第一章章末检测

1、章末检测范围1.11.2时间:45分钟分值:100分题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=2,则=()A.1B.C.D.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=()A.B.C.2 D.33.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60°,b=1,SABC=,则的值为()A.B.C.D.4.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是()A.a=8,b=16,A=30°,有两解B.

2、b=18,c=20,B=60°,有一解C.a=5,c=2,A=90°,无解D.a=30,b=25,A=150°,有一解5.已知钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC等于 ()A.5B.C.2D.16.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B等于()A.B.C.D.7.一船自西向东匀速航行,上午7时到达灯塔A的南偏西75°方向且距灯塔80 n mile的M处,若这只船的航行速度为10 n mile/h,则到达这座灯塔东南方向的N处时是上午()A.8时B.9时C.

3、10时D.11时二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A=,a=2,c=,则sin C=. 9.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=,sin A=,c-a=5-,则b=. 10.已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边,若D为BC的中点,·=,则角B=. 11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=6,则=. 三、解答题(本大题共3小题,共45分)12.(15分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b

4、,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.13.(15分)已知A,B,C为ABC的三个内角,且其对边分别为a,b,c,cos Bcos C-sin Bsin C=.(1)求A;(2)若a=2,b+c=4,求ABC的面积. 14.(15分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t时后与轮船在B处相遇.(1)若相遇时小艇的航行距离最小,问小

5、艇的航行速度应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使小艇能在最短时间内与轮船相遇,并说明理由.图G1-1章末检测答案1.D解析 由正弦定理得=,=,故选D.2.D解析 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3b=-舍去,选D.3.B解析 因为SABC=,即bcsin A=,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A=13,所以a=,所以=.4.D解析 选项A中,由=,得sin B=1,即B=90°,只有一解;选项B中,sin C=,且c>b

6、,C>B,故有两解;选项C中,A=90°,a=5,c=2,b=,有解.因此A,B,C都不正确,故选D.5.B解析 ABC的面积S=AB·BCsin B=×1×sin B=,sin B=,又0<B<,B=或.当B=时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,AC=,此时ABC为钝角三角形,符合题意;当B=时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,AC=1,此时AB2+AC2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意.综上可知,AC=.6.A解析

7、 由条件得sin Bcos C+sin Bcos A=,由正弦定理,得sin Acos C+sin Ccos A=,sin(A+C)=,从而sin B=,又a>b,且B(0,),B=.7.D解析 由题意画出示意图如图所示,则MAN=75°+45°=120°,MA=80,AMN=90°-75°=15°,ANM=45°.由正弦定理,得=,则MN=40,船从M处到N处需要的时间是=4(h),即到达这座灯塔东南方向的N处时是上午11时,故选D. 8.解析 由正弦定理可得=,sin C=.9.解析 在ABC中,由正弦定理,得=,

8、即=.又c-a=5-,得c=5,a=.由sin A=,c=>,得cos A=,cos B=-cos(A+C)=-cos Acos C+sin Asin C=,则b2=a2+c2-2accos B=10+25-2×5××=5,则b=.10.30°解析 D为BC的中点,=(+).又=-,·=(+)·(-)=(-)=(b2-c2),(b2-c2)=,b2=a2+c2-ac.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B知,cos B=,B=30°.11.解析 =,=.由余弦定理得cos A=,=×=,12.解:(1)

9、证明:根据正弦定理,可设=k(k>0),则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C,代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=,所以sin A=.由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.13.解:(1) cos Bcos C-sin B

10、sin C=,cos(B+C)=cos(180°-A)=-cos A=,A=120°.(2)由(1)知A=120°,a=2,b+c=4,b2+c2-2bccos A=a2,即(b+c)2-2bc-2bccos A=a2,42-2bc+2bc×=,bc=4,ABC的面积S=bcsin A=×4×=.14.解:(1)由题意知AO=20,AB=30t,设相遇时小艇航行的距离为S,则S=. 故当t=时,Smin=10,v=30,即小艇以30海里/时的速度匀速行驶,相遇时小艇的航行距离最小.(2)由余弦定理得v2t2=400+900t2-2×20×30