第四讲不定积分

1、第四章 不定积分一、学习目的与要求1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。2、熟记不定积分的基本公式。3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。5、会求简单无理函数的不定积分。二、学习重点不定积分的换元法与分部积分法三、内容提要1、原函数与不定积分的概念 若则称的一个原函数，若的一个原函数，则的原函数的一般表达式为（C为任意常数）。的原函数的一般表达式称为的不定积分，记作，即2、基本性质（下设为常数）（1）（2）3、基本积分公式（下设）（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）（8）（9） （10）（11）

2、 （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）4、基本积分法（I）分项积分法 （II）凑微分法（第一换元法） 若连续，则（III）换元法（第二换元法） 若连续，有连续导数，则（IV）分部积分法 若存在，则5、几类初等函数的积分（I）有理函数一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式：之和.（II）三角函数通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令（万能代换），等。（III）简单的无理函数的积分通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有：四、思考题1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等

3、函数的原函数是否一定为初等函数？3、对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。5、若，是否有6、初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？五、典型例题分析例1 计算下列积分 分析 本题均可用凑微分法。一般采用此法，要求熟悉一些常见函数的微分形式，对不易观察到的，不妨拿出某一部分求其导数，从而决定如何凑微分。如解 例2 计算。分析 本题的困难之处在于分母出现。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分，进一步考虑积分。从此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。解 例3 计算。分析 对于积分我们可变形后用凑微分法求解，如设，同理若对前

4、面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。解 设，。例4 计算。分析 被积函数中出现，在分子出现，可考虑利用凑微分，又再次可凑微分，从而使积分化简。也可考虑直接令使积分化简。解法1 解法2 令 例5 计算。分析 对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。解 =例6 计算。分析 本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如的积分，利用倒代换，使积分化简。解法1 令解法2 令 例7 计算。分析 本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉选择的规律，是很容易求解的。其选择的原则：易求得；易积出，其一般规律符合LIATE选择法： L：对数函数，I：反三角函数，A：幂函

5、数，T：三角函数，E：指数函数.被积函数如遇其中任何两种函数的乘积，先选出现在LIATE中的函数为，剩下的函数为。显然本题中选解 =例8 计算。分析 当你对常见函数的微分形式熟悉时，会很快考虑到两次利用凑微分法，得到然后采用分部积分法就很清楚了。解 =（再次分部积分） =故此题属方程型，解一简单代数方程得： 例9 计算。分析 本题如上题的考虑方法，可综合运用换元、分部及无理函数积分法。解 （凑微分） （再凑微分） = （分部积分，） = （出现无理函数，令） =。例10 设，试导出递推公式： 。分析 建立积分递推公式，常利用分部积分法，关键是恰当选择，且选法可以多样。一般对于型，可按下式分解：

6、 或 式中或可通过直接积分或利用分部积分，并解一简单代数方程得到。 类似地，对于型，可按下式分解： 或 解法1 =解法2 从分母中拿出，让 =，所以 解法3 分子分母同第乘，让 所以 , 即例11 计算分析 此题为一比较简单的有理函数的积分，关键是将被积函数分解为部分分式之和，若采用待定系数法，让求待定数A，B，C，D，一般较为麻烦，对复杂一些的有理函数，其分解更为困难。我们有时可采用加减某些量的方法进行分解： 应用这种方法，你会感到形如的积分并不困难。例12 计算。分析 被积函数的分子、分母均具有的形式。利用此形式函数的导数具有同一形式的特点，可考虑将分子分解为两部分：一部分与分母的导数成比

7、例，另一部分与分母本身成比例，从而使积分化简。解 求得 A=2，B=1，从而 原式=例13 计算。分析 对形如的积分，总可采用万能代换，但有时运算颇为烦琐，故一般尽可能利用适当的三角恒等变形或以下换元方式，使积分化简。（1）若（2）（3）（4）本题被积函数属（3）形式，可令。解 。例14 已知分析 本题求解的关键是利用函数记号的含意写出。解 即所以 例15 设的原函数为。分析 被积函数出现，可采用分部积分法，且应取同时在具体问题中，要注意搞清楚原函数的概念。解 例16 设，求的不定积分。分析 内连续的分段函数，它在内原函数存在。原函数亦为分段函数，而且在分段点处连续、可导。为了保证这一点，可先分别求各分段在相