量子物理157方程

1、2018/1/31一、含时方程1. 自由粒子的方程- i ( Et - px )一维自由粒子平面波函数 ( x, t ) = y 0e上式取 x 的导数和 t 的一阶偏导数得¶ 2 = - p2¶ = - i E ( x, t )¶x 22 ( x, t )¶t自由粒子 (v << c)E = Ekp 2 = 2mEk一维运动自由粒子-¶ = i¶22的含时方程2 m ¶x 2¶t2§15-7-2方程 (了解)经典力学量子力学不考虑物质的波粒二象性物质的波粒二象性经典质点有运动轨道概念微观粒子

2、无运动轨道概念是否存在一个力学方程量子力学方程根据初始条件可求出经典质点的根据某种条件可求出微观粒子的运动状态运动状态波函数12018/1/32¶ 2¶ 2¶ 2引入斯算符 Ñ 2 =+¶x 2¶y 2¶z 2一般的方程-2 Ñ+y =¶2U ( x, y, z, t )i2m¶t或称含时方程42. 在势场中粒子的方程如果粒子不是自由的而是在势场中运动，波函数所适合的方程可用类似方法建立起来。p2E = Ek + Ep = 2m + U ( x, t )在势场中一维运动粒-¶ +(,

3、)y =¶22子的含时方程2 m ¶x 2Ux ti¶t如果粒子在三中运动，则上式推广为2 æ ¶ 2¶ 2¶ 2 ö¶-ç+÷ + U ( x , y , z , t )y = i2 m è ¶x 2¶y 2¶z 2 ø¶t32018/1/33所谓“定态”，就是波函数具有形式所描述的状态。它的重要特点是：其概率密度与时间无关定态波函数中的称为振幅函数（有时直称为波函数）。的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件

4、； 归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。6二、定态方程当势能U不显含时间而只是坐标的函数时，而与时间无关， 于是可以把波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即i px - i Et ( x, t ) = y ( x)j (t ) = y 0ee在势场中一维运动粒子的定态方程¶ 2y + 2m¶x 22 ( E - U )y ( x ) = 0在三维势场中运动粒子的定态方程定态方程Ñ 2y + 2m ( E - U )y = 0252018/1/3三、力学量的算符表示算符是表示对某一函

5、数进行某种数算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。四、本征函数、本征值和平均值劈形算符数算符号斯算符若和即则作用在某函数 上的效果与某一常量的乘积相当，称为称为的 本征值 的 本征函数所描述的状态称征态力学量的可能值是它的本征值 力学量的平均值由下述求出74五、概率守恒和概率流密度矢量定域是指粒子出现在一定的空间区域。那么在定域内粒子出现的概率将如何随时间变化呢？ 设粒子的波函数为 y (r , t )，则在t 时刻、r 附近的体积内，粒子出现的概率为：r (r , t ) = y (r , t ) 2 = y *(r , t )y (r , t

6、)概率密度随时间的变化为¶r =y *¶y (r ,t)¶y *(r ,t)y¶t(r ,t)¶t+¶t(r ,t)¶y (r , t ) = iÑ2y (r , t ) + 1 V (r )y (r , t )¶t2mi8力学 量算符 统称举例 位矢算符动量算符动能算符哈密顿算符 含动、势能2018/1/35令 j (r , t ) = - i(y *Ñy -yÑy * )2m或者令 j (r , t ) =1 (y * p y -yp y * ) 2m故 ¶r +

7、9; × j = 0 定域的概率守恒¶t方程的微分形式将其对空间任意一积V，得òòò ¶r dV + òòò (Ñ × j )dV = 0V¶tV¶ òòò rdV + òò j × dS = 0¶t VS10¶y*(r,t) = - i Ñ2y*1*¶t2m(r,t) - i V(r)y (r,t)而V*(r) =V(r) ¶r = i(y *Ñ

8、 2y - yÑ 2y * )¶t2m又 Ñ×(y*Ñy) = Ñy* ×Ñy +y*Ñ2yÑ×(y Ñy *) = Ñy ×Ñy * +y Ñ2y *所以 ¶r = iÑ × (y *Ñy -yÑy * )¶t2m92018/1/36练习.意波的波函数与经典波的本质区别是什么？经典波：实在的物理量（位移、场强 .）随时间、空间按波动规律变化。意波：概率波。其波函数（概率幅）不表示实在物理量的波 动，没有直接的物理意义。波函数的强度表示粒子在 空间的概率密度分布。练习. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将1）增大D2 倍，2）增大2D倍，3）增大D倍，4）不变。：D12¶ òòò rdV = -òò j × dSr ®µ 时 òò j × dS = 0¶t VSS概率流密度¶ òòò r dV = 0定域的概率守恒¶t方程的形式( t