相似三角形及其判定

1、第二章 相似第6讲 相似三角形及其判定一、学习目标1.知道相似形的定义及相似比的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角；2.知道比例线段的概念及有关变形，掌握平行线分线段成比例定理及推论，并应用分析、解决问题； 3.掌握相似三角形的判定方法，并能灵活运用相似三角形的判定进行相关计算、证明；二、基础知识轻松学1比例线段（1）线段比：在同一单位下，两条线段长度的比.叫做这两条线段的比.（2）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，如或abcd，我们就说这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.（3）比例尺：在地图或者工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常叫做比

2、例尺，比如你照的全身照片与你本人相比，缩小了很多，若用1:20表示，则把比例尺称为1:20.【精讲】（1）判断四条线段是否成比例，应先将四条线段的长度单位统一，然后将四条线段按从小到大的顺序排列，再判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比。（2）比例的基本性质：如果，那么；2相似三角形的有关概念及性质（1）相似多边形一般地说，形状相同的两个图形称为相似图形。从所学习的多边形而言：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.相似形定义应把握两点：一是形状相同；二是大小不一定相同.（2）相似三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形.相似

3、三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。【精讲】关键把握以下几点：（1）在用“”表示两个相似三角形时，和表示两个全等三角形一样，一定要把对应顶点字母写在对应顺序位置上，这样容易找出对应边和对应角. 如图，ABC与ABC相似，记作：ABCABC.（2）两个相似三角形的相似比具有顺序性，即ABCABC的相似比为k，那么ABCABC的相似之比为.（3）全等三角形实际上是相似比为1的相似三角形，即相似三角形包含全等三角形，但相似三角形不一定是全等三角形（4）根据相似三角形的定义可知：若ABCABC，ABCABC，则ABCABC，即相似三角形具有传递性。3.相似三角形的判定（1）平行线分线段成比例定理平

4、行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）相似三角形的判定定理相似三角形的判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似相似三角形的判定2：如果两个三角形两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似相似三角形的判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似【精讲】相似三角形常见的基本图形（1）平行线型平行线型就是条件

5、中有平行线，基本图形常见的有两种：“A”型如图1，即公共角的对边平行和“X”型如图2，即对顶角的对边平行。 图1 图2 图3 图4 图5 图6（2）斜交型斜交型就是公共角的对边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对的边延长相交，其中再有一对角相等，或其公共（或对顶）角的两边对应成比例，就可以判定两个三角形相似，基本图形常见的有下列几种：如图3，若DB或ACBAED，则ADEABC；如图4，若ACDB或ADCACB，则ACDABC；如图5，若ADEB或AEDC，则ADEABC；如图6，若AD或BC，则AOBDOC；（3）旋转型旋转型的特点是将其中的一个图形旋转一定的角度，就可以得到平行线型或斜交

6、型，如图7，若添加一个条件则有AEDABC； 图7 图8 图9 （4）双垂型：如图8，在RtABC中，ABC90，如果BDAC，那么ABCADBBDC（5）K字型如图9，在矩形、等边三角形、等腰三角形中，如果存在AEFB=C，则ABEECF；判定相似三角形的基本思路：一是条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边的比相等；二是条件中若有两组对应边的比相等，可找夹角相等或计算第三组对应边的比，考虑三组对应边的比相等。三、重难疑点轻松破1.识别比例线段例1已知线段a0.5m，c25cm，b0.2m，d10cm，试识别这四条线段是否成比例线段？解析：先求出其中两条线段的比，再求出

7、另外两条线段的比，比较它们的值是否相等.因为a0.5m50cm，c0.2m20cm，所以2，所以a、c、b、d四条线段成比例.点评本题易受思维定势的影响，习惯性的判定是否成立，而导致错解判断四条线段是否成比例，一是单位要统一；二要注意四条线段的顺序；三是计算两条线段之比是否等于另两条线段之比.变式1 在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5cm，那么福州与上海的实际距离是_km.2. 准确理解相似比及相似三角形性质找两个相似三角形的对应边、对应角的方法有两种：如果给出相似表达式，就先找对应顶点，再找对应边、对应角如果已知对应角，那么对应角所对的边就是对

8、应边；如果已知对应边，那么对应边所对的角就是对应角找两个相似三角形的对应边还有一个原则：大边对大边，小边对小边例2ABC的三边长为2、3、4，若AEDABC，且AED的最短边长为8，则AED与ABC相似比是 ，AED的另两边长分别为 答案：（1）1：2（2）12、16解析：（1）由题意知，要求周长，应知道三边长，两个三角形相似，则对应边成比例，这里的对应指大边对大边，小边对小边，题目中给出的第二个三角形的最短边长是8，因此应找出第一个三角形的最短边与之对应，这条对应边长应为2，所以相似比为，设另两边长分别为x、y，解得x12，y16，第二个三角形的另两边长分别为12、16点评：求相似比时要注意

9、顺序，哪个三角形在前，它的对应边就作为比的前项相似比实际上反映的是一个图形的放大或缩小，相似比大于1，说明图形被放大；相似比小于1，说明图形被缩小；相似比等于1，说明两个图形全等若ABC与ABC的相似比为k，则ABC与ABC的相似比为变式2如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，那么最短边分别为5cm和 cm3.探寻两三角形相似在判别两个三角形相似时，应注意利用背景图形中已有的公共角，公共边等隐含条件（特殊图形的性质或平行等），以充分发挥基本图形（平行线型（“A”型和“X”型）、斜交型、旋转型、双垂型、K字型）的作用；寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形（或构造成比

10、例的线段）；或利用特征图形（如公共边、角的两个三角形）找相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形；或利用分别等于中间比的两个比相等实现对等比进行转移；判别三角形相似的方法有时单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可（1）借助基本图形探寻相似对数例3 如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD交于点F，则图中相似三角形共有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对解析：本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图、图所示，由于ADFECFEBA，共有3对相似三角形；由于矩形是中心

11、对称图形，对角线分得的两个三角形是全等形，也是相似三角形，故选择C答案.点评：在寻求复杂图形中的相似三角形时，如果图形中含有平行线，可抓住平行线的位置特征，根据上述所总结的“A”型的图形和多少个“X”型的图形的基本形状分离出所寻求的形似三角形 .识别相似三角形，关键是从复杂图形中提炼出基本图形（平行线型、斜交型、旋转型、双垂型、K字型），判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行线，再看是否存在两组对应角相等，最后再看对应边是否成比例，尤其注意全等也是相似的特殊情形。变式3 如图所示，图中共有相似三角形（）A、2对B、3对 C、4对D、5对（2）借助网格探寻三角形相似例4

12、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）A.答案：A解析：借助网格，由已知的可知，最大角ACB=135，故排除选项B、C、D三项， 故选A 。点评：当网格作为背景时，相关格点之间便容易形成特殊的图形如正方形，直角三角形等，解题的关键是准确把握在网格中的特有的本质; 最大角ACB=135。当然也可利用网格背景分别计算三角形的各边，利用三边是否对应成比例判定两三角形相似。有关网格相似题常用的策略一是找特殊角，即利用网格的直观性，从中发现一些特殊的角，如45、90、135，从而使结论一目了然；二是找相等的角，再验证夹等角的两组对应边是否成比例；三是利用勾股定理计算三

13、边的长，再验证三组对应边是否成比变式4 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点ACB和DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F（1）求证：ACBDCE；（2）求证：EFAB例5 如图，已知PMN是等边三角形，APB=，求证：。证明：PMN是等边三角形P21NMBAPMN=PNM=，又PMA+PMN=PNB+PNM=，PMA=PNB=，A+1=，1+2=-=，A+1=1+2，A=2， APMPBN， .点评：由两个角判定三角形形似的方法是所有方法中最常见的方法，应用时关键是找准对应角，一般地公共角、对顶角、同（等）角的余角（或补角）都是相等的，解题时应注意挖掘

14、题中的条件（外角、内角和、全等、特殊图形的性质等）.变式5 如图，在RtAOD中,AOD=900,AO=OB=BC=CD.3与4有何关系?证明你的结论。四、课时作业轻松练A.基础题组1下列各组中的四条线段成比列的是（）A1cm，2cm，20cm，40cmB1cm，2cm，3cm，4cmC4cm，2cm，1cm，3cm D5cm，10cm，15cm，20cm2.已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A、都相似B、都不相似 C、只有（1）相似D、只有（2）相似3. (2012海南)如图，

15、点D在ABC的边AC上，要判断ADB与ABC相似，添加一个条件，不正确的是 ( ) AABD=C BADB=ABC C D4.下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是( )ACB A B C D5.在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DEAG于E根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由B.中档题组6.如图，在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A、2对B、3对 C、4对D、5对7.如

16、图，在ABC中，BAC=90，D为BC的中点，AEAD，AE交CB的延长线于点E（1）求证：EABECA；（2）ABE和ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，ABE和ADC一定相似C.挑战题组8.如图，ADBC，D=90，DC=7，AD=2，BC=4若在边DC上有点P使PAD和PBC相似，则这样的点P存在的个数有（）A、1B、2 C、3D、4五、我的错题本参考答案变式练习变式1 600解析根据关系式：比例尺=图上距离：实际距离，计算出实际距离，同时注意单位换算.设实际距离为x(cm)，则，所以x=60000000cm=600km.变式2 2解析：两个相似多

17、边形的最长边分别为35cm和14cm，则两个多边形的相似比是35：14，设第二个多边形最短边长是xcm，则35：14=5：x，解得x=2cm，最短边分别为5cm和2cm变式3C解析：共四对，分别是PACPBD、AOCDOB、AOBCOD、PADPCB故选C变式4解：（1） 又 ACB=DCE=90， ACBDCE（2） ACBDCE， ABCDEC又 ABCA =90， DECA=90 EFA=90 EFAB 变式5解：由图形发现存在斜交型的基本图形，从对应边之比探寻两三角形相似， 设AO=OB=BC=CD=x,则DB=2x,AB=x.=, ABC=DBA(公共角),ABCDBA, 3=4.

18、课堂作业A.基础题组1.A解析：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段所给选项中，只有A中，140=220，所以选A2.A解析：如图（1）A=35，B=75，C=180AB=70，E=75，F=70，B=E，C=F，ABCDEF；OA=4，OD=3，OC=8，OB=6，AOC=DOB，AOCDOB故选A3.C解：要使ADBABC，现有A=A，则还需要ABD=C、ADB=ABC或。4.B解析：由勾股定理得BC，AB2，AC选项A中三角形的三边是2，3；选项B中三角形的三边是2，4，2；选项C中三角形的三边是2，3，；选项D中三角形的三边是，4其中对应边的比相等的只有与ABC相似的三角形是选项B中的三角形另一解法：易知ABC是两直角边之比为12的直角三角形，从而可快速找出正确选项B5.解：GCFABF，GDEAED，GDEADC，GCFAGDG=G，GCF=GDA，GCFGDAB.中档题组6.C解析：在ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，AGBHG