第十九章空间向量与立体几何

1、第十九章 空间向量与立体几何191 空间直角坐标系题型一：坐标轴及坐标平面内点的特点例1 有下列叙述：在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为（0，0）；在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为；在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为；在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为。其中正确叙述的个数是（ ）A1B2C3D4题型二：在空间坐标系中作点的方法例2 在空间直角坐标系中，作出点A（2，2，-1），B（-3，2，-4），并判断直线AB与坐标平面的关系。题型三：建立直角坐标系的方法例3 已知棱长为2的正方体，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点

2、的坐标。题型四：在空间坐标系中求点的坐标的方法例4 如图，长方体中，为棱的中点，分别以AB、AD、所在的直线分别为、轴，建立空间直角坐标系。（1）求点A、B、C、D、的坐标；（2）求点N的坐标。题型五：中点坐标公式例5 如图，在正方体中，E、F分别是、的中点，棱长为1。求E、F点的坐标。题型六：两点间距离公式例6 已知的三个顶点A（1，5，2），B（2，3，4），C（3，1，5）。（1）求中最短边的边长；（2）求AC边上中线的长度。题型七：两点间距离公式的应用例7 在正四棱柱中，点E在AD上且，点F是的中点，求线段EF的长度。例8 正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面A

3、BEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=。（1）求MN的长；（2）求为何值时，MN的长最短。19.2空间向量空间向量及其加减运算题型一：空间向量的基本概念例1 如图所示，在以AB=3，AD=2，=1的长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，（1）单位向量共有多少个？（2）试写出模为的所有向量；（3）试写出与向量相等的所有向量；（4）试写出与向量相反的向量。题型二：平面向量的运算方法例2 如图所示，P为平行四边形ABCD外的一点，O为平行四边形ABCD对角线的交点。求证：。例3 如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并标化简结果的向量：（1）；（2）；（3）。题型三

4、：向量的分解例4 如图，在平行六面体中，M、N、P分别是、BC、的中点，试用、表示：（1）；（2）；（3）；（4）。题型四：向量在立体几何中的应用例5 证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三倍。空间向量的数乘运算题型一：共线向量例1 已知向量，且，都是不共线的向量。求证：。题型二：向量的数乘表示例2 已知如图，PA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，G为的重心，试用向量，表示向量、。题型三：向量共面的条件例3 已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，分别在下列条件下确定，点P是否与A、B、M共面：（1）；（2）。例4 已知A、

5、B、C、D是空间四点，P是空间任一点，试证明：A、B、C、D四点共面的充要条件是：存在实数、，使，其中+=1。题型四：线线平行的证明例5 如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，。求证：四边形EFGH是梯形。题型五：线面平行的证明例6 如图，已知平面，AB、CD是夹在、间的两条异面直线，若M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN。题型六：面面平行的证明例7 已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，如图所示，点E、F、G、H分别为、的重心，求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）平面EFGH平面A

6、BCD。题型七：三点共线证明例8 如图，已知长方体中，M为的中点，N在AC上，且ANNC=21，E为BM的中点，求证：、E、N三点共线。空间向量的数量积运算题型一：对数量积的理解例1 下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给予说明。（1），则或；（2）；（3）。题型二：向量数量积求法例2 设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是，且，那么_.例3 如图19.2-21,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积.(1);(2);(3);(4).题型三:求线段的长度例4 已知 ABCD中,AD=4,CD=3,PA平面ABCD,且

7、PA=6,求PC的长.题型四:求异面直线所成角例5 如图19.2-22,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°，OAB=，求OA与BC夹角的余弦值。例6 如图19.2-23,四边形ABCD为矩形,PA底面ABCD,BC=1,PA=2,求直线AC与PB所成的角余弦值.题型五:有数量积证明线线的垂直例7 在正方体ABCD-中,如图19.2-24,求证:题型六：用数量积证明线面的垂直例8 如图，在正方体中，P是的中点，O是底面ABCD的中心。求证：平面PAC。题型七：直线与平面所成的角求法例9 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D、

8、E分别是和的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，求与平面ABD所成角的大小。题型八：二面角的求法例10 如图，在四面体P-ABC中，PC面ABC，AB=BC=CA=PC，那么二面角B-AP-C的余弦值为（ ）ABCD例11 如图，在正四面体ABCD中，AD=1（1）求AD与平面BCD所成角的余弦值；（2）求相邻两个面所成二面角的余弦值。空间向量的正交分解及空间向量运算的坐标表示题型一：对空间坐标系的理解例1 （1）如图表示空间直角坐标系的直观图中，正确的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个（2）关于平面对称的点，则=（ ）A（-1，-1，-6）B（-1，-1，6）C（1，1，6）D（2，

9、0，0）题型二：空间坐标运算例2 已知求：（1）题型三：对空间向量基底的理解例3 构成空间的一个基底，若存在实数、，使得，则题型四：空间坐标系的建立方法例4 已知是棱长为2的正方体，、分别为和的中点，G为正方形的中心，建立如图19.2-32所示的空间直角坐标系,试写出图中各点的坐标及向量、的坐标.题型五:空间向量的坐标运算例5 设向量,.计算:(1);(2);(3);并确定、满足什么关系时,使与轴垂直.题型六:空间向量的平行与垂直条件例6 (1)已知,则与平行的向量是_(2)已知向量,若向量与垂直,则=_.题型七:共面的坐标运算例7 已知点在平面ABC内,求.题型八:异面直线所成角求法例八 已

10、知空间三点A(1,2,3)、B(2,-1,5)、C(3,2,-5).(1)求AB、AC的长;(2)求.题型九:异面直线间距离求法例9 已知正方体的棱长为1,M是棱的中点,是对角线的中点,求异面直线与的距离.题型十:点到直线的距离求法例10 长方体中,AB=4,AD=6,=4,M是的中点,P在线段BC上,且,Q是的中点,求:(1)异面直线AM与PQ所成的角.(2)M到直线PQ的距离.题型十一:点到平面的距离求法例11 如图19.2-36,在直中棱柱中,底面是梯形,且，是棱的中点。（1）求证：CDAD；（2）求点到平面的距离；题型十二：直线与平面所成角求法例12 如图19.2-37,在棱长为4的正

11、方体中,是正方形的中心,点P在棱=ACP.求直线AP与平面所成的三角函数值.题型十三:二面角的平面求法例13 如图19.2-40,以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系,其中,E为VC的中点,正四棱锥底边长为,高为.(1)求;(2)设面BCV为,面DCV为,若是二面角的平面角,求的值.利用空间向量证明平行,垂直问题题型一:法向量的求法例1 求所在平面的单位法向量,其中A(-1,-1,0)、B(1,1,1)、C(3,4,3).题型二:平行的判定方法例2 根据下列各条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系:(1)直线、的方向向量分别是;(2)平面、的法向量

12、分别是;(3)直线的方向向量、平面的法向量分别是;(4)直线直线的方向向量、平面的法向量分别是.题型三:向量平行的条件例3 已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,2),求满足DBAC,DCAB的点D的坐标.题型四:线面平行的证明方法例4 如图19.3-5,已知四边形ABCD、ABEF为两个正方形,M、N分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN平面EBC.题型五:面面平行的证明方法例5 正方体中,求证:平面平面.例6 已知正方体的棱长为2,E、F分别是、的中点，求证：（1）；（2）平面平面。题型六：线线垂直的证明方法例7 在正方体中，M是棱的中点，为正方体ABCD的中心

13、，用坐标证明。题型七：线面垂直的证明方法例8 已知正方体中，E是的中点，F是CD的中点。求证：（1）平面；（2）平面。题型八：面面垂直的证明例9 如图19.3-10所示，在四面体ABCD中，AB平面BCD,BC=CD,BCD=90°,ADB=30°，E、F分别是AC、AD的中点。求证：平面BEF平面ABC。例10 如图19.3-11所示,正方体中,E、F分别是、CD的中点.(1)证明:平面AED平面.(2)在AE上求一点M使.空间角的求法题型一:异面直线所成角的求法例1 如图19.3-14所示,是直三棱柱,点、分别是和的中点,若BC=CA=CC,则所成角的余弦值是( )A.

14、B.C.D.题型二:线面所成角的求法例2 如图19.3-18所示,ABCD是一个正四面体,E、F分别为BC和AD的中点.求:(1)AE与CF所成的角的余弦值;(2)CF与平面BCD所成角的正弦值.例3 在棱长为的正方体中,E、F分别为BC、的中点.(1)求证:四边形是菱形;(2)求直线AD与平面所成的角的余弦值.例4 如图19.3-20,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为.求与侧面所成的角.题型三:二面角的平面求法例5 如图19.3-21,四边形ABCD是直角梯形,ADBC,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SBA所成的二面角的余弦值.例6 如图19.3-22所示,在长方体中,A

15、B=5,AD=8,M为上一点且,点N在线段上,AN.(1)求;(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值;(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的大小.空间距离的求法题型一:两点间距离求法例1 如图19.3-26,已知直线AB与平面所成角为30°,直线AC与平面所成角为60°,AB=6,AC=8,且斜线段AB和AC在平面内的射影互相垂直,求BC.题型二:点到直线的距离求法例2 已知正方体的棱长为1,点E是的中点,求点E到直线BD的距离.题型三:点到平面的距离求法例3 如图19.3-28,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点,N为AC与BD