积分微积分等重要公式

1、有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦）一、 （系数不为0的情况）二、重要公式（1）（2）（3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）三、下列常用等价无穷小关系（）四、导数的四则运算法则五、基本导数公式六、高阶导数的运算法则（1） （2）（3） （4）七、基本初等函数的n阶导数公式（1） （2） (3)(4)(5)(6) (7)八、微分公式与微分运算法则九、微分运算法则十、基本积分公式十一、下列常用凑微分公式积分型换元公式十二、补充下面几个积分公式十三、分部积分法公式形如，令，形如令，形如令，形如，令，形如，令，形如，令均可。十四、第二换元积分法中的三角换元公式

2、(1) (2) (3)【特殊角的三角函数值】（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4） （5）（1） （2） （3） （4）不存在 （5）（1）不存在 （2） （3）（4）（5）不存在十五、三角函数公式1.两角和公式2.二倍角公式3.半角公式4.和差化积公式5.积化和差公式6.万能公式7.平方关系8.倒数关系9.商数关系十六、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程： ， 2.齐次微分方程：3.一阶线性非齐次微分方程： 解为：旋转曲面的参数方程-利用正交变换作旋转众所周知，坐标面上的曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为 （1）（见同济大学高等数学（5版上册），313页

3、）。如果以上曲线的方程能写成显函数（），则该旋转曲面的方程为或 （2）这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点，这个方程给出圆心在，半径为的一个垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程是显函数（），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： （，） （3）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。如果曲线的方程能写成参数方程（），则旋转曲面的参数方程为： （，） （4）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。推而

4、广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为 （），则此曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为： （，） （5）这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学高等数学（5版上册），322页）。例1坐标面上的圆 （）绕轴旋转而成的旋转曲面为一圆环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为（），再用方程（4）得到圆环面的参数方程： （，）如图1（取）。图1 圆环面绘制图1的Mathematica程序：a=1;b=3;xxt_:=0;yyt_:=b+a Cost;zzt_:=a Sint;rt_:=A

5、bsyyt;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,0 ,2 Pi,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,0,2 Pi,theta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3

6、;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-5,5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-5,5,-5,5,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->5,4,3例2 空间直线 （）绕轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程（5）得到单叶双曲面的参数方程： （，

7、）（见同济大学高等数学（5版上册），322页）。如图2图2 单叶双曲面绘制图2的Mathematica程序：xxt_:=1;yyt_:=t;zzt_:=2t;rt_:=Sqrtxxt2+yyt2;xt_,theta_:=rt Costheta;yt_,theta_:=rt Sintheta;zt_,theta_:=zzt;Quxian=ParametricPlot3Dxxt,yyt,zzt,t,-1.2 ,1.2,PlotStyle->Red,Thickness0.02;Qumian=ParametricPlot3Dxt,theta,yt,theta,zt,theta,t,-1,1,th

8、eta,0,2 Pi,PlotPoints->40;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->Fals

9、e,Axes->False,ViewPoint->5,4,3从图2看出，用参数方程（5）绘制的曲面上的母线并不是原来那条直线（图中红色的直线）绕轴旋转时留下的直线族。为了绘出以圆曲线在旋转时的曲线族为母线的曲面，我们必须利用旋转曲面的另一种参数方程。这要用到直角坐标系中的旋转变换。平面直角坐标系中一个点绕原点逆时针旋转角度后的点的坐标为 或 （6）如图3。（见同济大学线性代数（5版），32页）图3 平面直角坐标面上点的旋转同理，空间直角坐标系中一个点绕轴旋转角度（从轴正向看去为逆时针方向）后的点的坐标为 或 （7）因此利用正交变换（7），空间曲线 （）绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方

10、程又可以写成：（，） （8）例1 中的圆环面的参数方程可以改写成：（，）例2 中的单叶双曲面的参数方程可以改写成：（，）我们用这个参数方程来作图（图4）：图4 单叶双曲面图4清楚地显示了那条红色的直线在绕轴旋转时留下的直线族。绘制图4的Mathematica程序：rt_:=1,t,2t;Atheta_:=Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta,0,0,0,1;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAth

11、eta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-3,3,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumi

12、an,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-2,2,-3,3,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3同理，我们可以很方便地得到空间曲线绕轴或轴旋转而成的旋转曲面的参数方程。结论：设有空间曲线 （），则利用绕坐标轴旋转的变换，该曲线分别绕三个坐标轴旋转而成的旋转曲面的参数方程分别是：（1）绕轴旋转：（，） （8）（2）绕轴旋转：（，） （9）（3）绕轴旋转：（，） （10）例3 求空间曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方程，并作图。解 根据方程（9），旋转曲面的参数方程是：（，）如图5。图5 绕轴旋转的曲面绘制图

13、5的Mathematica程序：rt_:=t,t2,t3/3;Atheta_:=Costheta,0,-Sintheta,0,1,0,Sintheta,0,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.1,1.1,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-

14、1,1,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-0.5,1.5,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQumian,Quxian,XYZ,PlotRange->-2,2,-0.5,1.5,-1,1,Boxed->False,Axes->False,ViewPoint->6,3,3例4 求空间曲线绕轴旋转

15、而成的旋转曲面的参数方程，并作图。解 根据方程（10），旋转曲面的参数方程是：（，）如图6：图6 绕轴旋转的曲面绘制图6的Mathematica程序：rt_:=t,t2,(1+t3)/3;Atheta_:=1,0,0,0,Costheta,-Sintheta,0,Sintheta,Costheta;Quxian=ParametricPlot3Drt,t,-1.2,1.2,PlotStyle->Red,AbsoluteThickness3;Qumian=ParametricPlot3DAtheta.rt,t,-1,1,theta,0,2 Pi,Mesh->10,20,PlotPoints->40,AspectRatio->Automatic;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,2,PlotStyle->AbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-1