第三章导数与微分92796

1、第三章导数与微分导数研究函数相对于自变量变化的快慢速度，微分则研究自变量发生微小变化时，函数大约变化多少，导数与微分合称为微分学。是高等数学最重要，最核心的内容之一。本章约占全书考试内容的25%预备知识习惯用u1表示变量u的初值，用u2表示变量u的终值。因此符号表示变量u的终值减初值。叫变量u的增加量，简称增量或改变量。由 。即变量u的终值等于初值加增量。当变量y与变量x有函数关系yf（x）时，若自变量有增量x2x1时、可得§1导数概念在自然科学和工程及经济学中，若y是x的函数y=f(x)，我们经常要比较y的增量与x的增量，即，即比较相对变化的快慢速度。如果用表示变量x的初值，x表示

2、x的终值，则有一、下面我们介绍函数y=(x)的导数的定义。定义3.1若时,极限就说函数y=f(x)在点可导，并且将此极限值称为函数y=f(x)在点的导数值，记作为了方便记忆，可以简写为 当极限不存在时，就说y=f(x)在点处不可导。由于所以 导数定义也可写作答疑编号10030101：针对该题提问答疑编号10030102：针对该题提问答疑编号10030103：针对该题提问答疑编号10030104：针对该题提问容易得到下面定理答疑编号10030105：针对该题提问答疑编号10030106：针对该题提问答疑编号10030107：针对该题提问答疑编号10030108：针对该题提问答疑编号1003010

3、9：针对该题提问答疑编号10030110：针对该题提问(二)导数的力学意义在力学中，若路程S与时间的关系为S=S(t),则 表示物体在时间间隔内的平均速度。表示物体的运动速度，即 例7若物体运动路程S= ,求物体的运动速度v(t)及在时刻t=1时的速度。答疑编号10030111：针对该题提问三、导数的几何意义可以证明，曲线y=f（x）在点M（）的切线斜率由于直线过点（）且斜率为k时的点斜式方程为k（ ）所以有y·M（）例8 函数y=f（x）=,求曲线y=f（x）= 在点M（2，4）处的（1）切线斜率，答疑编号10030112：针对该题提问（2）切线方程，答疑编号10030113：针对

4、该题提问（3）法线方程答疑编号10030114：针对该题提问四、可导与连续的关系我们知道，函数y=f（x）在点处导数存在，在几何上是表示曲线在点对应的点处有切线；而函数y=f（x）在点处连续，几何上是表示曲线y=f（x）在点（,f（）处连续不间断，由此直观意义似乎可得到“若函数f（x）在点处可导则f（x）必在点 处连续”。这个结论确实是正确的，下面是有关的定理和证明。定理若函数f（x）在点处可导，则f（x）必在 处连续。证明由于存在，所以由极限与无穷小的关系知其中由此有即，由连续的定义知f（x）在点处连续。注意该定理的逆命题不一定成立，即若f（x）在点处连续，不能保证f（x）在点处可导。例如，

5、f（x）=在点x=0处是连续的，但是它在点x=0处是不可导的（见例6）。§2基本初等函数的导数表、导数的四则运算公式（一）基本初等函数导数表正面的结果是用导数定义求基本初等函数的导数结果，可以作为公式应用基本初等函数的导数表、导数的四则运算公式例一：利用基本初等函数导数表，求答疑编号10030201：针对该题提问答疑编号10030202：针对该题提问（二）导数的四则运算公式关于导数的四则运算，有下面结果，请熟记！在乘法公式中可推广为例二：求下列函数的导数答疑编号10030203：针对该题提问与符号f(a)表示函数f(x)在x=a处的值相似，。例三：求导数值答疑编号10030204：针

6、对该题提问解（1）因为（2）表示导数（x）在x=2处的值。所以应先求导数 （x）。再求导数（x）在x=2处的值。例四若曲线y=f(x)=在点M(、)的切线平行于直线y=3x+1。求切点M(、)和切线方程。答疑编号10030205：针对该题提问例五求过点(2，0)且与双曲线y= 的相切的切线。答疑编号10030206：针对该题提问解：(1)设切线过双曲线点y=的点M(、 )下面我们不加证明分段函数的左导数、右导数有下面定理：则有f(x)在分段点的左导数等于时的左函数g(x)在点处的导数，即 =，相应地有右导数等于右函数h(x)在点 的导数，即 = 答疑编号10030207：针对该题提问答疑编号1

7、0030208：针对该题提问可见，有了定理三，求分段函数的左、右各导数要方便许多。答疑编号10030209：针对该题提问二、复合函数求导数的公式关于复合函数的方法，我们不加证明地介绍下面的定理：定理，若都可导，则也可导。例一：用复合函数求导数的公式，求下列复合函数的导数。（1）y=sin（3x+1）【答疑编号10030301：针对该题提问】（2）【答疑编号10030302：针对该题提问】（3）【答疑编号10030303：针对该题提问】（4）【答疑编号10030304：针对该题提问】（5）【答疑编号10030305：针对该题提问】（6）【答疑编号10030306：针对该题提问】（7）【答疑编号1

8、0030307：针对该题提问】（8）【答疑编号10030308：针对该题提问】解：（1）先写出y=sin（3x+1）的复合过程为：y=sinu , u=3x+1再用复合函数导数公式求（2）先写出 的复合过程为：再用复合函数求导公式求（3）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求（4）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求（5）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求（6）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求（7）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求（8）先写出的复合过程为：再用复合函数求导公式求例一也可以简写如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）例二：求下列

9、函数的导数（1）【答疑编号10030309：针对该题提问】（2）【答疑编号10030310：针对该题提问】（3）【答疑编号10030311：针对该题提问】（4）【答疑编号10030312：针对该题提问】解：（1）（2）（3）（4）例三：求下列函数的导数（1）【答疑编号10030313：针对该题提问】（2）【答疑编号10030314：针对该题提问】（3） 【答疑编号10030315：针对该题提问】解：（1）（2）（3）例四：求下列函数的导数（1）【答疑编号10030316：针对该题提问】（2）y=f（lnx）【答疑编号10030317：针对该题提问】解：习惯用表示对u的导数即所以，（1）上面的解

10、答过程也可简写为：（2）上面的解答过程也可简写为：例五：证明（1）奇函数的导数是偶函数【答疑编号10030318：针对该题提问】（2）偶函数的导数是奇函数【答疑编号10030319：针对该题提问】（3）周期函数的导数仍是周期相同的周期函数【答疑编号10030320：针对该题提问】证：（1）设f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x），需证明f'（x）是偶函数。将上面等式两边对x求导数得：上式说明导函数f'（x）是偶函数（2）设f （x）是偶函数，需证明f'（x）是奇函数证：上式说明导函数f'（x）是奇函数（3）设f（x）是周期为T的周期函数上式说明f'（x

11、）是周期为T的周期函数。3.3几类特殊函数的求导方法利用复合函数的求导法则，还可以推出对以下几类特殊函数的求导方法。一、幂指函数的求导方法形如的函数，称为幂指函数。对于该函数的求导运算，既不能将它看成幂函数而用幂函数的求导公式，也不能将它看成指数函数的求导公式。解决的方法有以下两种：方法1.将写成，由复合函数的求导法则有：方法2.对取对数：,等式两边对x求导（注意y是x的函数）：注意：解出 ，得：方法1与方法2本质上是一样的，都是利用了复合函数的求导法则。由于它们推得的导函数的形式较为复杂，不便于记忆，所以通常不把它作为公式来使用，遇到具体的幂指数的求导问题直接用方法1或方法2去解决就行了。例

12、1.设,求。【答疑编号10030401：针对该题提问】解：由得例2.设，求。【答疑编号10030402：针对该题提问】解：由得：例3.设,求。【答疑编号10030403：针对该题提问】解：对已知函数先取对数得，再两边对x求导得：由于一个函数取对数后可将原表达式中的乘、除运算化为加、减运算，可将原表达式中的幂指运算化为乘法运算，而求导中的加、减运算法则比乘、除运算法则简便，所以，对于一些含有乘、除运算因子的函数，或含有乘方、开方运算的函数，也可以采用先取对数再求导的方法，这种求导方法也称为“对数求导法”。例4.设，求。【答疑编号10030404：针对该题提问】解：此题若直接用求导的四则运算法则做

13、将很繁复，现采用“对数求导法”：，两边x求导得：得：二、隐函数的求导方法我们知道，函数y=f（x）的对应法则的表示常用：公式法，y=f（x）,例如y=x2,y=x+sinx,等等。这样表示的函数称为显函数，还有一些函数，其x和y之间的对应法则是由一个方程：F（x,y）=0来确定的，即在一定的条件下，当x在某区间内任意取定一个值时，相应地总有满足方程的唯一的y值与x对应，按照函数的定义，方程F（x,y）=0确定了一个函数y=y（x），这个函数称为由方程F（x,y）=0确定的隐函数。例如，方程x2+y2=1，如果限定y0，则对区间（-1，1）内任何一点x，都有确定的y值与之对应。上例中由方程x2+

14、y2=1所确定的隐函数可以“显化”：，此时如要求导数就可以直接对显化后的函数进行求导运算，但是更多的隐函数是不能显化或不方便显化的，例如y=1+xey所确定的隐函数y=y（x）就不能显化，因为从方程中“解不出y”。对这种不能显化的隐函数y=y（x），如何求导数呢？这种不是先从方程F（x,y）=0中解出显函数，而是直接从方程F（x,y）=0出发而求出隐函数y=y（x）的导数的方法称为隐函数求导法。隐函数求导法设y=y（x）是由方程F（x,y）=0所确定的隐函数，对方程两边的x求导，遇到y时将其看成x的函数，利用复合函数的求导法则就会得到一个含有（或y'）的方程，从方程中解出即可。注意下面

15、结果：例5.设y=y（x）是由方程sinxy-ln（x+y）=0确定的隐函数，求。【答疑编号10030405：针对该题提问】解：两边对x求导，注意到y是x的函数，有例6.设y=y（x）是由方程y=1+xey确定的隐函数，求【答疑编号10030406：针对该题提问】解（1）两边对x求导，注意到y是x的函数，有（2）将x=0代入等式，y=1+xeyy=1+0=1例7.求曲线y5+y-2x-x60在x0所对应的点处的切线方程。【答疑编号10030407：针对该题提问】解：将x=0代入曲线方程，得对应的y值满足y5+y=0，即有y=0，所以切点为（0，0）。由导数的几何意义知切线的斜率为在方程两边对x

16、求导，有所以切线方程为y-0=2（x-0）y=2x三、参数式函数的求导方法若两个变量x和y都是同一变量t的函数：那么通过中间变量t，使x与y之间可能形成函数关系，实际上，若（t）连续、单调，则x（t）会存在反函数t=（t） 再与再y=（t）复合则可确定y是x的函数，所以，我们称由表达式确定的函数y=y（x）为由参数方程的函数，也称为参数式函数，称t为参变量。对这样的函数如何求导数呢？这时，可以用公式或求函数x=（t）, y=（t）的确定y=f（x）导数这即是参数式函数的求导公式。例8.设求。【答疑编号10030408：针对该题提问】解：例9.求摆线在所对应的点处的切线方程和法线方程【答疑编号1

17、0030409：针对该题提问】解：将代入曲线方程有,从而得到切点坐标，又，所以切线的斜率为，故所求的切线方程为：，即；法线方程为即例10.以初速度V0、发射角发射炮弹，其弹道的轨迹方程为：求：（1） 炮弹在t时刻的运动方向； （2）炮弹在t时刻的速度的大小。【答疑编号10030410：针对该题提问】解：（1）炮弹在t时刻的运动方向就是其轨迹曲线在t时刻的切线方向，所以只需求出切线的斜率，因为在t时刻轨迹曲线的切线斜率所以，炮弹在t时刻沿x轴正向的夹角（2）炮弹在t时刻沿x轴正向的分速度为，沿y轴正向的分速度为，故炮弹在t时刻的速度的大小为：例11.设求。【答疑编号10030411：针对该题提问

18、】解：（1）先求出一阶导数：；（2）再求3.4高阶导数（一）定义：叫y=f（x）的二阶导数，也可写作例一：y=xe2x，求y，y''答疑编号10030501：针对该题提问解：（1）（2）例二：y=x2sinx，求y''答疑编号10030502：针对该题提问解：y=2xsinx+x2cosxy''=（y'）'=2sinx+2xcosx+2xcosx-x2sinx=（2-x2）sinx+4xcosx例三：y=y（x）由等式确定，求y',y''。答疑编号10030503：针对该题提问解：将等式两边对x求导数解得再

19、将两边对x求导数例四：设求答疑编号10030504：针对该题提问解：先求出一阶导数；再求；（二）定义：其中y（n）叫y=f（x）的n阶导数。例1求下列函数的n阶导数y（n）（1）y=xn， 答疑编号10030505：针对该题提问（2）y=ax答疑编号10030506：针对该题提问（3）y=lnx， 答疑编号10030507：针对该题提问（4）y=sinx答疑编号10030508：针对该题提问解：（1）y=xny（n）=n（n-1）3·2·1=n!（2）y=axy'=axlnay''=ax（lna）2y'''=ax（lna）3y

20、（n）=ax（lna）n（3）y=lnx（4）y=sinx总结上例结果得例2：y=x（x+1）（x+2）（x+3）（x+10）求y（11），y（12）。答疑编号10030509：针对该题提问解：y是n次多项式且由于（xn）（n）=n!（xn）（n+1）=0y（11）=11！ y（12）=03.5微分及其运算（一）微分的定义（1）函数y=f（x）的微小增加量叫函数y=f（x）的微分，记作dy可以证明：（2）叫函数y=f（x）在点x=x0的微分，可以有：例1：y=x sin x求dy.答疑编号10030510：针对该题提问解： 例2：y=xlnx求（1）dy答疑编号10030511：针对该题提问（

21、2）dylx=1答疑编号10030512：针对该题提问解：例3：答疑编号10030513：针对该题提问解：例4：答疑编号10030514：针对该题提问解：例5：答疑编号10030515：针对该题提问（二）基本微分公式表由公式以及基本初等函数的求导公式，容易得到基本初等函数的微分公式：例6填空（1）d（ax+b）答疑编号10030516：针对该题提问（2）dx2答疑编号10030517：针对该题提问（3）dx3答疑编号10030518：针对该题提问（4）d ex答疑编号10030519：针对该题提问（5）d lnx答疑编号10030520：针对该题提问（6）dsmx答疑编号10030521：针对

22、该题提问（7）dcosx答疑编号10030522：针对该题提问（8）dtanx答疑编号10030523：针对该题提问（9）darcsinx答疑编号10030524：针对该题提问（10）darctanx答疑编号10030525：针对该题提问解：（三）近似计算公式所以可以认为，当x很小时，记作特别情形所以，在特别情形下有下面公式注意，在近似计算公式中，角的单位必须用弧度例7：计算答疑编号10030526：针对该题提问答疑编号10030527：针对该题提问答疑编号10030528：针对该题提问答疑编号10030529：针对该题提问答疑编号10030530：针对该题提问解：例8：求arctan 1.0

23、1的近似值答疑编号10030531：针对该题提问本章小结（一）考核要求（1）知道导数，左导数，右导数的定义及其关系（2）导数的几何意义和力学意义曲线y=f（x）在点M0（x0,y0）的切线的斜率质点的运动方程s=s（t），则质点的速度为（3）熟记基本初等函数的导数表（4）熟记导数的四则运算公式，复合函数求导公式和由参数方程确定的函数的导数公式令求由方程F（x，y）=0，确定的隐函数y=f（x）的导数，要点是y=f（x）例如：幂指函数y=f（x）g（x） 求导数时，有条式：（5）高阶导数定义：特别情形（二）典型例题答疑编号10030601：针对该题提问解：例二答疑编号10030602：针对该题提

24、问（2）g（x）在x=a处连续，f（x）=（x-a）g（x），用导数定义求 。答疑编号10030603：针对该题提问例三答疑编号10030604：针对该题提问解例四：答疑编号10030605：针对该题提问例五：求下列函数的导数和微分dy答疑编号10030606：针对该题提问（2）y=ln（1+x2）答疑编号10030607：针对该题提问（3）y=ln（cscx-cotx）答疑编号10030608：针对该题提问例六：求下列函数的导答疑编号10030609：针对该题提问答疑编号10030610：针对该题提问答疑编号10030611：针对该题提问解： 例七答疑编号10030612：针对该题提问答疑编号10030613：针对该题提问例八求曲线的平行于直线l：y=4x-1的切线议程和法线方程。答疑编号10030614：针对该题提问解：直线L的斜率，切线与直线L平行。 例九质点的运动方程为，求时刻t=2时质点的速度和加速度。答疑编号10030615：针对该题提问例十证明（1）奇函数的导数是偶函数。答疑编号10030616：针对该题提问（2）偶函数的导数是奇函数。答疑编号10030617：针对该题提问（3）若f（x）是偶函数且答疑编号10030618：针对该题提问解：（1）设f（x）