第十二章微分方程

1、第十二章微分方程 一基本内容 1.微分方程，常微分方程和方程的阶包含自变量、未知函数即未知函数的导数或微分的方程叫微分方程，简记为方程.在微分方程中，若自变量的个数只有一个，则称它为常微分方程.微分方程中所出现的未知数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.方程的解使方程成立的未知函数称为方程的解.在阶微分方程中含有个相互独立的任意常数的解称为方程的通解.在通解中给定了任意常数的值而得到的解叫做方程的特解.3.隐式通解一般地，阶微分方程的通解，可用隐式给出，叫做微分方程的隐式通解.隐式通解中为任意的常数在初始条件，解出的值，可得特解.4.一阶微分方程的类型(1)可分离变量, ；(2

2、)齐次方程，；(3)一阶线性方程，(4)贝努利方程，；(5)全微分方程，.5.可降阶的高阶微分方程（方程类型）(1)；(2)缺的二阶方程；(3)缺的二阶方程.6.高阶线性微分方程阶线性方程的一般形式为:当时称为齐次线性方程，称为非齐次线性方程.7.二阶常系数方程（类型）(1)齐次为常数；(2)非齐次为常数，.8.阶常系数齐次方程特征方程为:，其中为常数.特征方程的根:(1)单实根；(2)一对单共轭复根；(3)重实根；(4)一对重共轭复根.9.欧拉方程形如的方程称为欧拉方程解法：令即，把看作的函数，则于是欧拉方程化为.按照阶常系数线性微分方程解法解出，则为欧拉方程的解. 练习题

3、0;12.1求下列一阶方程.（1）.解原方程化为即积分得从而即.（2）.解：分离变量得积分得即.（3）.解等号两边同时除以得令则方程化为分离变量得积分得即原方程化为.（4）.解解法一原式整理为令方程化为通解化为将代入整理得.解法二方程整理得方程两边同乘积分因子得即通解化为.（5）.解方程整理为通解为.（6）.解原式化为分离变量得积分得.（7）.解原式整理得等号两边除以得即通解化为.（8）.解方程化为通解为.（9）.解原方程化为通解化为.（10）.解令方程化为即令方程化为通解为将代回得通解为.（11）.解方程化为方程两边除以得由知方程化为通解为即.（12）.解令即求导得方程化为分离变量得积分得即

4、=0 .12.2求下列微分方程在给定初始条件下的特解：（1）.解原方程化为令则方程化为分离变量得积分得即将代入通解解出，故所求特解为.（2）.解原方程化为通解为将代入解出故所求特解为.（3）.解方程化为即从而也就是同除以得即通解为可化为将代入解出故解为.（4）.解方程化为令方程化为通解为即将代入解出故所求特解为.12.3求下列二阶微分方程的通解.（1）.解令方程化为即通解为将代回得故所求通解为.（2）.解令则代入方程得分离变量得积分得解出方程化为分离变量得通解为.（3）.解令则方程化为即方程两边同除得即解得即分离变量整理得.（4）.解令则方程化为即令则方程化为分离变量积分得即解得.12.4求下

5、列二阶微分方程在给定初始条件下的特解：（1）.解令则方程化为分离变量积分得即分离变量将代入解得即积分得将代入解得整理得.（2）.解令则方程化为分离变量积分得将代入解得方程化为分离变量积分得将代入解出特解为.（3）.解令方程化为即从而将代入解得方程化为积分得将代入解得特解为.（4）.解令方程化为分离变量积分得将代入解出，即分离变量积分得将代入解得特解为.（5）.解令方程化为分离变量积分得将代入解得方程化为分离变量积分得将代入解得特解为.12.5解下列常系数齐次方程：（1）.解特征方程为通解为.（2）.解特征方程为通解为将代入解得特解为.（3）.解特征方程为解得通解为.（4）.解特征方程为解得通解

6、为将代入解得特解为 EMBED Equation.3 .（5）EMBED Equation.3 .解特征方程为 EMBED Equation.3 解得 EMBED Equation.3 通解为 EMBED Equation.3 .12.6求解下列常系数非齐次微分方程：（1）EMBED Equation.3.解特征方程为解得对应齐次方程通解为设原方程的一个特解为将代入原方程得故原方程通解为.（2）.解特征方程为解得对应齐次方程通解为设方程的一个特解为将代入解出设方程的一个特解为将代入解出原方程通解为.（3）.解特征方程为解得对应齐次方程通解为由于原方程不含且为的奇函数可设的一个特解为将代入解出设

7、的一个特解为将代入解出原方程通解为.（4）.解特征方程为解得对应齐次方程通解为原方程化为显然的一个特解为设的一个特解为将代入解得故设的一个特解为将代入得原方程通解为.（5）.解特征方程为解得对应齐次方程通解为设的一个特解为将代入解出设的一个特解为将代入解出原方程通解为将代入通解解出所求特解为.12.7求解下列欧拉方程：（1）.解令方程化为特征方程为解得通解为将代入得.（2）.解令方程化为特征方程为解得通解为将代入得.12.8设，求.解等式两边求导得且方程化为令方程化为分离变量积分得将代入将代入解得故.12.9设，求.解求导得且分离变量积分得整理得将代入解得从而.12.10已知曲线积分与路径无关

8、，是可微函数，且，求.解由已知即即解得将代入得从而整理得.12.11设，求.解令则原式化为积分得即.12.12求满足的解，其中为参数，并证明满足方程.解方程化为通解为将代入解得从而从而满足.12.13设的二阶导数连续，且，试确定，使为全微分方程，并求其通解.解由已知令方程化为特征方程为解为齐次方程通解为设将代入得通解为将代入得从而下面求解即即即通解为.12.14 若函数满足下列条件：，又，试求由曲线与，所围成的平面图形的面积.解令则即通解为将代入得故由故由所围面积.测验题(十二)1. 1.      求解下列微分方程:(1).解.(2)为常数.解为一阶线性微分方程，故.(3) .解设则有.（4）.解.（5）.解即（6）.解设则有即.（7）.解设则代入初始条件，得代入整理得其中.（8）.解设则有代入初始条件，得即故代入即.（9）.解故通解.（10）.解代入初始条件，得即.（11）.解设特解代入有原方程通解为.（12）.解设特解代入方程：原方程解为.（13）.解对设对设特解代入方程通解为.（14）.解设则有故.2.一曲线的所有切线都通过点（），求此曲线方程.解设该曲线方程为，为曲线上任一点切线方程为代入则.3.设一物体质量为，自高空落下，初速度为0，若所受阻力与速度成正比（比例系数为），