第06章弯曲变形题解资料.doc

1、第6章弯曲变形习题解答xABClq(a)a6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度梁的抗弯刚度EI为已知(a)解:(1)弯矩方程 0xl+aM(x)=qlx-qx2/2+q<x-l>2/2-ql2/2(2)积分EIq(x)= qlx2/2-qx3/6+q<x-l>3/6-ql2x/2+CEI(x)= qlx3/6-qx4/24+q<x-l>4/24-ql2x2/4+Cx+D(3)定常数x = 0 q = 0 C = 0x = 0 = 0 D = 0max=B =()(b)l/3ABCxl(b)Mob解:(1)支反力 FA = Mo/l (), F

2、C =-Mo/l ()(2)弯矩方程 0x 4l/3M (x)= Mox /l-Mo <x-l>/l(3)积分EIq(x)= Mox2 /2l- Mo <x-l>2/2l+CEI(x)= Mox3 /6l- Mo <x-l>3/6l+Cx+D(4)定常数x = 0 = 0 D = 0x = l= 0 C =-Mol/6max=B =()6-2 写出下列各梁的边界条件,并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状解:xBAk(a)C2l2lMoaAxaEAaaCBF(b)BCABCAx = 0 = 0 x = a = 0 x = l= k = Mo/lk x

3、= 3a= l= Fa /2EAxABCDaaaMob。MobaaaABCDFFx(d)(c)BCAD弧圆直线BCADaaaABCDx(e)MobMob弧圆直线BCADx = 0 q = 0 x = 0 = 0 x = 0 =0 x = 3a= 0 aaaqxABCD(f)BCADx = 0 = 0 x = 0 = 0 , q = 0x =2a =0 x = 2a= 0 6-3 用叠加法求下列各梁C截面的挠度和B截面的转角梁的抗弯刚度EI为已知xABCa2aq(a)aaaABCDxFaF(b)ABCDxFa(1)xABCq(1)ABCDxF(2)xABCq(2)(a)解:查表得(),()叠加:

4、( ),()(b)解:查表得() ,()l/4FABCx(c)l/4l/4l/4Fqa2qaaaABCDx(d)叠加:( ), ()qABCDx(1)FABCx(1)qa2ABCDx(2)ABCx(2)F(c)解:查表得()叠加:( ), ()(d)解:查表得( ),( ), (),()叠加:( ), ()aBA(a)aEI2EICq6-4 用分段刚化法求下列各梁C截面的挠度和B截面的转角梁的抗弯刚度为已知(a) 解:(1)分别刚化AB和BC段梁,图(a)梁变形为图(1)和图(2)梁变形的代数和(2)查表得B(1)aEICq,aBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(3) 叠加:( )

5、()(b)解:(1)图(b)梁变形后,C处转角为零,所以该梁的变形计算可转化为图(1)梁的变形计算分别刚化图(1)梁的CD和BD段,如图(2)(3)所示,则图(2)和图(3)梁在B截面的挠度和转角之和分别与图(b)梁C截面的挠度和B截面的转角数值相等(挠度方向相反)F(b)aBAaEI2EIaaEIC(1)DEIF/2aBaBa2EICF/2EIM=Fa/2aBa2EICF/2EID(2)(3)D(2)查表得, (3) 叠加:( )() =aBA(c)aEI2EICqaBA(3)aEI2EICqB(1)aEICqaBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(c)解:(1)分别刚化AB和BC

6、段梁,图(c)梁变形为图(1),图(2)和图(3)梁变形的代数和由题6-4(a)可得,(2)查表得,(3) 叠加:( )()F(d)aBAaEI2EIaaEICF(1)aBa2EICFEIaBa2EICFEID(2)D(d)解:(1)与题6-4(c)类似,该梁变形计算可转化为图(1)和图(2)梁变形的叠加即梁12在B截面的挠度和转角代数和分别与原梁C截面的挠度和B截面的转角数值相等(挠度方向相反)(2) 由题6-4(b)可得( ), ()(3) 查表得( ),()(4) 叠加:( ),()6-5 用力矩面积法求题6-4中各梁C截面挠度和B截面的转角(a)aBA(a)aEI2EICqABC1.5

7、qa2。C10.5qa2C20.75a1.5a5a/3C3。解:(1) 作弯矩图分三块查表6-1计算M图面积i及其形心Ci对B截面的坐标差 1 = -qa3/6 xC - xC1 = 0.75a 2 = -0.5qa3xC - xC2 = 1.5a 3 = -0.5qa3xC - xC3 = 5a/3(2) 计算BC由于A = 0,A= 0,故( )()(b)F(b)aBAaEI2EIaaEICA3a/25a/32a/3B。C1C2。C3。Fa0.5FaC解:(1) 作弯矩图由于对称只需取一半分三块查表6-1计算M图面积i及其形心Ci对B截面的坐标差 1 = Fa2/4 xC - xC1 =

8、2a/3 2 = Fa2/2 xC - xC2 = 3a/2 3 = Fa2/4 xC - xC3 = 5a/3(2) 计算BC由于C = 0,B= 0,故( )()(c)解:(1) 作弯矩图设ACBC和AB段M图面积分别为,1和2,CoC1分别为和1的形心S,S1,S2分别为1和2对C截面的静矩查表6-1可得aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/4A3a/2。C1Co。2qa2BaBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2CC1Co。=-4q

9、a3/3,1=-qa3/6,2=-1= -7qa3/6,xC - xco =3a/2,xC xC1 =3a/4, S1=1(xC xC1)=-qa4/8, S= (xC xC o)=-2qa4(2)由于A= 0,A= 0,故( )()(d)F(d)aBAaEI2EIaaEICF解:(1) 作弯矩图设DBCD段M图面积分别为1和2,C1, C2分别为1和2的形心查表6-1可得1= Fa2/2, 2=Fa2 , xB xC1 =2a/3, xC xC2=3a/2 (2)梁变形后,C= 0,B= 0,FaA3a/22a/3BCD。C1C2D( )()6-6折杆CAB在A处有一轴承,允许AC段绕自身的

10、轴线自由转动,但A处不能上zlaxyCABFbhd下移动已知F=60N,b=5mm,h=10mm,d=20mm,l=500mm,a=300mm,E=210GPa,G =0.4E,试求B处的垂直位移解:(1)AB段弯曲变形在B处产生的垂直位移为mm(2) CA段扭转变形在B处产生的垂直位移为mm所以B =B 1 +B2 = 6.17+2.05 = 8.22 mm6-7图示简支梁由两根槽钢组成,已知l=4m,F= 20kN,E=210GPa,许用挠度=l/400,试按刚度条件选择槽钢的型号CFBA2l2l解: I cm4 查型钢表,选16a槽钢可满足刚度要求6-8 图示实心圆截面轴,两端用轴承支撑

11、,已知F=20kN,a=400mm,b=200mm轴承许用转角= 0.05rad, = 60MPa,材料弹性模量E=200GPa,试确定轴的直径d解:(1)强度计算 kNm d1mmbaFABC(2) 刚度计算查表得d2 mm欲满足强度和刚度要求,应取d=d1=76.8mm,考虑加工方便,取d =77mmFlaABC6-9 直径为d的实心圆形截面直杆放置在水平刚性平面上,单位长度重量为q,长度为l,弹性模量为E,受力F=ql/4后,未提起部分仍保持与平面密合试求提起部分的长度a和提起的高度A 解:(1)依题意,C处曲率为零,所以C截面弯矩为零,即MC = Fa qa2/2 =0, a =2F/

12、q = l/2aCqAF(2) AC段变形可简化为图示的悬臂梁,由叠加法可得()6-10简支梁受移动载荷F作用,弯曲刚度为EI若要求载荷移动时的轨迹是一条水平直线,试问应先把梁弯成什么形状(用=f(x)表示)?解:当集中力F作用在微弯的曲梁x处时,该处的挠度仍可按直梁计算,查表可得l/2ABFl/2ABFlxx若要求F移动的轨迹是一条水平直线,则应使曲梁x截面形心到水平轴线距离等于x,即曲梁轴线方程为6-11 图示静不定梁AB受集中力F作用已知许用应力,抗弯截面系数为W(1)试求许可载荷F;(2) 为提高梁的承载能力,可将支座B向上移动,使梁内产生预应力试求的最合理的许可值,及相应的许可载荷F

13、解:(1)求支反力选B处支座为多余约束,相当系统如图(a)所示变形条件为B = 0 , 由叠加原理FBBAF(a)CB= FB +F =解得5Fl/32(b)3Fl/16(2)强度计算由弯矩图(b)得Mmax =MA =3Fl/16,F (3) 设支座B向上移动后,其支反力增量为FB,则()此时,A处弯矩减小,C处弯矩增大,当AC两处弯矩绝对值相等时,梁内弯矩最小,则, FMoC(a)aaABFBBACMoMA(1)FA(2)9Mo/16Mo/8C6-12 试求图示各静不定梁的支反力,并作弯矩图弯曲刚度EI为已知（a） 解:(1)选B处支座为多余约束,相当系统如图(1)所示变形条件为B = 0

14、(2) 变形计算由叠加原理B= FB +Mo =解得FB = 9Mo/16a ()FA = 9Mo/16a () MA = Mo/8(3)作弯矩图如图(2)所示(b)a2aFBCA(b)FCBACFFAMA(1)(2)Fa/2Fa解:(1)选C处支座为多余约束,相当系统如图(1)所示变形条件为C = 0(2) 变形计算由叠加原理查表得C= FC +F =解得FC = 7F/4 ()FA = 3F/4 (), MA = Fa/2(3)作弯矩图如图(2)所示(c)qCBA2l2l(c)(1)qCBAFC(2)ql2/329ql2/512解:(1)选C处支座为多余约束,相当系统如图(1)所示变形条件

15、为C = 0(2) 变形计算由叠加原理查表得C= FC +q =解得FC = 5ql/8 ()FA = FB =3ql/16 ()(3)作弯矩图如图(2)所示(d)aaABCq(d)(3)(1)aACqaBCqFC1FAFBMCMBMAMAqa2/8+(2)qa2/12qa2/24(4)解:(1)由对称性可知,C处转角为零,可视为固定端,因此,原结构受力和变形等价于图(1)中两梁之和由对称性可得:FA = FB = FC1= qa/2 , FC =2FC1 = qa MA = MB = MC(2) 用力矩面积法求AC梁固定端弯曲力偶解除AC端转动约束后,相当系统为一简支梁,其弯矩图可由图(2)

16、和图(3)叠加而成,因为AC两端相对转角为零,故由力矩面积法可知,图(2)(3)弯矩图面积之和为零,即MAa = (qa2/8)(2a/3), MA = qa2/12AB梁半边弯矩图如图(4)所示6-13 直梁的挠度曲线方程为=qx(3lx2 -2x3- l3)/48EI,求梁内的最大弯矩和最大剪力值并画出梁上的约束和载荷已知梁长为l解:(1) 内力方程由挠曲线近似微分方程和MQq间的微分关系有, ql, ,由QM方程可知x = 0, Q = 3ql/8, M = 0, =0, 0x = l,Q = -5ql/8, M = -ql2/8, = 0, = 0x = 3l/8(Q=0)时,弯矩有极

17、值,M* = 9ql2/128, Mmax=ql2/8Qmax =5ql/8(3) 由于梁的左端挠度为零而转角不为零,可判断是铰支座,右端挠度和转角为零,且有一集中力偶,可判断是固定端,全跨受均布载荷,如图所示6-14图示悬臂梁一端固定在半径为R的光滑刚性圆柱面上若要使梁AB上各处与圆柱面完全吻合,且梁与曲面间无接触压力正确的加载方式是哪一种?试求应施加的载荷值解:依题意,梁变形后,轴线应弯曲为一圆弧,根据曲率公式,各截面弯矩应为常数,因此正确的加载方式是图(c)由FlRBA(a)qlRBA(b)MoRBA(c)l(b)BAEI2EIEIC5 kN/m5 kN/m10 kN/m15 kN2m2 m2 m2 mABCDx100 kN.m15 kN5 kN/m5 m5 m5 m(a)*6-15试用奇异函数法或力矩面积法编制计算机程序,求图示各梁最大的挠度和最大的转角EI为常数l