用基底建模向量法解决立体几何问题

1、用基底建模向量法解决立体几何问题 空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题,可把抽象的几何问题转化为代数计算问题,并具有很强的规律性和可操作性, 而利用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约,在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下, 我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底,然后将所需的向量用此基底表示出来, 再利用向量的运算进行求解或证明, 这就是基底建模法.它是

2、利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。 基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.1、 已知空间四边形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点.求证：OGBC.例1题图【解前点津】要证OGBC，只须证明即可. 而要证,必须把、用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC，因此可选为已知的基向量.【规范解答】连ON由

3、线段中点公式得：又,所以)=(). 因为.且，AOB=AOC.所以=0,即OGBC.【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.【解前点津】利用，求出向量与的夹角,， 再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】因为,所以=因为ABBC，BB1AB，BB1BC，所以=0,=-a2.所以=-a2.又所以=120°.所以异面直线BA1与AC所成的角为60°【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量

4、积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示例3：如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ABC=60º，PA面ABCD ， PA=AC =a,PB=PD=，点E在PD上，且PE:PD=2:1. 在棱PC上是否存在一点F，使BF 平面AEC？证明你的结论.解析：我们可选取作为一组空间基底【例4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】E,G分别为AB,AC的中点,EG,同理HF，EGHF .从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.只要能证明向量=-就可以说明P,O,Q三点

5、共线且O为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图CD,QHCD,=0.=,PQ经过O点,且O为PQ的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.例5如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点求证：平面EFG平面AB1C.证明：设a，b，c，则(ab)，ab2，bc(bc)，bc2，.又EG与EF相交，AC与B1C相交，平面EFG平面AB1C.例6如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为

6、1，且两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值解：设a，b，c，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)abc.|2(ab c)2|a|2|b|2|c|22a·b2b·c2a·c36×1×1×6，|，即AC1的长为.(2)bac.·(bac)·(ab)a·ba2a·cb2a·bb·c1.|，|，cos，.BD1与AC夹角的余弦值为.14.已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且与所成的角是30，如果ABa，ACBDb，求C

7、、D之间的距离. .如图，由AC，知ACAB.过D作DD，D为垂足，则DBD30°，°，|CD|2= 第17题图b2+a2+b2+2b2cos120°a2+b2.CD15如图所示,已知ABCD,O是平面AC外的一点点, 求证:A1,B1,C1,D1四点共面.证明： =2 =A1,B1,C1,D1四点共面.16 ：如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60°. 证明：C1CBD； <e1,e2>=60°, <e1,e3>=60°, <e2,e3&g

8、t;=60°, C1CBD 17.如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADC90°，3ADDC3，AB2，E是DC上的点，且满足DE1，连结AE，将DAE沿AE折起到D1AE的位置，使得D1AB60°，设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量， ，表示向量；(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由解：(1)ABCE，ABCE2，四边形ABCE是平行四边形，O为BE的中点().(2)设异面直线OD1与AE所成的角为，则cos|cos，|，·()···|21×&

9、#215;cos45°×2××cos45°×()21，| ，cos|.故异面直线OD1与AE所成角的余弦值为.(3)平面D1AE平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则，·()·|2·×()21××cos45°0.D1MAE.·()···××2×cos45°1×2×cos60°0，D1MAB.又AEABA，AE、AB平面ABCE，D1M平面ABCE.D1M

10、平面D1AE，平面D1AE平面ABCE. 在四面体、平行六面体等图形中,当不易找到（或作出）从一点出发的三条两两垂直的直线建立直坐标系时,可采用“基底建模法”选定从一点发的不共面的三个向量作为基底,并用它们表示出指定的向量,再利用向量的运算证明平行和垂直,求解角和距离。“基底建模法”可作为空间直角坐标系的一个补充（尤其是在传统几何法难作辅助线，向量坐标法又难以建系时）,掌握该方法可有效地提高利用空间向量解决立体几何问题的能力。对应训练分阶提升一、基础夯实1. 在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( C )A. B. C. D.2 若向量a，b，c是空间的一个基底，向量ma+b，na-b，

11、那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( C )A.a B.b C.c D.2a3 .如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则()化简的结果为 ()A B CD解析：()()·2.答案：C4如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()Aabc B.abcC.abc Dabc解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，cc()abc.答案：A5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若xy，则x、y的值分别为 ()Ax1，y1

12、 Bx1，yCx，y Dx，y1解析：如图，()答案：C题组二空间中的共线、共面问题4.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面_(共面或不共面)解析：(3,4,5)，(1,2,2)，(9,14,16)，设xy.即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y)，从而A、B、C、D四点共面答案：共面题组三空间向量数量积及应用6.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于 ()A2· B2·C2· D2·解析：，2·2a2×

13、cosa2.答案：B7二面角l为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABAC，BD2a，则CD的长为 ()A2a B.a Ca D.a解析：ACl，BDl，,60°，且·0，·0，|2a.答案：A8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是 ()A45° B60°C90° D120°答案：B1 已知：,当最取最小值时，的值等于（ C ）A.19 B. C.

14、 D. 2正四棱维P-ABCD中，O为底面中心，设，E为PC的中点，则 可表示为 （ B ） A. B. C. D. 3已知向量，且，则的值是 （ B ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 34已知向量，若向量与向量互相垂直，则的值是 （ D ） A. B.2 C. D. 5下面命题正确的个数是 （ B ）若，则与、共面； 若，则M、P、A、B共面；若，则A、B、C、D共面； 若，则P、A、B、C共面；A.1 B. 2 C.3 D.46已知点A在基底下的坐标为（8，6，4），其中，则点A在基底下的坐标是 （ A ）A.（12，14，10） B.（10，12，14） C.（14，12，10） D.（4，3，2）7已知点,向量，则向量的夹角是（ A ）A. B. C. D. 8已知向量，向量，则向量在向量上的射影的长是（ B ）A.1 B. 2 C.5 D.109已知若，且，则点D的坐标为（ D ）A.（-1，-1，-2） B.（-1，-1，-2） C.（1，-1，-2） D.（-1，1，2）10已知OABC是四面体，G是ABC的重心，若，则的值是（ C ）