数列基础必备修正版

1、数列基础必备-tobeenough数列基础必备(修正版)-tobeenough.即： an - an-1 = d(1)其中， d 是. (1) 式称为“”.： an = a1 + (n - 1)d( 2)= (a1 + an )n： S(3)n2： an = Sn - Sn-1(4 )：求得 Sn等差数列的求和： Sn = a1 + a2 + . + an正序列： Sn = a1 + a2 + . + an倒序列： Sn = an + an-1 + . + a1上两式相加得： 2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an-1 ) + . + (an + a1 )上式中，每个圆括号内的

2、值都是a2 + an-1 = (a1 + d ) + (an - d ) = a1 + an ，共有n 个.= (a1 + an )n则： 2S = (a + a )n ，即： Sn1nn2等差数列的求和公式同梯形的：数列首项a1 相当于梯形的上底a ；数列末项an 相当于梯形的下底b ；数列项数n 相当于梯形的高h . 那么梯形的面积公式：梯形面积=（上底+下底）´高，即： S = (a + b)h22与等差数列的求和公式 S = (a1 + an )n 完全一样，便于记忆.n2第1 页面积公式倒序相加法注解技巧公式等差数列的求和公式等差数列通等差数列的定义式公差相邻两项的数值之差

3、总相等的数列称等差数列一、等差数列与倒序相加法数列基础必备-tobeenough：在等差数列中，由于各项相差是公差d 的倍数，当把求和各项倒序时，与正序的对应项相加的和值都相等，等于首项加末项，这样的处理方法就是“”.an即：= q(5)an-1 其中， q 是. (5) 式称为“”.： an = a1qn-1(6 )1 - qn： Sn = a1（ q ¹ 1 ）(7 )1 - qSn = nc1（ q = 1 ）： an = Sn - Sn-1(8)：求得 Sn ：等比数列的求和： S = a+ . + a = a (1 + q + q2 + . + qn-1 )n12n1正位数

4、列： S =+ a (q + q2 + . + qn-1 )n1错位数列： qSa (q + q2 + . + qn-1 ) + a qnn111 - qn1 - q两式相减得：(1 - q)S = a - a q ，即： S = ann11n1前面的(1) 到(8) 式是最基本的数列公式，必须熟记.：在数列求和项中，由于等比数列的相邻项之比为公比q ，当求和项乘除q 时，除首尾项外的其他项变成与原来项的部分“”，相减可以抵消，这就是“”.第2 页三、分式数列与裂项相消法错位相减法错位重合小结错位相减法注解技巧公式等比数列的求和公式等比数列通等比数列的定义式公比相邻两项的数值之比总相等的数列称

5、等比数列二、等比数列与错位相减法倒序相加法小结数列基础必备-tobeenough1对于数列： a =，求其前n 项的和 S .nnn + 1 +n采用1由于： a =n + 1 -nnn + 1 +n所以： a1 =a2 =2 -1 ；1 + 1 -1 =2 + 1 -2 =3 -2 ；n .an =n + 1 -上述各项相加，正负项相消后得：Sn = a1 + a2 + . + an =n + 1 - 11将单项为n + 1 -n ，在求和时大部分相抵，从而得到结果.n + 1 +n这就是.1再比如，数列： a =，求其前n 项的和 S.nn(n + 1)n采用11 -1由于： a =nn(

6、n + 1)nn + 1所以： a = 1 -1= 1 - 1 ；111 + 12a = 1 -1= 1 - 1 ；222 + 123；1 -1.a =nnn + 1上述各项相加，正负项相消后得：第3 页裂项相消法裂项相消法裂项相消法数列基础必备-tobeenough1S = a + a + . + a = 1 -n12nn + 11为 1 -1将单项，在求和时大部分相抵，从而得到结果.n(n + 1)nn + 1这就是.：综上，是将数列中一项称为一正一负两项，同时相邻两项中的一正一负刚好可以抵消，这样在计算求和时可以大大简化的方法称为“”.= bn： ancn其中bn 为等差数列，通： bn

7、 = b1 + (n - 1)d ；cn 为等比数列，通： cn = c1q.n-11é qnb - bd（qn-1 - 1）ùa 的求和公式为： S( q ¹ 1 ) (9)=ê1n +únnq - 1cc - cënnn-1 û：采用“”（ q ¹ 1 ）= b1 + b2+ . + bn数列： S = a + a + . + an12nccc12n错位数列： qSq b1 + q b2 + . + q bn= qb1 + b2 + b3bn cn-1+ . +c1c2cnc1c1c2= qb1 + ( b2

8、- b1 + b3 - b2+ . + bn - bn-1 ) - bn两式相减得：(q - 1)Snccccc112n-1n即：(q - 1)S = qb1 + ( d + . +) - bnddncccccn-1112n11 -qn-1 qn-1 - 1- 1)而： d + . +ddd+ 1121dd=(1+ . +=×=×qn- 2 )1qcccccc1 -n-111211第4 页错位相减法注解数列通项四、差比组合数列 1 与错位相减法裂项相消法小结裂项相消法数列基础必备-tobeenough1é qbù1é qbùqn-1

9、- 1d（qn-1 - 1）bbd故： S =+×- n ú =+-núê1ê1nq - 1cc qn- 2 q - 1cq - 1cc qn-1 - c qn- 2c qn-1ë 111ûn û111é qnb - bd（qn-1 - 1）ù1即： S =ê1n +únq - 1cc - cënnn-1 û： an = bncn其中bn 为等差数列，通： bn = b1 + (n - 1)d ；cn 为等比数列，通： cn = c1q.n-1b c (1

10、 - qn )dc q1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn a 的求和公式为： S= 1 1+1nn1 - q(1 - q)2：采用“”（ q ¹ 1 ）数列： a = b c = b + (n - 1)dc qn-1 = b c qn-1 + dc (n - 1)qn-1nn n111 11nåk =1令：(k - 1)q = Tk -1n即： T = q + 2q2 + 3q3 + . + (n - 1)qn-1n则： qT = q2 + 2q3 + 3q4 + . + (n - 1)qnn上面两式相减得：(1 - q(q + q2 + q3 + .

11、+ qn-1 ) - (n - 1)qn= q 1 -q即：(1 - q)T- (n - 1)qn =×1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn n1 - q1 - qq1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn (1 - q)2故： Tn =n而： åi =11 - qb c (1 - qn )dc q1 - (n - 1)qn-1 + (n - 2)qn 于是： S= 1 1+1n1 - q(1 - q)2第5 页错位相减法注解数列通项五、差比组合数列 2 与错位相减法数列基础必备-tobeenoughb c (1 - qn )dqc - (n

12、 - 1)c + (n - 2)c= 1 1+1nn+1 1 - q(1 - q)2： an = f (n)an-1用an = f (n)an-1 公式进行递推得： an = a1 f (2) f (3). f (n)：一般方法：在保证正值的条件下，两边取对数.得： ln an = ln f (n) + ln an-1 ，即： ln an - ln an-1 = ln f (n)则： ln an - ln an-1 = ln f (n) ；ln an-1 - ln an-2 = ln f (n - 1) ；ln a2 - ln a1 = ln f (2)上面各式相加得：ln an - ln a

13、1 = ln f (2) + ln f (3) + . + ln f (n) = ln f (2) f (3). f (n)即： ln an = ln f (2) f (3). f (n)，即： an = f (2) f (3). f (n)a1a1这和用an = f (n)an-1 递推出来的公式是一样的.关键是看ln f (k ) （ k Î2, n）或ln f (2) f (3). f (n) 能否化简，如果 f (2) f (3). f (n) 能够化简，直接用 an = f (n)an-1 递推，并将递推进行到底. 如果ln f (k ) （ k Î2, n ）或

14、ln f (2) f (3). f (n) 可以化简，则用对数进行化简.：一般情况下，求连乘(累乘)的递推数列最好采用取对数的方法. 因为对数将连乘(累乘)变换为连加(累加)，可使问题简化，这就是“”.： an = Aan-1 + f (n)第6 页数列通项七、递推数列 2 与待定系数法连乘对数法小结注解数列通项六、递推数列 1 与对数法数列基础必备-tobeenough即令： an + l f (n) + c = Aan-1 + l f (n - 1) + cbn这样，记： b = a + l f (n) + c ，则上式化为： b = Ab，即：= An-1nnnbn-1 故，依据定义式，

15、构造的数列bn 是公比为 A 的等比数列.：对于包含相邻项关系式的这类数列，一般采用“待定系数法”将它们设成，相当于采用得到一个新的数列，新数列一般就是.线性递推数列通项： an+ 2 = Aan+1 + Ban一般可采用，或.：将递推式化为： an+ 2 + l1an+1 + c1 = c1an+1 + l1an + c1 记： bn+1 = an+ 2 + l1an+1 + c1 ，则上式化为： bn+1 = c1bn ； 即：数列bn 是公比为c1 的等比数列.这样解出的数列： an+1 = Dan + E再用一次待定系数法，解出an .由an+1 = Dan + E 化为： an+1

16、+ c2 = c2 (an + c2 )记： dn = an+1 + c2 ，则上式化为： dn+1 = c2dn ；即：数列dn 是公比为c2 的等比数列.于是解出an .对于线性递推数列，可采用.对于线性递推数列an+ 2 = Aan+1 + Ban 的特征方程为： x - Ax - B = 02第7 页特征方程法特征方程法待定系数法注解特征方程法二次待定系数法八、递推数列 3 特征方程法等比数列换元法等比数列小结一般方法是用待定系数法构造等比数列.数列基础必备-tobeenough方程若有，即 x , x ，则： a = c xn + c x .n12n1 12 2最后由已知的前几项的数列元素来确定系数c1 和c2 .：对于包含相两个邻项关系式的这类数列，一般采用二次“待定系数法”，每次都将它们设成，相当于采用二次得到新数列一般就是. 也可以采用“”求特征根，然后套用公式.“”是在对这列数列的总结的基础上归纳出的一套简洁方法.= Aan + B ，可以采用不动点法.对于分式递推数列： an+ 1 Ca + Dn所谓，即：不动点方程 f ( x0 ) = x0 的解法.对于这类数列，其不动点方程为： Ax + B = xCx + D可以看出，这也是二次方程.11方程若有，即，则：-= c ；0- xa - xan+10