第四章 导数与微分

1、第四章 导数与微分导数的定义是极限概念的具体应用，导数和微分构成微分学，是高等数学里极其重要的一部分内容，它是由自然科学中的实际问题抽象而产生的，如物理中的速度、加速度、密度、电流强度；化学中的热容量、反应速度；生物中的生殖率；几何学中的切线斜率等。自然科学及技术科学中大量变化率的问题都涉及到导数的概念，它是研究函数的有力工具之一，有着广泛的实际意义。微分学的开端可以追溯到16世纪末，它的理论是在17世纪下半叶由莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz 1646年1716年）与牛顿（Isaac Newton 1642年1727年）同时独立地作为一种演算，即作为一种容易驾驭的

2、方法发展起来的。牛顿是由研究物理问题达到微分演算的，而莱布尼兹则是从切线问题入手的。他们将微分运算工具发展到最大限度，并将微分运算应用于解许多几何问题。但逻辑严格性上的缺陷直到19世纪才由大科学家如法国柯西、俄国罗巴斯基、挪威阿贝尔、德国黎蔓等努力所消除。基本内容：基本概念：导数及微分的概念；求导及求微的基本公式；高阶导数；隐函数；基本运算：求导及求微的四则运算法则；复合函数的求导法则；本章重点：导数及微分的概念；求导及求微的基本运算。本章难点：复合函数的求导；实际问题归结为求导问题。课标导航1掌握导数、微分的定义；了解2熟练地掌握求导数、微分的四则运算法则；反函数、复合函数的求导法则进行导数

3、的计算；3熟练地应用导数、微分基本公式，并能推导或求出初等函数的导数与微分。一 、知识梳理与链接（一）基本概念1导数的定义（1）函数在点的导数【定义】设函数在点的某一邻域）内有定义，给以增量点仍在该邻域内，相应地函数有增量.如果当时，比值的极限存在，则称函数在点处的可导，此极限值就称为函数在点处的导数，记作或；或即有一般有两种形式或（2）导函数【定义】设函数 在某一区间内的每一点都可导，就称函数在区间内可导.此时，对任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，记作或；或,即有 或 .2左导数和右导数【定义】导数公式的右边是极限的形式，那么相对应的左

4、、右极限分别称为在点处的左、右导数。记作或 或3导数存在的充要条件由于导数公式的右边是极限形式，故根据极限存在的充要条件我们可知在点处可导的充要条件是和都存在，且=.4导数的几何意义【几何意义】函数在点处导数的几何意义是函数所表示的曲线在点处切线的斜率.5可导与连续的关系可导一定连续，连续未必可导。连续是可导的必要条件，即不连续一定不可导，函数在点连续，在该点不一定可导。也就是说函数在点处连续是指，而在点可导是指存在。这两种极限的关系就是如果函数在点处可导，则函数在该点必定连续。6高阶导数的定义【定义】把函数的导数称为函数的一阶导数。若函数的导数仍是的可导函数，则的导数叫做函数的二阶导数，记作

5、或，即或.二阶导数的定义形式为：或类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数就叫做四阶导数，一般地，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作 或 【注】函数的二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。 7隐函数的导数由方程所确定的函数称为隐函数，求隐函数的导数时，将方程的两边同时对自变量求导，求导时将遇到的函数应看成是的复合函数，用复合函数的求导法来求导数，然后从所得关系式中解出，即为隐函数的求导法。求隐函数的二阶导时，应在求出后，再对求一次导数，同样注意在的表达式中，是的函数，或方程的两边同时对自变量连续求两次导数，解出.8由参数方程所确定的函数的导数定理 设参数方程都是在某个区间的可导函数，又

6、有单调连续反函数，当时，则有如果参数方程在某个区间还是二阶可导的，那么从上式又可得到函数的二阶导数公式：【注意】求导的最后结果中允许保留参数.9对数求导法对数求导法往往针对幂指函数和一些利用对数运算把多次乘、除、乘方及开方运算得到的函数化简再求导的函数。求导方法是两边取对数得，两边求导得 我们把这种方法称作对数求导法。10微分的概念【定义】设函数在某区间内有定义，点及均在该区间内，如果函数的增量 可以表示为，其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即若函数在内每一点都可微，则称在内可微。11可导与可微的关系：函数可微必可导，

7、可导必可微，可导与可微是一致的。即函数的微分就是函数的导数与自变量改变量的乘积，即如果将自变量当作自己的函数，则可得.因此，常把自变量的增量写成自变量的微分，于是函数的微分可以写成，即函数的微分就是函数的导数与自变量的微分之乘积。由上式可得，这就是导数不同记法的等价的由来。12微分形式的不变性设函数，都可导，则复合函数的微分为由于，所以复合函数的微分也可写成为或可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变，这一性质称为微分形式的不变性。这一性质表示，当变量是自变量时，微分形式并不改变。（二）公式和法则1求导基本公式； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； . 2求导法则（1）

8、导数的四则运算法则若函数和在点处可导，则它们的和、差、积与商（）在点处也可导，且；推论1：推论2：推论3：（2）复合函数的导数法则如果函数在点处可导，在对应点处也可导，则复合函数在点处可导，且上式也可写成 或其中式中的表示对的导数，表示对中间变量的导数，表示中间变量对的导数。 该法则可以推广到有限多个函数复合而成的函数的情况。在计算复合函数的导数时，首先应搞清函数是由哪些简单初等函数，经过多少次复合步骤得到的。计算时应由外层逐一向内计算，切勿遗漏。其次，在需要时，可引入中间变量，求导完以后结果不应保留中间变量。（3）切线和法线公式曲线在点处的切线为.曲线在点处的法线为(4)函数微分的表达式，所

9、以只记住导数的基本公式即可求出函数的微分来。(5)微分的近似计算求函数增量的近似值：函数在点处的增量，那么当时，函数在点处的增量可以用函数在处的微分近似代替，即 求函数在某点附近的近似值：或由于，所以若在近似公式中，令，则，可将上式变为 令，则有 在很小时，可得一些在工程上常用的近似公式（用弧度单位） （用弧度单位）二、友情提醒与内容强化解读导数的定义可概括要领如下：第句是函数在点的某邻域内有定义，对所讨论的函数在点提出要求大前提；第句是求增量，讲在点的某邻域内给自变量的增量，求函数的增量；第句是算比式，是作函数增量与自变量的增量的比；第句是取极限，将对第句的比式取极限。对这个极限存在要求很高

10、，即要满足：时，比式的极限存在；第句是结论部分：极限值就叫做函数在点的导数，记作或.由此：第句是条件，第、句是做法，第句是结论。定义简言之就是对函数“求增量”、“算比式”、 “取极限”，极限值就叫做函数在的导数，这些意思可用式子 或完全表示之。1函数的可导性是函数在一点附近的性质若函数在点处可导，即对于定义区间内一点，给一增量，使+，则函数相应地有增量. 因为时，比值的极限存在，所以导数只是描述了在点处附近函数相对于自变量的变化率。曲线在以为定点的一切割线的极限位置，即过的切线。该切线的斜率为，它的存在，意味着点附近的割线连续地变到切线，可见曲线在这点附近是光滑的。而反映了函数在与+构成的区间

11、内的平均变化率。可见，导数（可微）是一个局部性的概念，刻画函数在一点附近的性质。2与一般是不相等的，表示函数在点处的右导数，而表示导函数在点处的右极限，从两者的定义来看，它们是不一样的。3导数（在点）与导函数的区别与联系两者的区别：函数在点的导数是一数值，导函数是一个函数。两者的联系：在某点处的导数，就是导函数在点处的函数值。【注意】与的区别，表示函数在点处的导数，它未必等于零，而表示函数在点处的函数值的导数，它一定为零。4若函数和在点处都不可导，那么函数或在点处不一定不可导。例如：函数和，在点处都不可导，但函数在点处可导；同样在点处可导。5若函数在点处或在点处（）不可导，那么复合函数在点处不

12、一定不可导。因为复合函数求导法则，是保证了复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，所以函数的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的。例如：（1）在点处不可导，在处可导，而在点处可导；（2）在点处可导，在处不可导，而在点处可导；（3）在点处不可导，在处不可导，而在点处可导。6在求由参数方程确定的函数的二阶导数时，因，但不能按，这样求二阶导数是不对的。二阶导数是一阶导数关于的导数，而不是关于的导数。正确做法是7函数的微分中的并不要求很小，如果函数在点处可微，那么函数在该点处的增量，微分，它们都是的函数，只要在函数的定义域内，不论大小，均成立。但在某些实际问题中，利用微分进行近似计算，以近似代替，

13、此时要求比较小，否则误差就可能比较大，近似程度就较差。8函数的微分所具有的特性由微分定义我们可以得出函数的微分所具有的二个特性（1）微分函数与点的增量成正比（线性）关系（为比例系数）（2）微分函数与函数的增量的关系是，是的主要部分，-不仅是一个较的高阶无穷小，而且也是一个较的高阶无穷小。微分具有的第一个特性保证了微分计算的简单性，微分具有的第二个特性保证了当时，替代函数增量有一定的精确性。正因为如此，微分概念对于解决实际问题是非常重要的。9函数的导数与微分的联系与区别由知，函数的导数与微分的联系：函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之比。即导数等于两个微分之商，这就是把导数称为微商的理由。函

14、数的导数与微分的区别：导数是函数在一点变化率，而微分是函数在一点增量的线性主部；导数的值只与有关，而微分的值不仅与有关，还与有关。10函数的微分具有微分形式的不变性，而导数不具有不变性对于函数，当是自变量时，；当是另一变量的函数，即是中间变量，函数微分也是，不管是自变量还是某一函数，函数的微分在形式上都是一样的，这就是微分形式的不变性。应该注意的是微分中的，当是自变量时，；当是另一变量的函数时，.导数是不具有这种不变性的，当是自变量时，的导数是，而是中间变量()，则函数的导数就变成了。为此，谈到导数时总是指明对哪一个变量的导数，而谈到微分时则无需指明是对哪一个变量的微分。三、典型例题分析浏览及

15、解题方法技能技巧解读（一）利用导数的定义和导数存在的充要条件求导数或极限例1 假定下列各题中存在，求下列极限.（1） （2）【分析】观察极限的表达式与导数的定义，可以通过变量代换将导数定义写成不同的表达式，例如公式中：令，则有 若再令，则 ，因此，我们发现在解决此问题时，关键在搞清公式中的，在具体的问题中代表什么。解 （1）由导数定义公式可知，这里的相当于公式中的，当时，有，所以，我们得到 （2）类似题（1），但缺少导数公式中的项，我们只须添减该项即可=【注意】 易犯的错误是对定义理解不透，尤其是没有认识到公式中的，它仅仅是自变量增量的一个记号，可以用其他字母代替。例2 讨论函数在点处的可导性

16、【分析】因为的表达式中含有因式，当时，；当时，所以尽管在的左右两侧函数的解析式一样，仍需要用导数的定义及导数存在的充要条件来判断。解 因为此时，所以在处不可导。【注意】分段函数在分段点处的各个部分区间可按初等函数的求导方法求出，但在分界点处，须利用导数定义和导数存在的充要条件来判定。例3 讨论函数在处是否连续？是否可导？【分析】含有绝对值的函数实际上是分段函数，现将该函数写成分段函数，由于它在分界点的左、右两侧解析式不同，因此须用导数存在的充要条件去判定它的左、右导数。解 在的邻域内将写成分段函数的形式：由于；所以，故在处不可导由于， ， 所以，故在处连续。【注意】许多同学由于对绝对值的不明确

17、，便会产生以下错误的做法：故要明确含有绝对值的函数实质上是分段函数。例4 确定常数和，使得函数在处可导。【分析】因为在处可导，则必定在处连续，根据连续的充要条件建立未知数的等式，又因可导，可由可导的充要条件建立未知数的等式，即可求出常数和.解 若要求在处可导，则必在处连续，故有， ， 由连续的充要条件得到 又要求在处可导，即有 所以得到，将代入得.【注意】函数在某点可导，则必在该点连续，若不明确这一点，便求不出结果。分段函数的函数值的求法要明确定义，否则出现的错误现象。【小结】导数定义的几种形式； ()； ()；.验证函数在指定点处是否可导，可直接按定义，采用以上形式中的某一适当表达式。有时需

18、要求左、右导数，然后根据导数存在的充分必要条件判定之。下列几种情况，函数在点处肯定不可导。在点处不连续；在点处连续，但左、右导数至少有一个不存在；在点处连续，左、右导数都存在，但不相等。（二）直接利用求导的法则和基本公式求导数例1 设函数，求【分析】首先要熟悉求导法则，在求出导函数的基础上，再求在处的导数值。解 因为所以 【注意】因为表示在处的导数值，故应先求导函数，然后将化成最简形式，再把代入求值。错误的做法：.例2 求函数的导数 【分析】首先要化简函数，后再求导数就方便解 【小结】务必熟记求导基本公式，这是提高求导运算速度与正确性的先决条件；有些函数，从表面上看不好直接用公式，但通过恒等变

19、形，如换底、同底幂运算等，把函数化简后再求导往往比较方便，这在求高阶导数时更显得重要。（三）用复合函数的求导法则计算导数设、，在对应点均可导，则，简记为这是求复合函数导数的法则，如果复合步骤多余两步，此法则可以进一步推广到有限多个函数复合而成的函数的情况。例1 求下列函数的导数 （1）； （2）【分析】求复合函数的导数时，首先搞清楚复合关系，弄清楚是由哪几个基本初等函数经过多少次复合步骤得到的，然后由最外层开始，先使用法则，后使用公式，一层一层地求导，注意不要遗漏。若需要可引入中间变量，但结果不应保留中间变量。解（1）（2）【注意】在由外层向内层逐层求导时，切忌遗漏最后一步对和的求导。例2 设

20、可导，求函数的导数【分析】由于可导，是复合而成的函数，故应逐层求导。解 函数是由 和复合而成的。所以【注意】要搞清楚每一层的求导号的含义，第一个是对求导，第二个是对求导，而不是对自变量求导。【小结】对于复合函数求导法则，初学者容易出错，因此它是本章的难点。但又是重点，因为对此法则掌握的好坏，直接影响求导这一基本运算能力。还涉及后继内容的学习，如不定积分中的换元法等。为了突破难点，掌握要领须熟记口诀：复合函数易求导，分析结构第一炮，由外及里层层求，终究突破连环套。（四）求高阶导数求高阶导数，原则上是简单的，若阶导数存在，只要对阶导数再求一次导数就行，此处着重介绍阶导数的求法及找它的一般表达式。例

21、 求下列函数的阶导数（1） （2） 【分析】求高阶导数类型的题关键是在找出求导的规律，先求一阶导，在此基础上求二阶导及其它高阶导数。解 （1），（2） 用归纳法可求得 【注意】难点是不易找出规律，尤其是，若在此基础上去求二阶导数及其其它高阶导数，就不易找出规律。如果通过适当的三角或代数化简，再用归纳法可求得高阶导数。如.（五）隐函数求导在对由方程所确定的隐函数求导时，不必解出函数，只要方程两边对求导，然后解出，结果中允许含有，而不必用代入中。求出后再对求一次导数，即得隐函数的二阶导。例 求由方程所确定的隐函数的导数和.【分析】隐函数的求导方法是：方程两边对求导，其中是的函数，解出，在求出后须化

22、简计算再对求导，解出，的结果中允许含有.解 方程两边对求导得 解得 再对求导 将的表达式代入上式，化简后得 【注意】易犯的错误是对求导得或.求隐函数的二阶导时，还可以连续两次在方程的两边对求导，然后解出，如上例。（六）参数方程所确定的函数的导数设是由参数方程，所确定，则或参数方程所确定的二阶导数为：或例1 已知参数方程 ，求.【分析】参数方程求导是对的导数与对的导数之比，切没看作对的导数。解 因为； 所以 【注意】求导的最后结果中允许保留参数.例2 求由参数方程，所确定的函数的二阶导数【分析】求参数方程的二阶导数时，先求出一阶导数，对其表达式进行化简后再次求导。解 因为所以【注意】在对参数方程

23、求二阶导数时，先对参数方程所确定的一阶导数中的求导，再除以对的导数。错误的做法为.（七）对数求导法某些函数在求导时不易用显函数直接求导，例如幂指函数和一些连乘式的开方或乘方运算等，可两边同时取对数化成隐函数的形式，再利用隐函数求导法求导。例1 求函数的导数。【分析】首先观察函数，确认为幂指函数后，采用对数求导法求导。解 两边取对数得 两边再对求导得 所以【注意】错误的做法是不明确什么是幂指函数，或用幂函数法则求导，结果得到；或用指数函数法则求导，得到等。例2 求函数的导数【分析】直接求导显然比较繁琐，遇到这样的函数，我们可以利用对数运算化简，就简单多了。解 两边取对数得，然后两边再对求导得 所

24、以 【注意】在两边取对数之后，可利用对数性质化乘、商为加、减，再对求导，求导时一定要逐层求尽。如.（八）恒等变形法求导对幂指函数，在求导时不易用显函数直接求导，除了用对数法求导外，还可利用恒等变形法把幂指函数化成复合的显函数来求例 求函数的导数解 所以 （九）导数在几何、物理上的应用1几何方面函数在几何上表示平面上一条曲线，它在点处的导数是该曲线在点处的切线的斜率。2物理方面 导数表示某物理量的相关变化率，例如距离对时间的变化率，即速度；质量对长度的变化率，即线密度等。 例1 证明曲线上任意一点处的切线与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于2.【分析】这是导数在几何上的应用，我们先作出图形，从图形看出要求的三角形的面积，只须得到点处的切线方程，从方程中求出横、纵截距即可。解 曲线在点处的切线斜率所以曲线在点的切线方程为 令得横截距；令得纵截距所以切线与两坐标轴所围城的三角形的面积 【注意】求曲线上某点处的切线和法线方