相似三角形与圆综合

1、(一） 知识复习巩固圆的基本性质：圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理相似三角形四种判定，及性质(二） 例题精讲：例1、已知：如图,ABC内接于O,BAC的平分线交O于点D,交O的切线BF于点F,B为切点。求证：(1)BD平分CBF;(2)ABBF=AFCD.考点：相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：（1）由于AF是BAC的角平分线，那么1=2，利用弦切角定理可得1=3，利用同弧所对的圆周角相等，可得2=4，那么，可证3=4，即BD平分CBF；（2）由于3=1，F=F，那么可证DBFBAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于

2、1=2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即ABBF=AFCD解答：证明：(1)AD平分BAC，1=2,(2分)BF切O于点B，3=2，3=1,(4分)又2=4，3=4,即BD平分CBF;(6分)(2)在DBF和BAF中，3=1，F=F，DBFBAF,(8分)BDAB=BFAF即ABBF=AFBD(10分)1=2，BD=CD,(11分)ABBF=AFCD.(12分)例2、已知：如图,ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E. 求证：AB2=ADAE.考点：相似三角形的判定与性质， 圆周角定理分析

3、：如图，作辅助线；证明ABEADB，列出比例式，即可解决问题解答：证明：如图，连接BE；AB=AC，B=ACB；AEB=ACB，AEB=B，而BAE=BAD，ABEADB，AB:AD=AE:AB，AB2=ADAE.例3、如图，已知AB是O的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上的任意一点(不与点A. B重合)，连接CO并延长CO交O于点D，连接AD.(1)弦长AB等于_(结果保留根号)；(2)当D=20时，求BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点的三角形相似?请写出解答过程。考点：圆周角定理，垂径定理，相似三

4、角形的判定与性质，解直角三角形分析：（1）过点O作OEAB于E，由垂径定理即可求得AB的长；（2）连接OA，由OA=OB，OA=OD，可得BAO=B，DAO=D，则可求得DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得DOB的度数；（3）由BCO=A+D，可得要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案解答：(1)过点O作OEAB于E，则AE=BE=12AB，OEB=90，OB=2，B=30，BE=OBcosB=2×32=3AB=23；故答案为：23；(2)连接OA，OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=

5、BAO+DAO=B+D，又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100；(3)BCO=A+D，BCO>A，BCO>D，要使DAC与BOC相似，只能DCA=BCO=90，此时BOC=60，BOD=120，DAC=60，DACBOC，BCO=90，即OCAB，AC=12AB=3.当AC的长度为3时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点的三角形相似。例4、如图,在ABC中,ACB=90，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC的三边，交点分别是G，E，F点.EG与CD交点为M.(1)求证：GEF=A；(2)求证：OMEEMC；(3)若M

6、E=46，MD:CO=2:5，求O面积。考点：圆的综合题分析：（1）连接DF，如图所示，由CD为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到CFD为直角，又因为ACB为直角，利用同位角相等的两直线平行，得到DF与AC平行，根据两直线平行同位角相等可得出BDF=A，而BDF与GEF都为弧FG所对的圆周角，利用同弧所对的圆周角相等得到BDF=GEF，等量代换可得证；（2）由D为AB的中点，即CD为直角三角形ABC斜边AB的中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD与AD相等，都为AB的一半，利用等边对等角得到A=DCA，由（1）A=GEF，等量代换得到GEF=DCA，再由一对公共角相等，利用两对

7、对应角相等的两三角形相似可得证；（3）由（2）得出的三角形CEM与三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME2=OMMC，将ME的长代入求出OMMC的值为96，由MD：CO=2：5，根据OD=OC，得出OM与CM的比值为3：8，设OM=3x，CM=8x，代入OMMC=96中列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出半径OC的长，即可求出圆O的面积解答：(1)证明：连接DF，如图所示：CD是圆O直径，CFD=90，又ACB=90，DFAC，BDF=A，BDF与GEF为同弧所对的圆周角，BDF=GEF，GEF=A；(2)证明：D是RtABC斜边AB的中点，DC=DA=12AB，DCA=A，又

8、由(1)知GEF=A，DCA=GEF，又OME=EMC，OMEEMC；(3)由(2)知OMEEMC，则OMME=MEMC,即ME2=OMMC，又ME=46，OMMC=(46)2=96，MD:CO=2:5，OM:MD=3:2，OM:MC=3:8，设OM=3x，MC=8x，3x8x=96,即x2=4，解得：x=2，OC=5x=10，圆O面积为100.例5、如图，已知直线PA交O于A. B两点，AE是O的直径，点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作CD丄PA，垂足为D.(1)求证：CD为O的切线；(2)若DC+DA=6，O的直径为10，求AB的长度。考点：切线的判定与性质，勾股定理，矩形

9、的判定与性质，垂径定理分析：（1）连接OC，根据题意可证得CAD+DCA=90°，再根据角平分线的性质，得DCO=90°，则CD为O的切线；（2）过O作OFAB，则OCD=CDA=OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在RtAOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长解答：(1)证明：连接OC，OA=OC，OCA=OAC，AC平分PAE，DAC=CAO，DAC=OCA，PBOC，CDPA，CDOC，CO为O半径，CD为O的切线；(2)过O作OFAB，垂足为F，OCD=CDA=OFD=90，四边形DCO

10、F为矩形，OC=FD，OF=CD.DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6x，O的直径为10，DF=OC=5，AF=5x，在RtAOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5x)2+(6x)2=25，化简得x211x+18=0，解得x1=2,x2=9.CD=6x大于0，故x=9舍去，例6、如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F. 过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.(1)求证：ABCOFB；(2)当ABD与BFO的面枳相等时，求BQ的长；

11、(3)求证：当D在AM上移动时(A点除外)，点Q始终是线段BF的中点。考点：切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质分析：（1）根据OEAC，得出BAC=FOB，进而得出BCA=FBO=90°，从而证明结论；（2）根据ACBOBF得出ABDBFO，从而得出DQAB，即可得出BQ=AD；（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，进而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q为BF的中点解答：(1)证明：AB为直径，ACB=90，即：ACBC，又OEBC，OEAC，BAC=FOB，BN是半圆的切线，BCA=FBO=90，ABCOFB.(2

12、)连接OP，由ACBOBF得,OFB=DBA,BCA=FBO=90，AM、BN是O的切线，DAB=OBF=90，ABDBFO，当ABD与BFO的面积相等时,ABDBFO，AD=OB=1，DP切圆O，DA切圆O，DP=DA，ABDBFO，DA=BO=PO=DP,又DAO=DPO=90，四边形AOPD是正方形，DQAB，四边形ABQD是矩形，BQ=AD=1；(3)证明：由(2)知,ABDBFO，BFOB=ABAD，BF=OBABAD=1×2AD=2AD，DP是半圆O的切线，射线AM、BN为半圆O的切线，AD=DP，QB=QP，过Q点作AM的垂线QK，垂足为K，在RtDQK中，DQ2=QK

13、2+DK2，(AD+BQ)2=(ADBQ)2+22.BQ=1AD，BF=2BQ，Q为BF的中点。例7、如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E. F，点E为垂足，连接CF.(1)当AOB=30时，求弧AB的长度；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点E. C. F为顶点的三角形与AOB相似?若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由。考点：相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，勾

14、股定理，弧长的计算，平行线分线段成比例分析：（1）连接BC，由已知得ACB=2AOB=60°，AC=12AO=5，根据弧长公式求解；（2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在RtODE中，由勾股定理求OE，依题意证明OEFDEA，利用相似比求EF；（3）存在当以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似时，分为当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当交点E在点C的右侧时，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，当交点E在点O的左侧时，要使ECF与BAO相似，只能使ECF=BAO，三种情况，分别

15、求E点坐标解答：(1)连接BC,A(10,0)，OA=10，CA=5，AOB=30，ACB=2AOB=60，弧AB的长=60××5180=53；(2)若D在第一象限，连接OD，OA是C直径,OBA=90，又AB=BD，OB是AD的垂直平分线，OD=OA=10，在RtODE中，OE=OD2DE2=10282=6，AE=AOOE=106=4，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA，AEDE=EFOE,即48=EF6，EF=3；若D在第二象限，连接OD,OA是C直径，OBA=90，又AB=BD，OB是AD的垂直平分线，OD=OA=10，在RtODE中，OE=

16、OD2DE2=10282=6，AE=AO+OE=10+6=16，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA，AEDE=EFOE,即168=EF6，EF=12；EF=3或12；(3)设OE=x，当交点E在O，C之间时，由以点E. C. F为顶点的三角形与AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，当ECF=BOA时，此时OCF为等腰三角形，点E为OC中点,即OE=52，E1(52,0)；当ECF=OAB时，有CE=5x，AE=10x，CFAB,有CF=12AB，ECFEAD，CEAE=CFAD,即5x10x=14,解得：x=103，E2(103,0)；当交点E在点C

17、的右侧时，ECF>BOA，要使ECF与BAO相似,只能使ECF=BAO,连接BE，BE为RtADE斜边上的中线，BE=AB=BD，BEA=BAO，BEA=ECF，CFBE，CFBE=OCOE，ECF=BAO,FEC=DEA=90，CEFAED，CFAD=CEAE，而AD=2BE，OC2OE=CEAE，即52x=x510x,解得x1=5+5174,x2=55174<0(舍去)，E3(5+5174,0)；当交点E在点O的左侧时，BOA=EOF>ECF.要使ECF与BAO相似,只能使ECF=BAO连接BE,得BE=12AD=AB，BEA=BAOECF=BEA，CFBE，CFBE=O

18、COE，又ECF=BAO,FEC=DEA=90，CEFAED，CEAE=CFAD，而AD=2BE，OC2OE=CEAE，52x=x+510+x，解得x1=5+5174,x2=55174(舍去)，点E在x轴负半轴上，E4(55174,0)，综上所述：存在以点E. C. F为顶点的三角形与AOB相似，此时点E坐标为：E1(52,0)、E2(103,0)、E3(5+5174,0)、E4(55174,0).例8、如图，在平面直角坐标系中，ABC的边AB在x轴上，且OAOB，以AB为直径的圆过点C若点C的坐标为（0，2），AB=5，A，B两点的横坐标xA，xB是关于x的方程x2-（m+2）x+

19、n-1=0的两根（1）求m，n的值；（2）若ACB平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数解析式；（3）过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解答：，解之m=-5，n=-3（2）如图，过点D作DEBC，交AC于点E，易知DEAC，且ECD=EDC=45°，在ABC中，易得AC=，BC=，DEBC，DE=EC，又AEDACB，有，=2，AB=5，设BD=x，则AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=，则OD=，即D（-，0），易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2解法二

20、：过D作DEAC于E，DFCN于F，由SACD+SBCD=SABC求得又SBCD=BDCO=BCDF，求得BD=，DO=即D（-，0），易求得直线l对应的一次函数解析式为：y=3x+2（3）过点D作DEAC于E，DFCN于FCD为ACB的平分线，DE=DF由MDEMNC，有，由DNFMNC，有 ，即例9、如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,AB=10,以AB为直径的O1与y轴正半轴交于点C,连接BC、AC,CD是O1的切线,ADCD于点D,tanCAD=12,抛物线y=ax2+bx+c过A. B. C三点。(1)求证：CAD=CAB；(2)求抛物线的解析式；(3)判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由。考点：二次函数综合题分析：（1）根据切线的性质得出O1CAD，进而得出O1A=O1C，则CAB=O1CA，即可得出答案；（2）首先得出CAOBCO，即可得出再利用OC2=2CO（10-2CO），得出AB，C交点坐标，即可得出抛物