第 60 讲 导数(第1课时基础)

1、第 60 讲 导数-基础 （第1课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1导数概念与意义；2导数的四则运算；3复合函数的求导。难点：复合函数的求导。考纲要求注意紧扣！1了解导数概念，掌握函数在一点处的导数的定义及其几何意义，理解导函数的概念；2熟记基本导数公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导。3了解可导函数的单调性与其导数的关系.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。命题预测仅供参考！1导数的几何意义，求导运算是考察的重点。2复合函数求导以及可导与连续的关系也在考察之列。考点热点一定掌握！1导

2、数的概念如果函数在x处的增量与自变量的增量的比值，当时，=存在，则称函数在点x处可导，并称此极限值为在点x处的导数，记为或。若=存在，则称函数在点x处左可导，并称此极限值为在点x处的左导数，记为。若=存在，则称函数在点x处右可导，并称此极限值为在点x处的右导数，记为。存在的充要条件是：=。如果函数在区间内每一点都可导，就说在区间内可导，这时对于开区间内每一个确定的值x，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做的导函数，记作或 。例已知函数 ，试确定、的值，使在处连续并可导。解：要使在处连续，则要在处有定义，这是显然的；在处的左极限等于右极限，现在， ；在处

3、的极限等于其函数值，即要，而当时，。可见只要，在处就连续；又 = ，要 在处可导，则要 = ，即要 ， ，此时应有 。综上所述，当 时，在处连续并可导。2导数的几何与物理意义 几何意义：函数在点x处的导数的几何意义就是曲线在点p（x，f（x）处的切线的斜率。过这点的切线方程可写为 。 物理意义：如果物体的运动方程为 ，则在点的导数值就是物体在时刻的瞬时速度。例已知抛物线 与直线 ，求 两曲线的交点； 抛物线在交点处的切线方程。解： 由 求得交点为 ，； ， 抛物线在、处的切线方程分别为 与 ，即 与 。3导数的运算 常用的导数公式（C为常数）两个函数的四则运算的导数若、可导，则 和差的导数：

4、；和差的导数可以推广到有限个函数的情况，即 积的导数： ，特别地：（C为常数）； 商的导数：复合函数的导数设在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且。复合函数求导的顺序：先外后内。例求下列函数的导数 ； ； ；解： 解法一：=解法二：点评：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，例如解法二。x点评：有的函数虽然表面为商的形式，但在求导前先对其进行恒等变形，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，从而减少运算量。 分析：这是一个复合函数，即 ，。 分析：这也是一个复合函数，即 ，。4有定义、极限、连续与可导的关系在处有定义是在处连续的必要而不充分条件。在处连续是在处有极限

5、的充分而不必要条件。在处连续是在处可导的必要而不充分条件。例已知 =+ ，就下列情形，判断在处是否可导。在处可导，在处不可导；与在处均不可导。分析：由于的构成中有不可导函数，所以不能使用运算法则，遇到这种情况，可以使用反证法或是列举反例来说明问题。解： 由 =+ 可得 =-，假设在处可导，那么因为已知在处可导，可推出在处可导，而这与已知的在处不可导矛盾，所以在处不可导。在处不一定可导，例如 ，他们在 处均不可导，但 =+ 在 处可导；再如 ，他们在 处均不可导，但 =+ 在 处不可导。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！12345678导数的概念导数的几何意义导数的物理意义常用的导数公式（C为常数）；复合函数的导数1函数 在点 处是否有导数，若有，求出来，若没有，说明理由。解：可以改写为 ， ，= ，= ， 当 趋近于0时， 无极限，函数 在点 处没有导数。2求的导数。解：， ，3求的导数。解：先使用三角公式进行化简： 。点评：在求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错。4求y=tanx的导数。 解：y=tanx=， y=y=secx。5求 的导数。解：6求 的导数。解： 。7求曲线y在点（，）处的切线方程。解： y，即曲线在点（