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文档简介

1、矩阵分析复习题1.设是维线性空间的一个维子空间，是的一组基，证明这组向量必可扩充为整个空间的基。即，在中必可找到个向量，使得是的一组基。2证明：如果是线性空间的子空间，那么它们的和也是的子空间.3.设是线性空间的子空间，证明：.4.设，.，.求（1）的基与维数；（2）的基与维数.5.设是线性空间的两个子空间，证明以下论断等价：（1）是直和；（2）零向量分解式唯一（即，若则.）；（3）；（4）（）=（）+ （）.6.设线性变换在两组基与下的矩阵分别为和，从基到基的过渡矩阵为,证明：.7.在线性空间中，取两组基 （） （）为微分算子。（1）求由（）到（）的过渡矩阵；（2）求线性变换在两组基下的矩阵

2、。8.设（1）求矩阵的特征值与特征向量；（2）矩阵是否与对角矩阵相似？如与对角矩阵相似，写出矩阵，使为对角形。9.设线性变换在基下的矩阵为,求线性变换的特征值与特征向量.10.在线性空间中，设线性变换为.求微分变换D的特征多项式，并证明D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵.11.设是一个n阶正定矩阵，而，在中定义内积为，(1)试证明在这个定义下，为欧氏空间;(2)求基的度量矩阵.12.在闭区间上的所有实连续函数所构成的线性空间中，对于函数定义内积为证明在这个定义下为欧氏空间。13.设，为的根. （1）求的特征值与特征向量；（2）在什么情况下矩阵与对角矩阵相似？如与对角矩阵相似，写出矩阵，使为对角形；（3）求的特征矩阵的不变因子，并写出特征矩阵的Smith标准形。14.求矩阵 的Jordan标准形。15.设函数矩阵，其中，求，.16.设二次型，其中，,，且,求.17.证明。其中，与分别是中向量的范数与范数。18.设是上的一种向量范数，给定矩阵，且矩阵的个列向量线性无关，对任意，规定 ，证明是中的向量范数。19.设是n维线性空间,是的一组基，对任意，规定，证明：是中元素的一种范数.20.证明：在有限维线性空间中，若序列按某种范数收

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