立体几何大题二翻折

1、立体几何大题题型二：翻折问题1.已知四边形满足，是的中点，将沿着翻折成，使面面，分别为的中点CABDEAB1CDEGF（1）求三棱锥的体积；（2）证明：平面；（3）证明：平面平面思路分析：对于翻折问题要注意翻折后的图形与翻折前的图形中的变与不变量（1）求棱锥的体积一般找棱锥高易求的进行转换由题意知，且，四边形为平行四边形，即为等边三角形由面面的性质定理，连结，则，可知平面所以即可；（2）本题利用线面平行的判定定理去做因为为的中点，注意利用中位线；（3）本题利用面面垂直的判定定理证明因为,只需证明平面即可。连结，则又为等边三角形，则，得证本题注意体现了转化的思想ABCDEGF（2）连接交于，连接

2、，为菱形，且为的中点，又面，平面，平面（3）连结，则又，平面又，平面又平面，平面平面点评：本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的判定和几何体的体积，以折叠问题为载体，折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面垂直的判定方法及相互转化，还要正确识别出沿折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题这正是折叠问题的价值之所在2(2015·山东聊城二模)如图(1)所示，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻

3、折成直二面角A­DC­B.(如图(2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【解】(1)平行在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，0，2)平面CDF

4、的法向量为(0，0，2)，设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，cos，n，所以二面角E­DF­C的余弦值为.(3)存在设P(s，t，0)，有(s，t，2)，则·t20，t，又(s2，t，0)，(s，2t，0)，(s2)(2t)st，st2.把t代入上式得s，·，在线段BC上存在点P，使APDE.此时，.3(2015·陕西高考)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE. (1)证明：CD平面A1OC

5、；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值【解】(1)证明：在图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点BAD，所以BEAC.即在图2中，BEA1O，BEOC.从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBC·ABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.

6、4(2015·宁夏银川一中二模)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，ADCDAB2，点E为AC中点将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)在CD上找一点F，使AD平面EFB；(2)求点C到平面ABD的距离【解】(1)取CD的中点F，连结EF，BF，在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线，ADEF，EF平面EFB，AD平面EFB，AD平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h，在RtADC中，ADCD2，AC2，易求得BC2，AB4，AC2BC2AB2，ACBC.平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，且BC平面ABC，BC平面ADC，BC是三棱锥BADC的高，BCAD，又ADDC，DCBCC，AD平面BCD，ADBD.SABDAD·BD×2×22，由VCABDVBA