第3章 矩阵及其运算

1、第3章 矩阵及其运算3.1 基本要求、重点难点基本要求：1 1掌握矩阵的定义.2 2掌握矩阵的运算法则.3 3掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.4 4掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.5 5  掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.6 6掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.  重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1    &

2、#160;        重要定义 定义3.1 由个数组成的行列的数表成为一个行列矩阵，记为简记为，或, 注意行列式与矩阵的区别：（1） （1）    行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2） （2）    行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3） （3）    一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4） （4）  &#

3、160; 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5） （5）    当时，有意义，而无意义.的矩阵叫做阶方阵或阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数.对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的阶矩阵叫阶单位矩阵，常记为（或），简记为（或），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为，或简记为.行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的

4、且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.设有矩阵=，则称为的负矩阵.若是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针的行列式，记为或.将矩阵的行列式互换所得到的矩阵为的转置矩阵，记为或.若方阵满足，则称为对称矩阵，若方阵满足，则称为反对称矩阵.若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若=是复矩阵，则称矩阵（其中为的共轭矩阵，记为.定义3.2 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得，则称方阵可逆，称为的逆矩阵，记做.对于方阵，设的代数余子式为，则矩阵称为的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.定义3.3 设有矩阵，如果：（1） （1） 

5、0;              在中有一个阶子式不为零.（2） （2）                                 &#

6、160;                                                 &#

7、160;                                                 &#

8、160;                                                 &#

9、160;                                    中任意阶子式（如果有的话）全为零，则称是矩阵的一个最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记为.定义3.4 初等变换与初等方阵：（1） （1）   

10、   初等变换：变换矩阵的某两行（记为）；把非零数乘以矩阵的某行的所有元素（记为）；把矩阵的第行的倍加到第行上（记为）.以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换的逆是其自身，变换的逆变换为变换的逆变换为.初等变换的性质：若矩阵经有限次初等行（列）变换为，则的行（列）向量组与的行（列）向量组等价.若矩阵经有限次初等行（列）变换为，则的任意个列（行）向量与中对应的个列（行）向量有相同的线形相关性.（2） （2）  

11、0; 初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.初等方阵共分三种，它们是：，.它们与单位矩阵的关系是： ，或， ，或 ，或容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.初等矩阵皆可逆，且=，=，=初等方阵的性质：若为可逆方阵，则存在有限个初等方阵，使.矩阵等价的充要条件是存在阶可逆方阵和阶可逆方阵，使.3.2.2             重要定理定理3.1 对矩阵施行一次初等行（列）变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵.例如：若，则；若，则=；若，则

12、=；等等.定理3.2 方阵可逆的充分必要条件是：（1），且.（2）可以表示成一些初等矩阵的乘积.若方阵可逆，则的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的.阶方阵的秩的充要条件是：，即可逆.任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.定理3.3 对矩阵施以初等变换，不改变矩阵的秩.若矩阵经有限次初等变换为，则称与等价，记为.若，则=对任何矩阵，可通过初等变换成阶梯形矩阵，进一步可化成行最简形矩阵，再通过初等列变换可化成一个即是行最简形又是列最简形的矩阵，即所谓的标准形，设矩阵的秩，由于初

13、等变换不改变矩阵的秩，所以，其中是阶单位矩阵.定理3.4 （线性方程组有解的判定定理）（1） （1）          非奇次线形方程组有解的充要条件是=，当=时，方程组有无穷多解；当是=时，方程组有惟一解；当时，方程组无解.（为系数矩阵，为增广矩阵.）（2） （2）          齐次线形方程组一定有零解；如果，则只有零解，它有非零解的充分必要条件是.3.2.3     

14、        主要运算1 1矩阵的运算法则：（1） （1）    加法法则：（加法满足交换律）；（加法满足结合律）；若，则（移项法则）.以上运算法则说明了矩阵相加、减的运算有类似于初等代数中相加、减的运算法则，矩阵相加、减是不难掌握的，只有注意矩阵间是否可以相加、减就可以了.（2） （2）    数乘矩阵的运算法则：，其中表示数，、表示同型矩阵.注意：，则或；或且，换句话说：若是零矩阵，则数是0，矩阵是零矩阵至少有一个成立.（3） （3）  &

15、#160; 矩阵相乘的运算法则：（矩阵乘法对加法满足分配律）；（矩阵乘法满足结合律）；，（乘法满足数因子的结合律）.说明：1） 1）          左边矩阵的列数必须与右边矩阵的行数相等才能相乘.矩阵乘法不满足交换律，也就是说不一定成立，若成立的话，则称，可交换.2） 2）          显然有，当是方阵时，有.这就是说单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用.要注意：是错误的，正确的写法应是，

16、同样可知.3） 3）          按矩阵乘法的定义，只有方阵才能自乘，故若是阶方阵，定义：是整数）当为整数时有由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个阶矩阵与，一般来说.4） 4）          伴随矩阵的运算法则： 5） 5）          方阵行列式的运算法则： 其中、市同阶矩阵，是任一数，是的阶数.6） 6

17、）          转置矩阵的运算法则： 是任一数），.7） 7）          逆矩阵的运算法则： ；若可逆，则.8） 8）          共轭矩阵的运算法则： 是任一数），.2 2分块矩阵的运算:(1) (1) 将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵.(2) (2) 分块矩阵有类似于

18、普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块要恰当.(3) (3) 分块对角方阵.若方阵的分块矩阵只有在主对角线上有非零方阵子快，而其他子快都是零，即则称为分块对角方阵，分块对角方阵的行列式.3.2.4             重要方法本章研讨的是矩阵运算，因此凡矩阵定义、矩阵运算的定义、矩阵运算法则等等，都是重要的，应很好地掌握，只是有些较容易掌握，可少花时间和精力；有些较困难，应认真对待，多做练习，多思考，仔细钻研范例，注意每一个特殊点.1 1   

19、矩阵的运算方法：（1） （1）    以矩阵乘法为纲.矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，而矩阵相乘就较困难了，可以这样说，有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，就应该多留心.（2） （2）    边学习，边积累，逐步提高.这一章有很多定义（要重视定义！）、很多运算，每种运算又有若干条运算法则，一开始掌握不了那么多，应该学一点积累一点，直到全部掌握.例如：已知，计算行列式.如果先算出，再算出及，算出矩阵乘积，最后计算行列式；这样比较麻烦，而且易错，如果利用方阵则行列式的性

20、质就简单多了.因，所以.2 2    化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵以及标准行的方法： 一定要能熟练地用初等行变换化一个矩阵成为阶梯矩阵（或行最简行）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组等都要用到这样的方法.3 3    求逆矩阵的方法：（1） （1）    用定义求. 用存在方阵，使，则.此法要求对矩阵乘法比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可直观看出满足条件的（只要验证或一个即可）.（2） （2）    用，其中是的伴随矩阵.要注意2阶矩阵求伴随矩阵的口诀：“主换位，副变号.”例如，设，则.（3） （3）    初等变换法. 因为,所以把同时做初等行变换，当处变为时，处得，即，同理.（4） （4）    分块矩阵求逆.对于分块对角阵，若的逆都存在，则也存在，且有.若方阵 且的逆都存在，则的逆也存在，且有4 4    求矩阵秩的方法：（1）