vm，mZ。随着尺度m的增大，函数的宽度增大，且实际的平移间隔（2mT0）也变大，所以它的线性表达式(2.20)就不能表示函数的细微变换（小于该尺度下的变化），因此，其张成的尺度空间只能包含大尺度的慢变信号，相反，随着尺度m的减小，函数的宽度变小，实际的平移间隔（2mT0）也变小

14、，则它的线性表达式可以表达函数的更细微的变化，因此，其张成的尺度空间所包含的函数增多，尺度空间变大。由此，可以给出多分辨率分析严格的数学描述：（1） 在L2(R)中，存在一系列嵌套子空间Vm，mZ， (2.21)这一系列嵌套子空间具有：逼近性： ； (2.22)伸缩性： (2.23)（2）存在函数V0，使得 nZ构成V0的正交基，即， (2.24)若 nZ是V0的正交基，则m, nZ是Vm的正交基。2.3.2.2 小波函数10虽然多分辨率分析的一系列子空间逼近L2(R)，但是，由于它们之间是互相包含的，不具有正交性，因此它们的基m, nZ在不同尺度下不具有正交性，因而也就不能作为L2(R)的正

15、交基。为了寻找一组L2(R)的正交基，有必要引入Vm的正交补。设Wm是Vm的在Vm-1中的正交补空间，即 (2.25)那么，对任意mn，Wm和Wn都是正交的，由(2.21)、(2.22)式可得： (2.26)因此，Wm是构成L2(R)的一系列正交子空间，且 (2.27)若W0，则Wm，亦即： (2.28)若nZ是W0的一组正交基，由 (2.28) 式对任意尺度mZ， nZ一定是Wm的一组正交基，再根据(2.26)式，全体m,nZ构成L2(R)的一组正交基，就是小波母函数，Wm是尺度为m的小波空间。小波空间与尺度空间是互补的，尺度空间之间是包含关系，而小波空间是正交关系。2.3.2.3 一维信号

16、的多分辨率分析根据多分辨率分析的定义，由于，如果一维信号V0，则可分解（投影）为V1和W1上的两部分，在V1上的投影称为的近似部分，记为，在W1上的投影称为的细节部分，记为。如果是尺度函数，是小波函数，那么： (2.29) (2.30)其中a1,n和d1,n分别为尺度分解系数和小波分解系数： (2.31) (2.32)重构信号: (2.33)同样，当V-1，则可分解（投影）为V0和W0上的两部分： (2.34) (2.35) (2.36)以上的分析是在m=-1,0,1的尺度空间进行的，在其它尺度空间上同样适用。2.3.2.4 一维二尺度方程尺度函数和小波函数在相邻两个尺度上的关系就是二尺度方程

17、，它反映了相邻尺度空间和小波空间之间的内在联系。由多分辨率分析的定义可知，若和分别为尺度空间V0和小波空间W0的正交基，由于V0V-1，W0V-1，所以和也必然包含在V-1中，而V-1的一组正交基为 nZ，所以和可以表示为： (2.37) (2.38)其中系数和分别为： (2.39) (2.40)对任意相邻空间，(2.37)和(2.38)都成立10，此二式就称为二尺度方程。系数和称作滤波器系数，它们是由尺度函数和小波函数决定的，与具体的尺度无关。2.3.3 Mallat算法11设V0是一尺度空间， nZ是它的正交基，那么任意 V0可以由 nZ线性表出，即：其中： 为在V0上的尺度系数。由于V0

18、=V1W1，将f(t)在V1和W1上分解，即：其中： nZ是V1的正交基， nZ是W1的正交基。，分别为在V1上的尺度系数和W1上的小波系数。根据二尺度方程不难得到10,11： (2.41) (2.42)其中：、分别是分解时相应的低通滤波器和高通滤波器，a0,m是0尺度下尺度系数，a1,m是1尺度的尺度系数，d1,m是1尺度的小波系数，初始系数a0,m一般取为函数的采样值10。对a1,m继续分解就可以得到函数的金字塔型分解算法，如图2.6所示g(k) 2 h(k) 2h(k)g(k) 2a0,ka2,kd2,kd1,ka1,k 2图2.6一维Mallat分解算法重构： (2.43)其中：、分别

19、是重构时相应的低通滤波器和高通滤波器。上式中a1,(m-k)/2、d1, (m-k)/2当(m-k)取奇数时取零，即插零。2.4 图像信号的小波变换将一维信号的分析结果推广到二维图像信号上来，就有以下的结果。2.4.1 二维多分辨率分析设VmmZ是一维L2(R)的多分辨率分析的尺度空间嵌套，是它的尺度函数。Vm的一组正交基为，Wm是Vm在Vm-1中的正交补，即, ,而Wm的一组正交基为。则可通过一维多分辨率分析的张量积来定义二维的多分辨率分析。设： (2.50)则满足： (2.51) , (2.51)令，则为的尺度函数，那么，空间的一组正交基为：m,n1,n2Z (2.52)= (2.53)其

20、中：， (2.54)且 (i=1,2,3)，ij，i,j1,2,3，及(m1m2)。在m尺度上,有四个正交的子空间, 它们的母函数分别是： (2.55a) (2.55b) (2.55c) (2.55d)由母函数的伸缩和平移可构成它们的正交基，类似于(2.52)式。由(2.53)式，任一函数可投影到，和空间上，则有： (2.56)其中：,(i=1,2,3)为展开系数，分别为： (2.57a) (2.57b) (2.57c)(2.57d)为在尺度1上的近似系数，为该尺度三个方向上的细节系数。2.4.2 图像小波变换的算法2.4.2.1 二维二尺度方程在二维情况下，每个尺度上有四个子空间，所以就有四

21、个二尺度方程，在0尺度和1尺度之间二尺度方程为:(2.58a)(2.58b)(2.58c)(2.58d)其中i=0,1,2,3二维滤波器系数。对任意两相邻子空间和，上面的二尺度方程总是成立。在(2.50)式的条件下，可以得到： (2.59a) (2.59b)其中，为一维滤波器，见(2.39)、(2.40)式。同理: (2.59c) (2.59d)2.4.2.2 图像小波变换的分解与重构算法10,11根据二尺度方程(2.58)式及(2.57)式可以得到二维图像信号的小波分解算法为： (2.60a) (2.60b) (2.60c) (2.60d)上式将0尺度上的近似系数分解为1尺度上的近似系数和三

22、个不同方向上的细节系数。对1维尺度上的近似系数再进行分解，即形成了二维的金字塔分解算法。重构：+(2.61)2.5 小波变换的正则性132.5.1 小波变换的滤波器表示 2 2 2a0,kd1,ka1,k 20,k图2.7 双通道的滤波器组在小波变换算法中，滤波器起着重要的作用。一维信号的一级小波分解与重构可以用图2.7所示的双通道的滤波器组来表示。设和的z变换分别为和，和的z变换分别为和，a0,k和 0,k分别记为和，它们的z变换分别为和，则： (2.62)当滤波器满足以下条件时：(2.63)(2.64)(2.65)则： (2.66)对应时域为： (2.67)此式表明，重构信号仅是输入信号的

23、n步延迟，即实现了完全重构。由下面的公式可知n一定为奇数。而(2.63),(2.64),(2.65)式就是完全重构条件，对应到时域为：2.5.2 正则性探讨5,13在图像的小波变换编码中，一般选择正交或双正交小波基。小波基对应滤波器组，不同的滤波器组在进行信号分解与重构时产生不同的效果。小波基与滤波器组的对应关系见表2.113：小波基滤波器组对称性相位系数数量正则性正交小波基不对称（除Haar小波）不保证线性相位一组系数，其他三组系数是该组系数的逆序及其调制任意阶正则性双正交小波基对称确保线性相位两组系数，其他两组系数是这两组系数的逆序及其调制有限阶正则性（与滤波器长度有关）表2.1：小波基与

24、滤波器组的对应关系正则性是函数光滑程度的反映，是选择小波变换滤波器应考虑的一个重要因素。定义1:设函数的N阶导数存在，对任意x,xR，若有， 其中：0l1，c是与x,x无关的常数，那么称具有N+l阶正则性。根据定义，若具有N+l阶正则性，则具有N阶连续导数。正则性越高，函数越光滑。越光滑的函数，在频域中能量越集中。尺度函数的正则性与小波函数的消失矩成对应关系，高阶正则性的尺度函数对应高阶消失矩的小波函数。当给出分解低通滤波器后，可以构造出尺度函数14,15。定理1：设是有限长序列，n=0,1, ,L-1，是的z变换。定义, 。所对应的时域序列为，则的长度为。证明：用数学归纳法k=1时，=，对应

25、的时间序列为，结论成立。k=2时，对应的时间序列长度为。根据卷积定理，的时间序列为与时间序列之卷积，其长度为=,结论成立。设k= K时，结论成立。当k=K+1时: 由于的时间序列长度为，所以的序列长度为+=。结论成立。定理2：构造一个函数：，与为一Z变换对。则：，的支撑集为。证明：由于H(k)(z)=，所以：，。又由于：,。令：，则：,。所以：。根据定理1，。当k时，若收敛到一个连续函数，那么就具有正则性，就是由生成的尺度函数。只有满足一定的条件16，才能保证收敛到一个连续函数。实际的图像除小部分边沿之外，大部分是光滑的。小波分解时，低频系数包含原图像的大量信息，而高频系数除极少数系数外，大部

26、分接近于零。基于小波变换的图像压缩编码技术正是利用了小波变换的这个特性。设是一个充分光滑的函数，可由t=0点的Taylor级数近似： (2.68)其中：表示在t=0点的阶导数。根据Taylor级数的性质，当M时，。由(2-36)式，小波展开系数 (2.69)定理3：当小波函数具有M阶消失矩时，即:，= 0, 1 ,M-1，则： ，= 0,1,M-1，nZ(整数集)。证明： = 0回到（2.69）式，当的消失矩越高时,d0,n越接近于零。2.6 滤波器组的线性相位与边界处理13当信号经过小波分解后，分解后的信号要发生相移；当滤波器具有线性相位时，它的相移是线性的；而当滤波器不具有线性相位时，它的

27、相移是非线性的。对线性相移，在重构时可用与分解滤波器成正交的重构滤波器进行补偿，使重构的信号在相位上保证与原信号一致。小波变换是针对无限长信号的，对于有限长的信号，必须处理好边界问题。处理边界的原则是（1）保持信息不丢失（即恢复信号不能畸变），（2）数据量不能增大。为此，已有了零延拓、对称延拓17及周期延拓。我们认为周期延拓是更好的方法，结合本文提出的滤波方法，可以满足上面两点要求。设待处理的有限长信号为, ，长度为N；对做周期延拓。分解时向后延拓M(滤波器长度)点，= , , ，其中，对做滤波，设滤波器为h0(0), h0(1), h0(M-1)，则输出：n=0,1,N-1 (2.70)表示

28、为矩阵形式： (2.71)的相位比滞后一个角度，长度仍保持N。重构时则相反，将输入信号向前延拓M点，滤波器采用重构滤波器，则重构信号为，用矩阵表示为： (2.72)其中：=,=, 。重构信号的相位比超前一个角度，从而使与保持同相位，长度为N。2.7 仿真研究2.7.1 滤波器正则性与小波变换的关系a1d1d2d3小波分解 a0图2.8 图像的一次小波分解正则性与小波变换的关系。选用不同正则性的滤波器组对标准图像Lena(2562568bit)及mosaic(2562568bit)图像进行一次分解与重构，如图2.8所示，结果见表2.2，其中：a0为原图像的像素灰度值矩阵，a1为低频分量， dk（

29、k=1,2,3）为三个方向上的高频分量。表2.2 正则性与小波变换的关系（Lena图像/mosaic图像）图2.9、图2.10为重构图像。重构时只保留低频分量,并对其进行整数量化，舍去高频分量。小波滤波器系数正则性rard1rd2rd3PSNR(db)长度0 1 2 3 4Haar(h0) 2.707,. .7070.000.9941/.6250.0035/.1250.0020/.1250.0003/.125028.77 /7.27(g0) 2.707, .7070.000双正交(h0) 9.853, .377, -.111, -.024, .0381.068.9966/.8001.0012/

30、.0632.0006/.0632.0002/.063233.25 /11.56(g0) 7.788, .418, -.041, -.0651.7012.7.2 滤波器的线性相位与信号的边界问题选输入信号为正弦信号x(n)=sin(wn),频率w=p/18,y1为分解后的低频信号，y为重构信号（舍去了高频信号）。图2.9 Lena图像的小波分解与重构(b)Haar小波(c)双正交小波(a)原图像(b)Haar小波(c)双正交小波(a)原图像图2.10 Mosaic 图像的小波分解与重构Case 1:选用双正交小波滤波器组h0= 0.0663,-0.1989,-0.1547,0.9944, 0.9

31、944,-0.1547,-0.1989,0.0663 g0= 0.0000, 0.0000, 0.1768, 0.5303, 0.5303, 0.1768, 0.0000, 0,0000 Case 2:选用正交小波滤波器组h0= -0.0106, 0.0329, 0.0308, -0.1870, -0.0280, 0.6309, 0.7148, 0.2304 g0= 0.2304, 0.7148, 0.6309, -0.0280, -0.1870, 0.0308, 0.0329, -0.0106图2.11 双正交小波分解与重构 (a)输入信号, (b)分解信号,(c)重构信号051015202

32、53035401x(a)0-10510152025303540(b)0510152025303540(c)20-220-2y1ynnn图2.12 正交小波分解与重构 (a)输入信号, (b)分解信号, (c)重构信号05101520253035401x(a)0510152025303540(b)0510152025303540(c)0-120-220-2y1ynnn仿真结果见图2.11和图2.12。本章小结：小波变换是一种变尺度的时-频联合分析方法，它更适合于对非平稳信号的处理，能够分析到信号的局部形态，它的变尺度特性低频部分采用大的时间尺度，高频部分采用小的时间尺度，与人类的视觉系统相吻合。

33、本章对小波变换的理论基础做了分析和归纳，特别对小波变换中的两个关键技术小波的正则性与信号的边界处理做了进一步的分析和探讨，从而得出如下结论：1. 正则性是我们选择小波基时要考虑的一个重要因素。对一般较为平滑的图像，如Lena图像，经过小波分解后，低频分量较大，而高频分量较小；而且正则性阶数越高，低频分量越大，高频分量越小。对于图像的压缩编码来说，压缩比大，恢复图像失真小。但对纹理较多的图像，如mosaic图像，小波分解后，其低频分量减小，高频分量增大，因而压缩比减小，恢复图像的失真加大。2. 对有限长信号，经过小波分解后，必引起相位的偏移，为了减小相位偏移所引起的相位失真，在分解与重构时应采用

34、向前、向后的周期延拓；采用本文所提出分解与重构算法，可以使信号在小波变换前后的相位偏移得到完全的补偿。经过周期延拓，可以使数据量不扩大且信息不丢失。参考文献1 Shapiro J M. Embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficientsJ. IEEE Trans. Signal Processing, Dec.1993, 41(12): 3445-3462.2 Said A, Pearlman W A. A new, fast, and efficient image codec based on set partitio

35、ning in hierarchical trees J. IEEE Trans. Circuits and Systems for Video Technology, Jun. 1996, 6(3):243-250.3 张晓娣，刘贵忠等. 新一代的静止图像压缩标准JPEG2000J. 电信科学， 2001, No.5:20-23.4 屈稳太,诸静. 基于静止图像压缩标准JPEG2000的变电站图像监控系统的研究J. 电力系统及气自动化学报, 2003,25(1).5 Villasenor J D, Benjamin B, Liao J. Wavelet filter evaluation for image compression J. IEEE Trans. Image Processing, 1995, 4(8