第九章重积分与曲线积分

1、第九章 重积分与曲线积分讲授内容：§9.1 二重积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解曲顶柱体的概念，二重积分的定义和几何意义2、熟练掌握二重积分的几何意义和性质的应用3、了解二重积分的对称性定理教学重难点： 重点二重积分的定义及性质的应用难点二重积分的对称性定理的应用教学方法: 讲授法教学建议：1、 借助几何图形引入曲顶柱体的概念，同时引入二重积分的定义2、 借助几何图形讲清二重积分的涵义及二重积分的对称性的实质学时：2学时教学过程：在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，将这种极限的概念推广到定义在区域上的多元函数的情形，便得到了重积分一、曲顶柱体的体积1

2、定义：设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。2求曲顶柱体的体积：(1)用任意一组曲线网将区域分成个小区域 ,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体 。（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)从而 (将化整为零)(2) 由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是(以不变之高代替变高, 求的近似值)(3) 整

3、个曲顶柱体的体积近似值为(积零为整, 得曲顶柱体体积之近似值)(4) 为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。设个小区域直径中的最大者为, 则(取极限让近似值向精确值转化)二、二重积分的定义1定义：设是闭区域上的有界函数, 将区域分成n个小区域, 其中:既表示第个小区域, 也表示它的面积,表示它的直径。作乘积作和式若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。即其中: 称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,称

4、之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。2几个事实(1)二重积分的存在定理若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。声明:在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。(2)中的面积元素象征着积分和式中的。由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。(3)、几何意义：若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体体积的负值。若f(x,y)在D上有正,有负,二重积分表

5、示以为曲顶,以为底的曲顶柱体体积的代数和.三、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1线性性其中:是常数。2对区域的可加性若区域分为两个部分区域,则3若在上,为区域的面积,则几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。4若在上,则有不等式特别地,由于，有5估值不等式设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则6二重积分的中值定理设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得例1估计二重积分 的值,是圆域。解: 求被积函数 f(x,y)=x2+4y2+9 在区域上可能的最值是驻点,且 ；在边界上,作业布置于是有例2设域是，则（ ）解：关于轴对称，关于为奇函数，

6、则, 4例3设是，则、的大小顺序如何？解：在上，由此得.作业：高等数学C类练习册习题四十八教学后记：教学参考书： 高等数学 北京大学数学科学部编 高等数学典型题精解 陈兰祥编 高等数学 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 高等数学 同济大学应用数学系主编 高等数学 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.讲授内容：§9.2 二重积分的计算教学目的与要求：1.区分区域的四种类型，掌握它们之间的关系2.熟练掌握二重积分的两种计算方法：直角坐标法和极坐标法3.了解将二重积分化为二次积分的过程4.掌握区域的对称性与

7、被积函数的奇偶性对二重积分的影响5.掌握二重积分中直角坐标转化为极坐标，并学会选取适当的坐标系来计算二重积分教学重难点：重点计算二重积分的方法和特点 难点利用极坐标计算二重积分及对称性的应用教学方法:讲授法教学建议： 借助几何图形分析二重积分化为二次积分的过程学时：2学时教学过程:利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。一、利用直角坐标计算二重积分设f(,)0.1. X型区域：设区域D：1()2(),ab特点：穿过D的内部且平行于Y轴的直线与D的边界相交不多于两点.在,内任取一点0,作平行于o的平面=x0,截曲顶柱体得一截面A

8、(x0),此截面是以区间1(x0),2(x0)为底,曲线=(0, )为曲边的曲边梯形,故截面积为：A(x0)=,由截面面积为已知的立体的体积计算方法知：曲顶柱体的体积为：(,)dd= A()d=此式右端称为先对后对的二次积分 .具体求二重积分时,可以去掉限制条件：f(,)0.2. Y型区域：设区域D：1(y)2(y),cd.特点：穿过D的内部且平行于X轴的直线与D的边界相交不多于两点.同理有：f(,)dd= 3. 既非X型,又非Y型区域：此时将D划分成若干个小区域,使每个小区域或者为X型,或者为Y型区域,再利用区域的可加性分别计算.4. 既是X型,又是Y型区域：则有f(,)dd= =注：在上述

9、讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。小结I：二重积分化二次积分时应注意的问题1.积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于X型(或Y型)区域, 用平行于轴(轴)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为X型(或Y型)区域的并集。2.积分限的确定将二重积分划为二次积分时,确定积分限是关键.积分限由积分区域确定.首先划出积分区域,假如积分区域为X-型,如下图,在a,b内任取一点,积分区域上以为横坐标

10、的点在一直线段上,此直线段平行于轴,该直线段上点的纵坐标从1(x)变到2(x), 1(x)和2(x)就是公式中将看作常数而对积分时的下限和上限,对积分时,由于在a,b内是任取的,因此的积分区间为a,b.例1. 计算：,其中由直线=1, =1, = 所围成.图(a)图(b)解：如图(a), 既是X-型区域，又是Y-型区域.若视为X-型区域：在-1,1内任取点,则在以为横坐标的直线段上的点,其纵坐标从= 变到=1,因此有：=说明：若把看作Y-型区域，如图(b)：则有此时计算较繁琐.因此选择适当的区域类型很重要.例2求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解： 设这两个圆柱面的方程为：

11、2+2=R2, 2+2=R2,.由对称性可知,只须计算立体在第一卦限的体积,然后乘以8即得.此时, =(,)|0 ,0R,于是,所求体积为：V=8dd=8=例3交换下列二次积分的积分次序：解：积分区域为：12，2. 如左图. 若视为Y-型区域，如右图，则有：=二、利用极坐标计算二重积分按照二重积分的定义有，现研究这一和式极限在极坐标中的形式。1变换公式设从极点O出发且穿过区域D的内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点.用一族同心圆：=常数;一族射线=常数划分D,则面积元素：d=dd.于是由x=cos,y=sin得:f(x,y)d=f(cos,sin)dd.i =(+)2i-2i=(2+)2i=

12、+(+)i=i这里, 表示相邻两圆弧的半径的平均值.在圆弧=任取一点(,),设此点的直角坐标为(i,i),由i=cos,i=sin知：(i,i) i=(cos,sin)i即：(x,y)d=(cos,sin)由于(x,y)d也常记作(x,y)dxdy, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式(x,y)dxdy=(cos,sin)(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。2 区域D与极点的位置关系1） 设D：1()2(),.则(cos,sin)=(cos,sin);2） 设D：0(),.则(cos,sin)= (cos,sin);3

13、） 设D：0(),02.则(cos,sin)= (cos,sin);由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式，1()2()下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。例4计算:其中D:x2+y2a2. 解：D：0a,02.=注：利用直角坐标计算不出来.例6化二次积分为极坐标系下的二次积分.解：由于D：xyx,0x2所以：=小结II：1用极坐标变换计算二重积分的方法：(1)先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；(2)再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范

14、围。2使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含, 为实数)。作业:高等数学C类练习册习题四十九、五十教学后记：教学参考书： 高等数学 北京大学数学科学部编 高等数学典型题精解 陈兰祥编 高等数学 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 高等数学 同济大学应用数学系主编 高等数学 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）思考题：1.证明：1) =(< ，ÎC,)2)2.计算：I=(|+|)dd，其中D为：|+|1.3.计算：,其中D：-11,02.讲授内容: §9.3

15、 二重积分的应用教学目的与要求：1.掌握曲面面积的计算方法2.理解公式的含义，帮助记忆公式3.学会应用二重积分计算质心、转动惯性教学重难点： 重点利用二重积分计算曲面面积 难点二重积分的物理应用教学方法:讲授法教学建议： 利用多媒体进行图形分析学时：2学时教学过程:一、曲面的面积设曲面S的方程为：z=f(x,y). D为S在xoy面上的投影区域.fx(x,y),fy(x,y)在D上连续.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(此闭区域的面积也记作d).在d上取一点P(x,y),对应曲面上的点为M(x,y,f(x,y).点M在xoy上的投影为点P,点M在曲面S的切平面为T.以小闭区域d的边界为准线

16、作母线平行于z轴的柱面,此柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面dA.由于d很小,从而可以用切平面上的小片平面dA代替曲面上的小片曲面.设点M在S上的法线(指向向上)与z轴所成的角为,则有:dA =由于cos=所以dA=d.此为曲面S的面积元素.于是曲面S的面积为:A =d或A =dxdy.例1. 求半径为a的球的表面积.解: 取上半球面方程为z=,则其在xoy面上的投影区域为:D=(x,y)|x2+y2a2.由=得=于是上半球面的面积为:S=dxdy.此为反常二重积分.先取区域D1=(x,y)|x2+y2b2,0<b<a为积分区域,再令baS1=dxdy=dd a

17、= 2a=2a(a-)S=S1=2a2.所求面积为A=4a2.二、平面薄片的质心设在xoy面上有n个质点,分别位于(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)处, 质量分别为m1,m2,mn,则此质点系的质心坐标为:=;=其中M=为质点系的总质量，My=, Mx=分别为质点系对x轴和y轴的静矩.设有平面薄片,占有闭区域D,在(x,y)点处具有面密度(x,y).设(x,y)在D上连续.现求其质心坐标.在D内取一小闭区域d,(同时表示其面积),当d的直径很小时,其质量近似为:(x,y)d.静矩元素分别为:dMy= x(x,y)d, dMx= y(x,y)d.于是My=x(x,y)d;Mx=y(

18、x,y)d=;=其中,M=(x,y)d.为平面薄片的质量.当(x,y)为常数时,平面薄片的质心成为平面图形的形心.于是形心公式为:=xd;=yd;其中A为D的面积.例2. 求位于两圆=2sin和= 4sin之间的均匀薄片的质心.解:由于闭区域D关于y轴对称,因此=0.yd=2sindd=7.=7/3=7/3.所求质心为(0,7/3)三、平面薄片的转动惯量设在xoy面上有n个质点,分别位于(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)处.质量分别为m1,m2,mn,则此质点系的转动惯量为:Ix=;Iy=设有平面薄片,占有闭区域D,在(x,y)点处具有面密度(x,y).设(x,y)在D上连续.现

19、求其对x轴和对y轴的转动惯量：在D内取一小闭区域d,(同时表示其面积),当d的直径很小时,其质量近似为:(x,y)d.对x轴和y轴的转动惯量元素分别为:dIx=y2(x,y)d, dIy=x2(x,y)d.于是平面薄片对x轴和y轴的转动惯量分别为:Ix=y2(x,y)d;Iy=x2(x,y)d例3. 求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转动惯量.解: 建立图示坐标系.则D=(x,y)|x2+y2a2,y0.所求转动惯量为D对x轴的转动惯量: I x = y2d=3sin2dd= =a4/8=Ma2/4其中M=a2/2为半圆薄片的质量.作业: 复习这节的知识点,对以往做错的题进

20、行复习教学后记：教学参考书： 高等数学 北京大学数学科学部编 高等数学典型题精解 陈兰祥编 高等数学 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 高等数学 同济大学应用数学系主编 高等数学 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题:已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.讲授内容: 第九章习题课教学目的与要求：1. 复习巩固二重积分的概念、性质、以及几何意义. 2. 熟练掌握二重积分的两种计算方法：直角坐标法和极坐标法3. 掌握区域的对称性与被积函数的奇偶性对二重积分的影响4. 熟练掌握二重积分的几何应用与物理应用. 教学重难点：重点二重积分的两种计算方法难点积分限的确定以及计算二重积分的多种技巧教学方法:讲授法教学建议： 重点讲授积分限的确定以及计算二重积分的多种技巧学时：2学时教学过程:一、 主要内容1.二重积分的定义.二重积分的几何意义、二重积分的性质、二重积分的计算（）直角坐标系下X型(,)dd= A()d=Y型f(,)dd= （）极坐标系下D: ，1()2()(cos,sin)=(cos,sin)5、二重积分的应用(1) 体积：(2) 曲面积设S曲面的方程为：曲