第4章+不定积分(1)

1、第4章 不定积分教学目的1理解原函数、不定积分的概念。2掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。教学重点1不定积分的概念。2不定积分的性质及基本公式。3换元积分法与分部积分法。教学难点1 换元积分法。2 分部积分法。3三角函数有理式的积分。§1不定积分的概念和性质一、不定积分概念1原函数·定义 如果在区间上或，则称是在上的一个原函数。如是在上的一个原函数，也是的原函数。·问题：(1)具备什么条件才有原函数？(2)同一函数的原函数之间有什么关系？(3)怎么求原函数？·原函数

2、存在定理 连续函数一定有原函数。设是的一个原函数，则对于任意常数C，有所以也是的原函数。另一方面，如果和都是的原函数，故于是 由拉格朗日中值定理的推论可知，存在常数使得·结论 如果是的一个原函数，则函数的所有原函数集合为2不定积分·定义函数的带有任意常数项的原函数称为的不定积分，记为其中符号称为积分号，称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。注：(1)如果是的某个原函数，则其中为任意常数，称为积分常数。例1求。例2求。解当时，所以有当时，所以有统一地表示为例3 设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求曲线方程。注：(2)的原函数的图形称为的一条积分

3、曲线。·由于是的原函数，所以或又是的原函数，所以或二、基本积分表积分运算是微分运算的逆运算，由导数公式可得(1)(为常数)；(2)；(3)；(4), ；(5), ；(6), ；(7), ；(8)；(9)。例4 求。三、不定积分的性质根据不定积分的定义，可直接得到不定积分的下列性质。性质1 设的原函数存在，则性质2设，的原函数存在，则以上积分性质可直接对等式右端的求导进行验证。注：性质2对有限个函数都成立。例5 求。例6 求。例7 求。例8 求。例9 求。例10 求。例11 求。作业: 习题4-1 2(5)(12)(14)(20)(23)(25)(26).§2 换元积分法利用

4、基本积分公式可求出的不定积分是十分有限的。在本节我们把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，分为第一换元法和第二换元法。一、第一换元法设所求的不定积分为，它可以写成如果容易求得的一个原函数，作代换，则于是 (1)利用复合函数的求导公式，容易验证公式(1)的正确性。利用公式(1)计算不定积分的方法称为第一换元法，习惯上也称为凑微分法。例1求。（令)例2求.(令)注：(1)凑微分法求不定积分步骤：（变形）（凑微分）关键是容易求出。(2)对变量替换比较熟练后，一般可不必写出新设的积分变量。例3求。例4求。例5求。例6 求。例7 求。例8 求。

5、例9 求。例10求。例11求。例12求。解。类似地可求得 。注：求不定积分与求导相比具有更大的灵活性。一般地，如果所遇到的不定积分能化为下列形式之一时，可考虑用凑微分法。(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) 。这里只要不定积分容易求得，所给的不定积分也就得到了。与第一换元法相反，对于不定积分为，适当地选择代换，将其化为有时更容易计算。如，令，即，则，所以。 条件：（1）容易计算；（2）可导且有反函数。二、第二换元法设单调、可导且，若有原函数，则例13求（）。解为了去掉被积函数中的根号，考虑，取则，所以=。由于，所以，因此有。例14求。解类似上例

6、，可以利用三角公式:化去根号。设()，那么，于是。这里，。例15求。解可利用公式来化去根号。注意被积函数的定义域是。当时，设()，那么，于是 其中。当时，令，那么，由以上结果，有其中。把及的结果合起来，有。注：（1）一般地，如果被积函数含有，可作代换化去根式；如果被积函数含有，可作变换化去根式；如果被积函数含有，可作变换化去根式。但具体解题时要分析被积函数的具体情况，还可用双曲代换、倒代换及其他一些方法，例如积分例16 求（作倒代换）注：（2）以下结果作为公式。以后可以直接引用 (其中常数)：（10）；（11）；（12）；（13）；（14）。作业：习题4-2 2(4)(5)(8)(9)(11)

7、(16)(18)(19)(22)(32)(33).§3 分部积分法设函数，具有连续导数，根据微分的乘积公式即对上式两边求不定积分得称为分部积分公式。利用这个公式求不定积分的方法称为分部积分法。例1求。解取，则，所以如果设，则上式右边的积分比原积分更难计算。·应用分部积分法的关键是从被积函数中选择恰当的部分与凑成，使积分变成。原则：容易得到，要比易求。例2 求。例3求。例4 求。·分部积分法的常见积分形式以及，的选择：（1），等形式，这里为自然数，一般设，而被积表达式的其余部分设为；（2），等形式，这里为正整数。一般设，被积表达式的其余部分设为。·有些积分

8、经过几次分部后会出现与原积分相同的积分。例5求。解。上式右端第三项恰是所求的积分，移项后得所以例6求。·注意与其他积分法，如换元法相结合。例7求。 ·利用分部积分法还可以推出一些有用的递推公式。例8求，其中为正整数。解用分部积分法，当时有。即于是 。以此作为递推公式，并由，即可得。作业：习题4-34; 5; 9; 14; 19; 20.§4 有理函数的积分一、有理函数的积分称为有理函数，其中和分别是次和次多项式。当时，称为真分式，而当时，称为假分式。利用多项式的除法，总可以把一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和。例如。多项式的不定积分容易计算，因此我们只要讨论

9、有理真分式的不定积分问题。1几种简单分式的积分（1） ；（2） ；（3），其中、为常数，。我们举例说明这种不定积分的计算方法例1求。例2求。例3求。2分母可分解为的有理函数的积分这里，为常数()，为正整数。在代数学中可以证明，分母为的有理真分式必可分解为下列形式的简单分式的和:而其中每一个简单分式的不定积分求解已经解决，于是问题归结为如何确定常数，以及，。这需要用到待定系数法，我们举例说明。例4求。解 因为故可将被积函数表示成两个简单分式的和。设 其中，是待定的常数。将等式右边通分，消去分母，得恒等式：比较该等式两端的系数及常数项，得方程组:解得，因此。这里求和的方法称为待定系数法。此外，和也

10、可用下面的方法解得：因为是恒等式，取任意值两端应该相等，若令，则有，。再令，则有，故。例5求。 例6 。·对有理函数进行积分的步骤是：（1）如果函数是假分式，则首先通过多项式除法将其化为一个多项式与一个有理真分式之和；（2）对于真分式，将其分母进行因式分解，再通过待定系数法将该真分式分解为若干个简单分式之和；（3）对于每个简单分式，分别求不定积分。所谓简单分式是指型如，的分式，其中为正整数。可以证明，任一有理真分式总可以分成若干个最简分式之和。进而，如果该真分式的分母有因子，则其相应的分解式应包含：。 同样，如果真分式的分母有因子，(其中)，则相应的分解式中应包含。·有理函

11、数的原函数都是初等函数。有些函数的原函数存在，但不能用初等函数表示。如：，。二、可化为有理函数的积分1三角函数有理式的积分三角函数有理式是由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，其积分通常记为。对积分，可通过变换化为关于的有理函数的积分。因为又，所以 例7 求。 解令，则·变量替换对三角函数有理式的积分都可应用，但有些三角函数有理式的不定积分用其他方法可能更为简便。例8 求。解2简单无理函数的积分下面通过例子介绍由和以及常数经过有限次的四则运算构成的简单无理函数的积分。这种积分是可以通过变换化为关于的有理函数的积分。例9求 。例10 求 。作业：习题4-4 6; 7; 17;

12、20.小结一、本章基本内容 （一）概念和性质1如果在区间上，则称是在上的一个原函数。2的带有任意常数项的原函数称为的不定积分3，其中、为不全为的常数。（二）计算方法1牢记基本积分表(P186-187:(1)-(13);P203:(18)(19)(23)(24)。2换元积分法（1）第一换元法：已知，则（变形）（凑微分）有时也直接作，如A含、 的有理式，作；B含、的有理式，作，其中为、的最小公倍数。（2）第二换元法：作（要求单调）被积函数含，作；被积函数含，作，利用，；被积函数含，作；利用，一般地，可化为以上三种形式之一。常用代换还有：倒代换；对于三角有理式，可作万能代换。3分部积分法或 （1）被积函数是多项式与、的乘积，则将、凑成；（2）被积函数是多项式与反三角函数、对数函数的乘积，则将多项式与凑成；（3）被积函