ch5 线性系统的频域分析与校正

1、本章主要内容本章主要内容5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（Nyquist图）图）5.3 对数频率特性（对数频率特性（Bode图）图）5.4 频域稳定判据频域稳定判据5.5 稳定裕度稳定裕度5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能5.7 闭环频率特性曲线的绘制闭环频率特性曲线的绘制5.8 利用闭环频率特性分析系统的性能利用闭环频率特性分析系统的性能5.9 频率法串联校正频率法串联校正频域分析法特点频域分析法特点 频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称

2、为频率响分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。应法。 特点：特点： 研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律规律 由开环频率特性研究闭环稳定性及性能由开环频率特性研究闭环稳定性及性能 图解分析法图解分析法 有一定的近似性有一定的近似性5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.1.1 频率响应频率响应线性系统在输入线性系统在输入正弦信号正弦信号时，时，其稳态输出随频率变化的规其稳态输出随频率变化的规律，称为该系统的频域响应。律，称为该系统的频域响应。)()()()(npspspssMsG21tXtr sin)(22 sXsR)()()(

3、)()()( jsjsXpspspssMsCn21 jsCjsCpsCpsCpsCaann2211tjatjatpntptpeCeCeCeCeCtcn 2121)(tjatjatseCeCtctc )(lim)(5.1.1 频率响应频率响应 用留数法计算参数用留数法计算参数jjXGjsjsjsXsGCjsa2)()()()( jjXGjsjsjsXsGCjsa2)()()()( )()()( jGjejGjG)(sin)( jGtjGX)()()()( jGjtjjGjtjseeeejjGXtc2tXtr sin)(1、稳态输出是与输、稳态输出是与输入同频率的正弦信入同频率的正弦信号；号；2、

4、输出正弦信号与、输出正弦信号与输入正弦信号的复输入正弦信号的复制幅值之比为制幅值之比为G(jw)的幅值；的幅值；3、相位差为、相位差为G(jw)相角。相角。5.1.2 频率特性频率特性频率特性频率特性 G(jw) 的定义的定义)( jG定义一：定义一：)( jG定义二：定义二：)()()( jGjGjG jssGjG )()()()( jeA)()( jGA)()( jG系统的幅频特性系统的幅频特性系统的相频特性系统的相频特性在正弦信号作用下，零初始条件下系统稳定正弦响应与在正弦信号作用下，零初始条件下系统稳定正弦响应与输入正弦信号的复数比，用输入正弦信号的复数比，用G(jw)表示。表示。)(

5、)( jQP)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()( 22QPA)()(arctan)( PQ)()()( jRjCjG例例5.5.1 1 RC 电路如图所示，电路如图所示，ur(t)=Asin t, 求求uc(t)=?TsTTsCRssUsUsGCRTrc111111)()()(5.1.2 频率特性频率特性222211111 TTjTjTsGjGjs)()(2211 TA)(T arctan)(系统的幅频特性系统的幅频特性系统的相频特性系统的相频特性5.1.3 频率特性的图形表示频率特性的图形表示方法方法常用频率特性曲线及其坐标常用频率特性曲线及其坐标序号序号名名 称称图

6、形常用名图形常用名坐坐 标标 系系1幅频特性曲线幅频特性曲线相频特性曲线相频特性曲线频率特性图频率特性图直角坐标直角坐标2幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线极坐标图极坐标图(奈奎斯特奈奎斯特图图)极坐标极坐标3对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线对数相频特性曲线对数相频特性曲线对数坐标图对数坐标图(伯德图伯德图)半对数坐标半对数坐标4对数幅相频率特性对数幅相频率特性曲线曲线对数幅相图对数幅相图(尼柯尔尼柯尔斯图斯图)对数幅相坐对数幅相坐标标 jssjG 1T1)(以以为例。为例。幅频幅频相频相频)( jG. 频率特性频率特性. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) ). 对数频率对数频率特性特性(

7、 (Bode) ). 对数幅相对数幅相特性特性( (Nichols) )对数幅频对数幅频对数相频对数相频)( jG )(lg20)( jGL )()( jG 5.1.3 频率特性的图形表示频率特性的图形表示方法方法系统模型间的关系系统模型间的关系5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）幅相频率特性曲线又称奈奎斯特幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线，在复平面上以极坐曲线，在复平面上以极坐标的形式表示。设系统的频率特性为标的形式表示。设系统的频率特性为 )()()( jeAjG)( A)( G向量的长度为向量的长度为，相角为，相角为0 )( jG当当变化时，向量变化

8、时，向量的端点在复平面的端点在复平面上描绘出来的轨迹就上描绘出来的轨迹就是幅相频率特性曲线。是幅相频率特性曲线。 作为参变量标在曲线相应点的旁边，并用箭头表示作为参变量标在曲线相应点的旁边，并用箭头表示增大时特性曲线的走向。增大时特性曲线的走向。通常把通常把 KsG )(5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相频率特性典型环节的幅相频率特性 比例环节比例环节 微分环节微分环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节KjG )( KG 0GssG )( jjG )( G 90GssG1)( jjG1)( 1 G 90G1T1)( ssGT11)( jjG 22T11 GTarctan G5.2 幅相频

9、率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相频率特性典型环节的幅相频率特性XXYX 2221证明：惯性环节证明：惯性环节 的幅相特性为半圆的幅相特性为半圆T11)( jjG TjjG 11)(2TTj211 jYX 2211TX 2TTY21 TX XYT 211)(XY022 YXX2222121YX（下半圆）（下半圆）XYT 5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）幅相特性幅相特性)( jG1TsKsG)(例例3 3 系统的幅相曲线如图所试，求系统的传递函数。系统的幅相曲线如图所试，求系统的传递函数。由曲线形状有由曲线形状有由起点：由起点

10、：010010KTjKjG)(由由 0 0：301000-TT arctan)(jKjG33300/T tan 33/T 10 K5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图） 一阶复合微分一阶复合微分1TssG)(TjjG 1)(221TG T arctan180不稳定惯性环节不稳定惯性环节11TssG)(TjjG 11)(2211TG TTG arctanarctan1801-T arctan G5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图） 振荡环节振荡环节2222211nnG 22-12arctannnG 5.2.1 5.2.1 典型环节的幅相频率特性典型环节的幅相

11、频率特性2222)(nnnsssG 12)(12 nnss nnjjG 211)(22 01)0( jG 1800)( jG5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）9021 )(njGn 谐振频率谐振频率 r 和谐振峰值和谐振峰值Mr 2222211nnG 0 Gdd 0212222 nndd 0)2(22 )(212222 nnnn 02142222 nn22221 n221 nr2121)( rrjGM例例4:4:当当 ，时，时1, 3 . 0 n 9055. 03 . 02112 r 832. 13 . 013 . 0212 rM5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyqu

12、ist图）图）幅相特性幅相特性)( jG2222nnnssKsG )(例例5.3 5.3 由实验得到某环节的幅相曲线如图所由实验得到某环节的幅相曲线如图所试，试确定环节的传递函数。试，试确定环节的传递函数。由曲线形状有由曲线形状有由起点由起点： 0)0(KjG由由0 0 ： 90)(0 jG50n 31 2 K由由| |G0 0| |： 2223)(00 KGn2225531252sssG)(222221nnKG 22-12arctannnG 25333502ss.5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）不稳定振荡环节不稳定振荡环节2222211nnG 3601)0( jG 1

13、800)( jG2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 22-12arctannnG 12)(1)(2 nnsssG 22-12arctan360nn 5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图） 二阶复合微分二阶复合微分222221nnG 22-12arctannnG 1T2T)(22 sssG 12)(21T nnssn nnjjG 21)(22 22-12arctannnG 22-12arctan360nn 5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）(8) (8) 延时环节延时环节5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）sesG

14、)( )()(1A jejG)(5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图） 如何绘制如何绘制Nyquist曲线？曲线？5.2.2 开环系统的幅相频率特性开环系统的幅相频率特性5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）设开环系统由设开环系统由l个环节串联组成，系统频率特性为个环节串联组成，系统频率特性为 )()()()()()()()()()()()( jjnjjleAeAeAeAjGjGjGjGl212121)()()()( lAAAA21)()()()( l21开环传递函数的幅频特性为各开环传递函数的幅频特性为各个环节幅频特性个环节幅频特性之积之积；开环传递函数的

15、相频特性为各开环传递函数的相频特性为各个环节相频特性个环节相频特性之和之和；5.2.2 开环系统的幅相频开环系统的幅相频率特性率特性概略绘制的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：概略绘制的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素： 0 1 1）开环幅相曲线的起点（）开环幅相曲线的起点（ ）和终点（）和终点（ ）2 2）开环幅相曲线与实轴的交点）开环幅相曲线与实轴的交点3 3）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。 0)(Im gjG 时，时，g 设当设当)( jG的虚部为的虚部为,2,1,0;)()( kkjGgg 开环频率特性曲线与实

16、轴交点的坐标值为开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为 )()(ReggjGjG 0)1T)(1T()(21 sssKsGv例例5.4 )T1)(1()T(T2121 sTssKvv)( jG)0( jG)( jG)T1)(T1(11 jjK 0K 1800I)T1)(T1(11 jjjK 90 2700II)T1)(T1()(112 jjjK 180 3600III)T1)(T1()(113 jjjK 270 4500 0K0 vv 900 v)(900mn 起点起点 终点终点 5.2.2 开环系统的幅相频开环系统的幅相频率特性率特性5.2.2 开环系统的幅相频开环系统的幅相频率特性率特性当系

17、统在当系统在右半右半s s平面不存在零、极点时平面不存在零、极点时，系统开环传递函数，系统开环传递函数一般可写为一般可写为 )()1()1)(1()1()1)(1()(2121mnsTsTsTssssKsGvnvm 时时时时09000)0(vvvKjG)(900)(mnjG 开环幅相曲线的起点开环幅相曲线的起点开环幅相曲线的终点开环幅相曲线的终点5.2 幅相频率特性幅相频率特性（Nyquist图）图）例例5.5 5.5 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为)(.()()(1150212ssssksGk试概略绘出系统开环幅相曲线。试概略绘出系统开环幅相曲线。2v180

18、0)(jGk2700)( jGk解解（2 2）终点）终点 （3 3）与坐标轴的交点）与坐标轴的交点（1 1）起点）起点).().().()(222225052112501 jkjGk502.g kjGRge672. Bode图介绍图介绍5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图Bode图介绍图介绍 幅值相乘幅值相乘 = = 对数相加，便于叠加作图；对数相加，便于叠加作图；纵轴纵轴横轴横轴坐标特点坐标特点特点特点按按 lg 刻度，刻度，dec “十倍频程十倍频程”按按 标定，等距等比标定，等距等比“分贝分贝”dB)(lg20)( jGL )(lg10)(lg分分贝贝贝贝尔尔rcrcPPPP 可

19、在大范围内表示频率特性；可在大范围内表示频率特性； 利用实验数据容易确定利用实验数据容易确定 L( ), ,进而确定进而确定G(s)。5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图KjG )( 5.3.1 典型环节的典型环节的Bode图图 比例环节比例环节 微分环节微分环节 积分环节积分环节 惯性环节惯性环节KLlg20)( 0)( jjG )( lg20)( L 90)( jjG1)( lg20)( L 90)( T11)( jjG 22T1lg20)( L )( Tarctan Tarctan180 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图5.3.1 典型环节的典型环节的Bode图图 惯

20、性环节惯性环节T11)( jjG 22T1lg20)( L )( Tarctan Tarctan180 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图当时当时T1 当时当时T1 dBL01lg20)( )lg(20)(1 L TjjG 11)(T1 T1 45转折频率转折频率T1 惯性环节对数相频特性惯性环节对数相频特性 关于关于1/T, 45, 45 点对称点对称证明：证明：Tarctan)( 设设)T1Tarctan()T1(KK )TTarctan()T(KK KKKK111tantan1tantan)tan( 90 K1arctan Karctan 90)T()T1(KK 5.3 对数频

21、率特性对数频率特性Bode图图 一阶复合微分一阶复合微分22T1lg20)( LTarctan180 Tarctan )( 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图1T)( ssGT1)( jjG 转折频率转折频率T1 振荡环节振荡环节222221lg20)(nnL )( 2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 222360nn -1arctan 22-12arctannn 1 n 0)( L 0)( 3601 n nL lg40)( 180)( 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图转折频率转折频率n 二阶复合微分二阶复合微分222221lg20)(nnL )( 1

22、2)()(2 nnsssG nnjjG 21)(22 22-12arctan360nn 22-12arctannn 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图 延迟环节延迟环节01lg20)( L )(sesG )( jejG )(5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图)()()()()(111111sTsTsssKsGvnvm5.3.2 5.3.2 开环系统的开环系统的BodeBode图的绘制图的绘制GLlg20)( G )( v-n1T1lg20T1lg20lg20jjv v-n1TarctanTarctan90 v mjjK 1lg201lg20lg201 marctanarct

23、an1 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图绘制开环系统绘制开环系统BodeBode图的步骤图的步骤 化化G(j )为尾为尾1标准型标准型 顺序列出转折频率顺序列出转折频率 确定基准线确定基准线 叠加作图叠加作图)1)(12 . 0()15 . 0(100)(2 ssssssG)1)(2 . 0()5 . 0(40)(2 ssssssG例例1 10.2 0.2 惯性环节惯性环节0.5 0.5 一阶复合微分一阶复合微分1 1 振荡环节振荡环节)lg20)1(, 1(KL 基准点基准点decdB20 v 斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/de

24、c二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 + +40dB/dec0.20.2 惯性环节惯性环节 -20-200.50.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20+2011 振荡环节振荡环节 -40-40最小转折频率之左最小转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图 修正修正 检查检查 两惯性环节转折频率很接近时两惯性环节转折频率很接近时 振荡环节振荡环节 (0.38, 0.8) 时时 L( ) 最右端曲线斜率最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec 转折点数转折点数=(=(惯性惯性)+()+(一阶复合微分一阶复合微分)+()+

25、(振荡振荡)+()+(二阶复合微分二阶复合微分) ) -90(n-m)lg20)1(, 1(KL 基准点基准点decdB20 v 斜率斜率0.20.2 惯性环节惯性环节 -20-200.50.5 一阶复合微分一阶复合微分 +20+2011 振荡环节振荡环节 -40-405.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图0.20.50.5)15)(1)(12 . 0()(3 sssssG基点基点 dB01lg20, 1 dB/dec60)3(20 202 . 01 )5)(1)(2 . 0()(3 sssssG例例 ，绘制，绘制BodeBode图。图。 解解 标准型标准型 转折频率转折频率 基准线基准

26、线 作图作图2012 2053 斜率斜率 检查检查 L( ) 最右端斜率最右端斜率=-20(n-m)=0 转折点数转折点数 = 3 最终趋于最终趋于-90-90(n-m)=0 5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图例例3 3 绘制对数频率特性和幅相特性曲线。绘制对数频率特性和幅相特性曲线。dB30032. 0lg20, 1 解解 )254)(1()1 . 0(8)(22 sssssssG 15545)1(11 . 0251 . 08)(22sssssssG1 . 01 12 53 dec/dB20 dec/dB40 dec/dB40 基准线基准线： 点斜率dec/dB20v20- 检查：

27、检查： L(L( ) )最右端斜率 = 20(n-m)=-80dB/decL(L( ) )转折点数 = 3 个 -90o n-m =-360o5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图例例1 1 根据根据Bode图确定系统传递函数。图确定系统传递函数。1216. 3)( ssG1T)( sKsG解解. . 依图有依图有 Bode图与图与Nyquist图图之间的对应关系之间的对应关系：30lg20 K6 .31102030 K5 . 0T 转折频率转折频率T12 截止频率截止频率 c：1)( cjG 2lg20)2lglg(20dB30cc 5 . 120302lg c srad 2 .631

28、025 . 1 c 5.3.3 由由Bode图曲线确定开图曲线确定开环传递函数环传递函数解解)()()(1212221nnssssKsG 5.3.3 由由Bode图曲线确定开图曲线确定开环传递函数环传递函数28100)()(1100210012222ssssK 6.3dBdBMr3620.lg065521012120362. rM250. 例例5.7 已知已知 Bode 图，确定图，确定 G(s)。例例5.7 已知已知 Bode 图，确定图，确定 G(s)。解解)()()(1212221nnssssKsG 0lg2020 Klglg4010 H20 K解法解法解法解法110lg20lg40 c

29、 1210)( c cK 120 ccccKKjG 12111)( 解法解法100 cKc 120)lg(lg201 c证明证明：0lg20lg20 vvKsK vK0 vK10 5.3.3 由由Bode图曲线确定开图曲线确定开环传递函数环传递函数28100)()(1100210012222ssssK 例例5 5 已知已知 L( )，写出，写出G(s)，绘制，绘制 , , G(j )。解解 )1()1()(21 sssKsG102 c210 cK I212211)( cccccKKjG II 叠加作图如右叠加作图如右 900)(90)0()(jGjGjGc 5.3.3 由由Bode图曲线确定开

30、图曲线确定开环传递函数环传递函数例例5.8 开环系统开环系统Bode图如图所示，求图如图所示，求 G(s)。解解 依题有依题有)1()1()(12 sssKsG1)(1212 ccccKjG12 cK 求求K:5.3.4 最小相角系统和非最最小相角系统和非最小相角系统小相角系统 90)0( jG 900)( jG 90)0( jG 900)( jG 90)0( jG 900)( jG 270)0( jG 900)( jG )1()1()(12 sssKsG5.3.4 最小相角系统和非最最小相角系统和非最小相角系统小相角系统非最小相角系统非最小相角系统 在右半在右半s s平面存在开环零点或开环极

31、点的系统平面存在开环零点或开环极点的系统 非最小相角系统未必不稳定非最小相角系统未必不稳定 非最小相角系统未必一定要画非最小相角系统未必一定要画0根轨迹根轨迹非最小相角系统由非最小相角系统由L( )不能惟一确定不能惟一确定G(s) 最小相角系统由最小相角系统由L( )可以惟一确定可以惟一确定G(s) 非最小相角系统相角变化的绝对值一般非最小相角系统相角变化的绝对值一般 比最小相角系统的大比最小相角系统的大5.3.4 最小相角系统和非最最小相角系统和非最小相角系统小相角系统绘制开环系统绘制开环系统BodeBode图的步骤图的步骤 化化G(j )为尾为尾1标准型标准型 顺序列出转折频率顺序列出转折

32、频率 确定基准线确定基准线 叠加作图叠加作图)lg20)1(, 1(KL 基准点基准点decdB20 v 斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/dec二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 +40dB/dec第一转折频率之左第一转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线 修正修正 检查检查 两惯性环节转折频率很接近时两惯性环节转折频率很接近时 振荡环节振荡环节 (0.38, 0.8) 时时 L( ) 最右端曲线斜率最右端曲线斜率=-20(n-m) dB/dec 转折点数转折点数=(=(惯性惯性)+()+(一阶复合微分一阶复合微

33、分)+()+(振荡振荡)+()+(二阶复合微分二阶复合微分) ) -90(n-m)5.3 对数频率特性对数频率特性Bode图图课程回顾课程回顾奈氏图奈氏图Bode图图确定起点的幅值和相位确定起点的幅值和相位确定终点的幅值和相位确定终点的幅值和相位)()(mnjG900确定与实轴的交点确定与实轴的交点 顺序列出转折频率顺序列出转折频率 确定基准线确定基准线 叠加作图叠加作图)lg20)1(, 1(KL 基准点基准点decdB20 v 斜率斜率一阶一阶惯性环节惯性环节 -20dB/dec复合微分复合微分 +20dB/dec二阶二阶振荡环节振荡环节 -40dB/dec复合微分复合微分 + +40dB

34、/dec第一转折频率之左第一转折频率之左的特性及其延长线的特性及其延长线 化化G(jw)为尾为尾1标准型标准型系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题及性能的问题代数稳定判据代数稳定判据 Ruoth判据判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题可研究如何调整系统

35、结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据频域稳定判据 Nyquist 判据判据 对数稳定判据对数稳定判据 5.4 频域稳定判据频域稳定判据解释解释说明说明)()()()(*sNsMKsHsG)1T)(1T()1T()(321 sssKsG5.4.1 5.4.1 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 NPZ2 设设 K1K2K10212 NPZ2)21(212 NPZ不稳定不稳定不稳定不稳定系统结构图如图所示系统结构图如图所示设设)()()()(sHsGsGs1)()(321*pspspsK 5.4 频域稳定判据频域稳定判据)()()(sHsGsF1F(s)的特点的特点构造辅助函数构造辅助函数

36、F(s)()()()(sHsGsGs1)()()()()(321*321pspspssMKpspsps )()()()()()(321321pspspsssssNsD F(s)的的极点极点 pi : : 开环极点开环极点零点零点 i : : 闭环极点闭环极点个数相同个数相同)(1)( jGHjF )()()()()(1*sNsMKsNsNsMK 5.4 频域稳定判据频域稳定判据设设F(s)在右半在右半s平面有平面有)()()()()(321321pspspsssssF R: s 绕奈氏路径一周时，绕奈氏路径一周时，F(j )包围包围F平面平面(0, j0)点的圈数点的圈数P个极点个极点 (开环

37、极点开环极点) )Z个零点个零点 闭环极点闭环极点) ) Z=2P=1s 绕奈氏路径转过一周，绕奈氏路径转过一周，RZPPZjF 2)(2)(2)( N: 开环幅相曲线开环幅相曲线GH(j )包围包围G平面平面(-1, j0)点的圈数点的圈数F(j )绕绕F平面原点转过的角度平面原点转过的角度 F增量增量为为NPRPZ2 2 2 2 000)()()(321*pspspsKjGH 180K 27005.4 频域稳定判据频域稳定判据例例 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有 0)0(KjG K( (稳定稳定) )1T)(1

38、T)(1T()(321 sssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不稳定不稳定) )5.4 频域稳定判据频域稳定判据结论：结论：P=0,奈氏曲线不包围（奈氏曲线不包围（-1，j0)点，则闭环系统稳定；反之则不稳定。点，则闭环系统稳定；反之则不稳定。例例 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有 180)0(KjG K( (不稳定不稳定) )1T)( sKsG 900)( jG11 K0 N10212 NPZ12 K21 N021212 NPZ( (稳定稳

39、定) )01T)( KssD5.4 Nyquist稳定判据稳定判据结论：结论：P0,奈氏曲线逆时针包围（奈氏曲线逆时针包围（-1，j0)点点P圈，则闭环系统稳定；否则不圈，则闭环系统稳定；否则不稳定。稳定。5.4 .2 Nyquist稳定判据的应稳定判据的应用用如果如果开环传递函数开环传递函数)(sG在虚轴上有极点在虚轴上有极点 对奈氏路径略作修改。对奈氏路径略作修改。 使其沿着半径为无穷小使其沿着半径为无穷小0r（ ）的右半圆绕过虚轴上的极点。）的右半圆绕过虚轴上的极点。 0j90 0js取值需要先从取值需要先从 绕半径无限小的圆弧逆时针转绕半径无限小的圆弧逆时针转到到 j然后再沿虚轴到然后

40、再沿虚轴到 。 00jjs)( jG这样需要补充这样需要补充小圆弧所对应的小圆弧所对应的特性曲线。特性曲线。 例例3 3 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有 0)0( jG K( (稳定稳定) )1T)(1T()(21 sssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不稳定不稳定) ) 90)0( jG5.4.2 Nyquist稳定判据的应稳定判据的应用用增补线增补线例例4 4 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性

41、分析系统稳定性。解解 依题有依题有 0)0( jG K( (稳定稳定) )1T)(1T()1()(212 ssssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不稳定不稳定) ) 180)0( jG21TT 5.4.2 Nyquist稳定判据的应稳定判据的应用用5.4.2 Nyquist稳定判据的应稳定判据的应用用设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 njjmiisTssTKsG11)1()1()( jjrresnjjmiireseerKsTssTKsGjrjr 0lim11limlim)1()1()(00 jrres0lim

42、当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有当沿着无穷小半圆逆时针方向移动时，有映射到映射到G平面的曲线可以按下式求得平面的曲线可以按下式求得 00 20 v应用奈氏判据时应用奈氏判据时 逆时针旋转的逆时针旋转的 大圆弧大圆弧增补线增补线2 v注意问题注意问题Z闭环系统不稳定闭环系统不稳定0 0 0 闭环系统稳定闭环系统稳定有误！有误！2. N 的最小单位为二分之一的最小单位为二分之一当当s平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边 绕出半径为无穷小的圆弧；绕出半径为无穷小的圆弧；G平面对应要补充大圆弧平面对应要补充大圆弧3. 5.4.2 Nyquist稳定判

43、据的应稳定判据的应用用)12 . 0)(25(1000)(2 ssssG例例 0)0( jG 3600)( jG)15(1)5(402 sss 90)0( jG 135)5( jG 315)5( jG110 NNN2)1(202 NPZ对数稳定判据附加题对数稳定判据附加题5.4 频域稳定判据频域稳定判据N的确定方法的确定方法2 NNN N是正穿越次数，是正穿越次数， N是负穿越次数。是负穿越次数。 jG0, 1 j正穿越一次 正穿越半次0负穿越半次负穿越一次逆逆时针穿越实轴区间时针穿越实轴区间（ ，-1）为为1次正穿越，次正穿越，顺顺时针穿越实轴区间时针穿越实轴区间（ ，-1）为为1次负穿越，

44、次负穿越，起始于实轴区间起始于实轴区间（ ，-1）上为上为1/2次正穿越，次正穿越，起始于实轴区间起始于实轴区间（ ，-1）上上为为1/2次正穿越，次正穿越，奈氏稳定判据练习题奈氏稳定判据练习题Nyquist图与图与Bode图的对应关系图的对应关系 5.4.35.4.3 对数稳定判据对数稳定判据 jG0, 1 j L 001800c g c g 1801 A 1800 dBL NNN例例 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。NPZ2 K( (稳定稳定) )1T)(1T()(21 sssKsG1K000 NNN00202 NPZ2K110

45、NNN2)1(202 NPZ( (不稳定不稳定) ) NNN对数稳定判据对数稳定判据5.4.3 对数稳定判据对数稳定判据 180)0(KjG例例 已知单位反馈系统开环传递函数已知单位反馈系统开环传递函数, ,分析系统稳定性分析系统稳定性。 K( (不稳定不稳定) )1T)(1T)(1T()(321 sssKsG1K000 NNN10212 NPZ2K21021 NNN021212 NPZ( (稳定稳定) ) 2700)( jG3K21121 NNN2)21(212 NPZ( (不稳定不稳定) )5.4.3 对数稳定判据对数稳定判据5.5.15.5.1 稳定裕度的定义稳定裕度的定义的的几何意义几

46、何意义h, c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界频率相角交界频率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的的物理意义物理意义h, 系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量 h幅值幅值相角相角一般要求一般要求 40 2 h5.5 稳定裕度稳定裕度5.5.25.5.2 稳定裕度的计算稳定裕度的计算)(180cjG 解法解法I：由幅相曲线求：由幅相曲线求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 ccc 1000400104242 ccc 9 .

47、 2 c 试根得试根得)9 . 2(180 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .55905.5 稳定裕度稳定裕度)(1gjGh (2.1)令令 180)(g 10arctan2arctan90gg 90tan2011022ggg 可得可得 9010arctan2arctangg 202 g 47. 4 g )dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 gggg 5.5 稳定裕度稳定裕度)(1gjGh (2.2)将将G(jw)分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式)10)(2(100)( jjjjG 令令0)(Im YGjG )

48、100)(4()20(1001200222 jYXjGG 47. 420 g 得得4167. 0)( gXG 代入实部代入实部4 . 24167. 01 4167. 0)( gG 5.5 稳定裕度稳定裕度)47. 4(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L( ):1)( cjG 16. 310 c 得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode图求图求。h, 210125ccc )(180cjG )16. 3(180 1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 g

49、5.5 稳定裕度稳定裕度稳定裕度的稳定裕度的概念概念 开环频率指标开环频率指标 稳定裕度的稳定裕度的定义定义稳定裕度稳定裕度计算方法计算方法的几何意义的几何意义h, c截止频率截止频率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界频率相角交界频率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的物理意义的物理意义h, 稳定裕度的稳定裕度的意义意义)(180)(ccL )(1180)(ggjGh 课程小结课程小结 5.6.1 L(w)低频渐近线与系统稳态误差的关系低频渐近线与系统稳态误差的关系 5.6.2 L(w)中频段特性与系统动态性能的关系中频段特性与系统动态性能的关系 5.

50、6.2 L(w)高频段对系统性能的影响高频段对系统性能的影响 三频段理论三频段理论5.6 利用开环频率特性分利用开环频率特性分析系统的性能析系统的性能低频段：主要指低频段：主要指第一个转折频率第一个转折频率以左的频段以左的频段中频段：中频段：截止频率截止频率附件的频段附件的频段高频段：频率远大于截止频率的频段高频段：频率远大于截止频率的频段三频段理论三频段理论vsKsG )(01. L(w)低频段低频段 系统稳态误差系统稳态误差ess lg20lg20lg200 vKG 900vG5.6.1 低频段特性与系统低频段特性与系统稳态误差的关系稳态误差的关系1、低频段对数副频特性曲线、低频段对数副频

51、特性曲线延长线延长线交于交于0dB线线vK10 2、根据低频段可以确定系统的型别、根据低频段可以确定系统的型别v和开环增益和开环增益K。v和和K与什么有关？与什么有关？dB/dec20 L( )中频段中频段最小相角系统最小相角系统 L( ) 曲线斜率与曲线斜率与的对应关系的对应关系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 希望希望 L( ) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB线，并保持较宽的频段线，并保持较宽的频段5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系 系统动态性能系统动态性能( , ts)(180cjG 12vK

52、n (1) (1) 二阶系统二阶系统 )2()(2nnsssG 222)2()(nnjG njG 2arctan90)( 1)2()(222 nccncjG 422224nncc 0442224 ncnc nc 24214)(180c 2222)(nnnsss nc 2arctan90 cn 2arctan 5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系nc 24214)(180c nc 2arctan90 cn 2arctan 242142arctan )2()(2nnsssG 21/% e% nst 5 . 3 242145 . 3 cst tan7 221472

53、4 5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系 可以得出这样的结论：可以得出这样的结论： 如果两个典型二阶系统的相角裕度相同，如果两个典型二阶系统的相角裕度相同，那么它们的超调量也相同，截止频率较那么它们的超调量也相同，截止频率较大的系统其调节时间必然较短。大的系统其调节时间必然较短。314820 c tan7 cst例例 已知系统结构图，求已知系统结构图，求 c，并确定，并确定 , , ts。解解. . 绘制绘制L( )曲线曲线2031arctan90180 8 .322 .5790008

54、.3229. 00037 查查 P171 图图5-52 8 .32tan31735. 0 )20(2048)120(48)( sssssG按时域方法：按时域方法：96020960)(1)()(2 sssGsGs 3226. 03122031960 n001003 .352 e35. 0105 . 35 . 3 nst 5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系 (2) (2) 高阶系统高阶系统 %100)1sin1(4 . 016. 0% 21sin15 . 21sin15 . 12 cst)9035( 5.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动

55、态性能的关系用频域法估算高阶系统动态性能用频域法估算高阶系统动态性能c csat 00 图图5-56)( L P1735.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系96248 c 0833. 09688 cst 例例2 2 已知单位反馈系统已知单位反馈系统G(s)，求，求 c, ；确定；确定 , , ts。解解. . 绘制绘制L( )曲线曲线10096arctan2096arctan901096arctan180 001 .520027 查查 P171 图图5-56)1100)(120()110(48)( sssssG102048 c )(180c 1 .528 .4

56、32 .7890841805.6.2 中频段特性与系统中频段特性与系统动态性能的关系动态性能的关系1101 . 0 c 例例3 3 已知最小相角系统已知最小相角系统 L( ) 如图所示，试确定如图所示，试确定 (1) (1) 开环传递函数开环传递函数G(s); ; (2) (2) 由由 确定系统的稳定性；确定系统的稳定性； (3) (3) 将将 L( ) 右移右移10倍频，讨论对系统的影响。倍频，讨论对系统的影响。解解. .(1)201arctan1 . 01arctan90180 (3) 将将 L( ) 右移右移10倍频后有倍频后有)120)(11 . 0(10)( ssssG 8 . 28

57、6. 23 .8490(2)101001 c 20010arctan110arctan90180 )1200)(11(100)( ssssG 8 . 286. 23 .8490L( ) 右移后右移后 c 增大增大 不变不变 不变不变 ts 减小减小0 稳定稳定5.6 利用开环频率特性分利用开环频率特性分析系统的性能析系统的性能L( )高频段高频段 系统抗高频噪声能力系统抗高频噪声能力)(1)()(sGsGs 1)()( sGs1)( sG5.6.3 高频段特性与系统高频段特性与系统抗高频干扰能力的关系抗高频干扰能力的关系中频段中频段三频段理论三频段理论高频段高频段低频段低频段对应性能对应性能希

58、望形状希望形状L( )系统抗高频干扰的能力系统抗高频干扰的能力开环增益开环增益 K系统型别系统型别 v稳态误差稳态误差 ess截止频率截止频率 c相角裕度相角裕度 动态性能动态性能陡，高陡，高缓，宽缓，宽低，陡低，陡频段频段三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，三频段理论并没有提供设计系统的具体步骤，但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向但它给出了调整系统结构改善系统性能的原则和方向00 st5.6 利用开环频率特性分利用开环频率特性分析系统的性能析系统的性能关于三频段理论的说明：关于三频段理论的说明： 各频段分界线没有明确的划分标准；各频段分界线没有明确的划分标准； 与无线电学科中

59、的与无线电学科中的“低低”、“中中”、“高高”频概频概 念不同；念不同； 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec过过0dB线作为判定线作为判定 闭环系统是否稳定的标准；闭环系统是否稳定的标准； 只适用于单位反馈的最小相角系统。只适用于单位反馈的最小相角系统。5.6 利用开环频率特性分利用开环频率特性分析系统的性能析系统的性能5.9.1 5.9.1 串联超前校正串联超前校正 5.9.2 5.9.2 串联迟后校正串联迟后校正 5.9.3 5.9.3 串联迟后超前校正串联迟后超前校正 5.9.4 5.9.4 串联串联PID校正校正 频率法串联校正的设计过程频率法串联校正的设计过程合理确定性能指标

60、合理确定性能指标有重点地照顾各项指标要求；有重点地照顾各项指标要求；不要追求不切实际的高指标。不要追求不切实际的高指标。5.9 5.9 频率法串联校正频率法串联校正5.9.1 串联超前校正串联超前校正111)()()(11221122 sCRRRRsCRsCRRRsUsUsGrcc(1) (1) 超前网络特性超前网络特性1)1()1()1()1(2121121221211211212 sRRCRRsCRRRRRRsCRRsCRRRsCRRsCRR111 TsaTsa1221 RRRa2121RRCRRT 11)( TsaTssGac5.9 5.9 频率法串联校正频率法串联校正aaTTHlg20