第5章积分及其应用

1、第5章 积分及其应用5.1 不定积分5.1.1不定积分的概念与性质1原函数概念定义 在某区间上，若有，则称函数是在该区间上的一个原函数.例如，在区间（，）上有，于是是在该区间上的一个原函数；不难看出，（为任意常数）都是的原函数一般地，若是在区间上的一个原函数，（为任意常数）都是在区间上的原函数，而且的所有原函数可表示为（为任意常数）例1 求函数的一个原函数例2 求函数的所有原函数2不定积分的定义定义 函数的所有原函数称为的不定积分，记作其中“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.由定义可知，若是的一个原函数，即，则，其中是任意常数，称为积分常数由例2可知，这是幂函数的不定积

2、分公式，凡幂函数的不定积分可直接由此求出如：， ， ， ，等等例3 求函数的不定积分例4 求函数的不定积分3不定积分的性质性质1 不定积分与导数（微分）的互逆性质（1），即：一个函数先进行积分运算，再进行求导运算，两者作用相互抵消，得到的是这个函数本身；（2），即：一个函数先进行求导运算，再进行积分运算，得到的是这个函数本身加上任意常数性质2 不定积分的运算性质（1），即：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号的前面；（2），即：两个函数代数和的不定积分等于各个函数的不定积分的代数和这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即例5 求下列不定积分：（1）； （2）； （3）例6 某

3、产品在时刻（小时）的总产量的变化率为，且已知时产量为0，求此产品的产量与时间的函数关系5.1.2 不定积分的基本积分公式 不定积分是求导（或微分）的逆运算，根据基本初等函数的导数公式可得到相应的不定积分公式例如，由导数公式，有，所以类似可以得到其它基本积分公式，为方便记忆，下面将基本初等函数的导数公式及其对应的基本积分公式同时列出，如表1所示表1序号基本积分公式基本初等函数的导数公式12，34，567891011例1 求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求例3 求 例4 设某商品的需求量是价格的函数，最大需求量为5000（即价格为0时的需求量是5000）已知边际需求为，求需

4、求量与价格的函数关系式例5 某产品边际成本函数，已知10000件产品的总成本是1200百元，求总成本函数5.1.3 不定积分的积分方法1直接积分法直接运用不定积分的基本积分公式和不定积分的运算性质（有时需先对被积函数作简单的恒等变形）求不定积分的方法，称为直接积分法利用直接积分法所能求出的不定积分是非常有限的，下面介绍不定积分的换元积分法和分部积分法，它们是最常用的积分方法2换元积分法为了计算积分，可以将微分凑成，使变量一致为，即（凑微分）（变量替换）（求不定积分）（变量还原）一般地，有称以上这种积分方法为第一换元积分法，又称为凑微分法例1 求不定积分例2 求例3 求下列不定积分：（1）； （

5、2）； （3）； （4）第一换元法是把以为积分变量的积分通过变换而变为关于积分变量的积分，但有时，情形恰好相反这种积分法称为第二换元积分法，主要解决含根式函数的积分，即选择一种替换法消除根号，使积分由难变易例4 求不定积分3分部积分法设函数，具有连续导数，则此式称为分部积分公式，这一公式说明，如果计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算使用该公式的关键是如何选择和，一般地，的选择应使易于求得，且比易于计算例5 求不定积分：（1）； （2）； （3）5.2 定积分5.2.1 定积分的概念与性质1问题的提出（1）曲边梯形的面积如图6-1，在直角坐标系中，由连续曲线与直线以及轴围成的

6、平面图形称为曲边梯形如何求曲边梯形的面积A呢？我们采用极限方法，即先求近似值，通过“无限接近”，导出准确值，具体做法如下：分割用个分点将区间分割成个小区间，以表示第个小区间的长度过分点作轴的平行线，则将曲边梯形分割成了个小曲边梯形（如图6-2所示）近似任取，在每个小曲边梯形中“以直代曲”，以为高、为底的矩形面积近似代替第个曲边梯形的面积，即求和将个小矩形的面积加起来，便得到整个曲边梯形面积的近似值，即取极限分割越细，近似值越精确，当各小区间的长度最大者趋向于0时，上述和式的极限便是曲边梯形面积的精确值，即（2）变速直线运动的路程设某物体沿直线作变速运动，其速度是时间的函数，则从时间到这段时间内

7、此物体所走过的路程是（3）非均匀生产的总产量设某一生产过程的总产量对时间的变化率（即边际产量）为，则从时刻起到时刻的总产量是上述三例的实际意义完全不同，但解决问题的方法和数量关系是一个模式，即任意分割；以直代曲或以常量代变量求局部的近似值（微元）；作讨论范围内近似值的和；求最大分割小区间长度趋于零的极限大量的这类问题就是定积分概念的实际背景，这种思想方法抽象出来，称之为定积分2定积分的定义定义 设函数在区间上有定义，用分点=<<<<<= 将分为个小区间，记第个小区间的长度为，任取，作乘积的和式，若极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，读作“从到的积分

8、”，即其中称“”为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限注意： (1) 定积分是一个确定的常数，它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关即(2) 定积分的定义中假设了，我们补充规定：当时，；当时，(3)当函数在上连续时，必定存在（也称可积）定积分的性质性质1 被积函数的非零常数因子可以提到积分号外面即性质2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和即这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情况性质3（定积分可加性） 对任意的点，有性质4 如果在区间上，恒有，则性质（积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在内至少存在一点，使

9、得5.2.2 微积分基本公式定理 若函数在区间上连续，是的一个原函数，则这个公式称为微积分基本公式，也称为牛顿莱布尼茨公式为书写方便，通常以表示，上式常写作定积分的值等于被积函数的任一个原函数在积分上限与积分下限的函数值之差例1 计算下列定积分：（1）； （2）； （3）例某城市当消费者个人收入为时，消费支出的变化率为，当个人收入由1600元增加到2500元时，消费支出增加了多少？例3 已知，求的值例4 计算5.2.3 定积分的积分方法1定积分的换元积分法设函数在区间上连续，令，如果（1）是单调；（2）上连续；（3）当时，当时，则有此式称为定积分的换元公式（证明从略）容易看出，从右至左应用该公

10、式，类似于不定积分的第一换元法（凑微分法），而从左至右应用该公式，类似于不定积分的第二换元法例计算例计算例3 计算下列定积分：（1）； （2）2定积分的分部积分法设和在区间上有连续的导函数，则有例计算定积分例计算5.2.4 反常积分定积分的积分区间是有限区间（积分上、下限都是有限数），若将积分区间由有限区间推广到无限区间，或上，这就是无限区间上的反常积分定义 设函数的在区间上连续，任取，若极限存在，则此极限值称为函数在无限区间上的反常积分，记作此时也称反常积分收敛若上述极限不存在，则称反常积分发散类似地，可定义其它形式的无限区间上的反常积分如下：其中c为任一常数例1 计算下列反常积分：（1）；

11、 （2）例2 判断反常积分是收敛还是发散5.3积分应用5.3.1 微分方程1微分方程的概念定义 凡含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称为微分方程的阶如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解；如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，那么这样的解称为微分方程的通解；在通解中若使任意常数取某一定值，或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的解称为微分方程的特解确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件2可分离变量的微分方程形如的方程，可变形为，称为可分离变量的微分方程如果都可求得，即可求

12、得微分方程的解因此，可分离变量微分方程的求解步骤为：（1）分离变量；（2）两边积分；（3）求出积分得通解，其中分别是的原函数；（4）若方程给出初始条件，则根据初始条件确定常数，求出方程满足初始条件的特解例2 解微分方程例3 解微分方程例4 解微分方程满足初始条件的特解例5 解微分方程满足初始条件的特解3一阶线性微分方程方程 称为一阶线性微分方程，其中和都是的连续函数当时，方程称为一阶齐次线性微分方程；当时，方程称为一阶非齐次线性微分方程下面我们讨论一阶非齐次线性微分方程的解法设的一个原函数为，则，如果设，则有,即 所以 从而 即 这就是一阶非齐次线性微分方程的通解当时，公式变为，它是一阶齐次线

13、性微分方程的通解例6 解微分方程例7 解微分方程例8 解微分方程例9 求微分方程满足初始条件的特解5.3.2 定积分的几何应用1定积分的思想定积分的分割、近似、求和、取极限四步可简化为：（1）求微元 选取积分变量，确定它的变化区间；在区间上任取一微小区间，并求出这个小区间上所对应的“待求量”A的部分量的近似值，称为A的微元，记为；（2）求积分 对微元在上积分（即所有的微元无限累加），即得待求量，然后求值这种先求整体量的微元，再用定积分求整体量的方法称为定积分的微元法一般地，已知函数在区间上的变化率（即导数），求函数在区间上的累积变化，可用微元法计算2平面图形的面积在平面直角坐标系下，求由与上下

14、两条曲线在区间上所围成的平面图形的面积在轴上、之间任取一点，过点做轴的垂线，过垂线与上曲线的交点和下曲线的交点作轴的平行线，最后截得宽为的一个小矩形（如图6-4阴影部分），我们所要的面积微元就是这个小矩形的面积，即，于是其中，若即下曲线退化成轴，则所求面积，此即定积分的几何意义：曲边梯形的面积例1 求由与及所围成的平面图形的面积例2 求由与围成的平面图形的面积例3 求由与所围成的平面图形的面积3旋转体的体积设一平面图形以，以及为边界，求该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积其实这是一个求X型平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积问题我们仍然用“微元法”的思想来解决这一问题如图6-9所示，在a, b上任取

15、一点，再任给一个自变量的增量，得到一个细长条，该细长条我们可以把它看成矩形，其宽为，高为f(x)，那么这个小“矩形”绕轴旋转一周的旋转体就是一个圆柱体，不过，这个圆柱体非常的薄，其厚度就是，于是我们要求的体积微元就是这个小圆柱体的体积：再把这些微小的圆柱体体积累加起来，也就是积分，所以所求的体积为这样旋转出来的旋转体如图6-10所示例4求由曲线和所围的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积对于Y型平面图形，同样可以得出旋转体体积公式，如图6-12所示的图形绕轴旋转一周的旋转体体积为如例4中，由曲线和所围的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积是例5一圆半径为a，该圆圆心到一直线的距离为b (b>a)

16、，求这个圆绕已知直线旋转一周的旋转体体积5.3.3 积分在经济分析中的应用当已知边际函数或变化率，求总量函数或总量函数在某个范围内的总量（增量）时，经常应用定积分进行计算1由变化率（边际函数）求总量已知边际函数，则由不定积分可得原经济函数其中积分常数由具体条件确定也可由牛顿-莱布尼茨公式求得经济函数（1）已知价格为时的边际需求及最大需求量（即），则总需求函数（2）已知产量为时的边际成本及固定成本，则总成本函数这里是固定成本，积分是可变成本（3）已知产销量为时的边际收入，则总收入函数（4）已知产销量为时的边际利润及固定成本，由于，则利润函数其中积分是在不计固定成本意义下的利润函数，有时称为毛利润

17、例1 设边际成本函数为，固定成本是2000，试确定总成本函数例2 设生产某产品的固定成本为1万元，边际成本和边际收入分别为（万元/百台），（万元/百台）求利润最大时的总收入、总成本和总利润例3 某企业投资2000万元建成，开工生产后，在时刻的追加成本和追加收益分别为（百万元/年），（百万元/年）试确定该企业在何时停止生产可获最大利润？最大利润是多少？2由变化率（边际函数）求改变量已知边际函数，则可用牛顿-莱布尼茨公式求出经济函数从到的变动值（增量）如，设生产某产品的产量是时间的函数（即非均匀生产），若已知产量对时间的变化率（即生产率），则时间从到内的总产量是例4 设某产品的生产是连续进行的，总

18、产量是时间的函数，如果总产量在时刻的变化率为（公斤/小时），求从到这两个小时的总产量例5 设某企业生产某产品时的总成本为万元，已知边际成本为（万元/吨）求产量由10吨增加到50吨时总成本的增量3消费者盈余消费者盈余是经济学中的重要概念，是消费者对某种商品所愿意付出的代价超过他实际付出的代价的余额，即消费者盈余愿意付出的金额实际付出的金额需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量或供给量在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用和表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E设需求函数的反函数为，其中为商品的单价，表示市场上的需求量即假定消

19、费者愿意为某商品所付的价格是由曲线决定的，那么消费者所愿意为单位商品付出的金额可用由直线，和曲线所围成的封闭图形的面积来度量，如图6-14所示而实际上消费者所付出的是市场价格，为单位商品所实际付出的金额为，即矩形面积，如图6-15所示，于是，消费者可节省费用，所节省的费用称为消费者盈余（简记为），即式中，表示消费者愿意支出的金额，表示消费者的实际支出，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者盈余同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以市场价格比低的价格出售他们的产品，但实际按市场价出售，由此他们可得到更多的好处，称为生产者盈余（简记为），如图6-16所示，有例6 某商品的需求函数为，其中是商品

20、的单价，表示市场上的需求量，求时的消费者盈余例7 设需求函数，供给函数为，求消费者盈余和生产者盈余4基尼系数为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨（MOLorenz）提出了著名的劳伦茨曲线横轴OH表示人口（按收入由低到高分组）的累计百分比，纵轴OM表示收入的累计百分比当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角为45°的直线OL；当收入完全不平等时，1%的人口占有100%的收入，劳伦茨曲线为折线OHL实际上，一般国家的收入分配既不是完全平等，也不是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是如图6-17所示的一条凹曲线ODL，显然，劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小决定了该国国民收入分配不平等的程度凹曲线ODL与直线OL所包围的面积A为不平等面积，折线OHL与直线OL所包围的面积A+B（即OHL的面积）为完全不平等面积；不平等面积与完全不平等面积之比，表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，称为基尼系数基尼系数是意大利经济学家基尼于1922年提出的定量测定收入分配差异程度的指标，是衡量一个国家贫富差距的标准，它的经济含义是：在全部居民收入中用于进行不平均分配的