状态反馈控制的特性及发展

1、状态反馈控制的主要特性及发展 摘要：控制理论是关于控制系统建模、分析、综合设计的一般理论，是一门技术科学。控制理论的产生及发展与控制技术的发展密切相关，是人类在认识世界和改造世界的过程中逐步形成的，并随着社会的发展和科学的进步而不断发展，状态反馈控制是现代控制理论中一个十分重要的部分，其在实际工程领域中占有举足轻重的地位。本论文分为三个部分，第一部分主要是介绍了现代控制理论的发展与组成要素以及特点，第二部分介绍了状态反馈控制的主要特性，如：可控性、可观性等。第三部分主要是介绍了状态反馈控制的发展历程，随着科学技术的发展，状态反馈控制理论将在人们认识事物运动的客观规律和改造世界中将得到进一步的发

2、展和完善。1前言1.1现代控制理论概述对系统或对象施加作用或限制，使其达到或保持某种规定或要求的运动状态。施加作用或限制的本质就是对系统的调节，其依据是给定任务目标和系统变化。因此，控制就是为了实现任务目标给系统或对象的调节作用。这种调节作用是由系统或对象自身完成时，就是自动控制。控制的基本要素如下：（1）控制对象或系统。要了解对象的性质，需建立或辨识系统模型（2）控制方法。确定适当的调节作用（3）反馈。检验和协调控制作用按照控制系统分析设计方法和要求的不同，控制理论存在经典控制理论和现代控制理论之分。一般来说，1960年代以前形成的控制理论属于经典控制理论，其后形成的是现代控制理论。现代控制

3、理论主要包括线性系统理论、系统辨识与建模、最优滤波理论、最优控制、自适应控制五个分支。其中，线性系统理论主要包括系统的状态空间描述、能控性、能观测性和稳定性分析，状态反馈、状态观测器及补偿理论和设计方法等内容。线性系统理论是现代控制理论中理论最完善、技术上较成熟、应用也最广泛的部分，是现代控制理论的基础。从20世纪50年代末开始，随着科学技术的发展和生产实际的进一步需要，出现了多输入/多输出控制系统、非线性控制系统和时变控制系统的分析与设计问题。与此同时，近代数学的形成和数字计算机的出现为现代控制理论的建立和发展准备了两个重要的条件。近代数学为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；数字计算机为

4、现代控制理论发展提供了分析和应用的平台。现代控制理论的主要特点：(1)以多变量系统(线性和非线性)为研究对象(2)以时域法(特别是状态空间法)为主要研究方法(3)以近代数学为主要分析手段(4)以计算机为主要分析、设计工具经典控制理论和现代控制理论虽然各自有不同的发展背景和理论体系，但是二者的联系十分紧密，在应用上不存在谁一定优于谁的问题。它们的主要特点是:经典控制理论的主要特点现代控制理论的主要特点优点（1）易于获得系统的频率特性，其性能参数的可比性强（2）可用解析式表达系统的特性参数与性能指标之间的关系（3）图形法分析设计的目标性强，易于掌握优点（1）适于多变量(线性和非线性)系统（2）时域

5、分析法的直观性强，有的时域参数可直接反映系统的性能（3）可以获得系统设计的最优解或最优参数值（4）确立了系统的可控性和可观性缺点（1）局限于线性定常的单输入单输出系统（2）图形分析设计法依赖于使用者的经验，不易获得系统的最优控制（3）试凑法设计的直观性较弱缺点（1）系统的鲁棒性较弱（2）主要限于线性系统（3）控制目标单一1.2状态反馈控制概述控制系统最基本的结构形式是由受控系统和实现反馈控制规律的反馈环节所构成的反馈控制系统。在古典控制理论中，反馈信号一般取自输出信号，反馈形式为输出反馈，而在现代控制理论中，基本反馈形式就是状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态按照一定的比例反馈到输入端，与系统

6、的参考输入进行综合形成控制律，作为受控系统的控制输入。状态反馈控制系统的基本结构如图所示，其中虚线框内是被控系统，矩阵K为反馈矩阵，反馈矩阵K起主要作用。以多输入多输出系统的状态反馈为例。图1.2状态反馈结构图设受控系统的状态空间表达式为在一般情况下，控制规律是参考输入向量r(t)及状态向量x(t)的非线性函数，即对于线性定常系统，可以把控制向量u(t)视为向量r(t)及x(t)的线性函数，即 将上式代入被控系统的状态方程：dX(t)/dt=(A-BK)X(t)-Br(t) 从而状态反馈系统的传递函数矩阵为：系统在未实行状态反馈时的传递函数矩阵为：可见，状态反馈矩阵K的引入，没有增加系统的维数

7、。因此，可以通过矩阵K的选择来改变系统的特征值（即改变系统的极点），从而可使系统获得期望的性能。1.3状态观测器为了实现线性状态反馈，需要检测出系统的状态变量。但是，系统状态变量并不是都能方便地被检测出。于是，在不易直接获得系统状态变量的情况下，提出了系统状态变量的估计装置，它的输入是系统输出量和输入量，输出是逼近状态变量的量称为状态变量的估计。这个装置就称为系统的状态观测器。由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论是现代控制理论中具有工程实用价值的基本内容之一，这个理论解决了在确定性控制条件下受控系统状态的重构问题，从而使状态反馈成为一种现实的控制规律。设线性定常系统的状态x是不

8、可以直接测量的，如果动态系统以的输入量u和输出量y作为它的输入量，对于任意给定的常矩阵K，的输出满足如下的等价性指标则称动态系统为的一个Kx观测器，如果K=1，则称为的状态观测器，简称观测器。2状态反馈控制的主要特性2.1可控性可控性定义系统的可控性和可观性是Kalman在1960年首先提出来的，它是状态反馈控制、最优控制和最优估计的基础。状态空间表达式揭示了系统内部运动的状态量与外部输入输出量之间的关系。对于这种关系，控制理论存在这样二个问题：（1）当对系统输入控制作用时，能否在有限时间内使系统从任意初始状态转移到期望的状态，即输入能否控制状态的转移？（2）通过对系统输出的观测，可否推断出系

9、统内部运动状态的变化，即能否由输出观测值确定系统状态量的变化？对于以上两个问题，则给出以下为可控性的定义：一个系统，如果在有限时间间隔内（t0ttf）内存在无约束的控制输入，可使系统的某一初始状态X(t0)转移到任意的终端状态X(tf) ，则称系统的状态X(t0)是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称系统是完全可控的，简称系统可控。系统在时刻t的运动状态是由n个状态变量xi(t)(i=1,2,n)综合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状态变量不受输入控制，就称系统是不可控的，或称系统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间和不

10、可控状态空间。因此，系统的可控性是刻画系统的结构性质，与系统的具体输入无关。2.1.2可控性判据判据一：系统(A(t),B(t)可控的充分必要条件是存在某有限时间tf（>t0），使得矩阵 正定。其中：(t,)是系统(A(t),B(t)的状态转移矩阵，满足判据二：定常线性系统可控的充分必要条件是矩阵Mc=B AB An-1B满秩即 ，显然，系统的可控性只与系统矩阵A和输入矩阵B有关。判据三：定常线性系统(A,B,C,D)可控的充分必要条件是：对矩阵A的每个特征值s，都满足（ ）其中 是系统矩阵A的特征值集合。2.1.3状态反馈系统的可控性设系统原有的可控性为(A,B)可控，即矩阵Sco满秩

11、 Sco=B AB A2BAn-1BRn×(r×n)状态反馈系统的可控判别矩阵S为 Sck=B (A-BK)B (A-BK)2B(A-BK)n-1B Rn×(r×n)显然： (A-BK)B=AB-B(KB)，KB是常数矩阵，则(A-BK)B是AB和B的线性组合 (A-BK)2B=A2B-AB(KB)+(KB)2-(BKA)B，是A2B、AB、B的线性组合 (A-BK)n-1B是An-1B、AB、B的线性组合所以 rank(Sco)=rank(Sck)由上式可知，状态反馈能够保持系统原有的可控性。2.2可观性2.2.1可观性定义系统在一定的控制输入作用下，

12、如果能由有限时间（t0ttf）内的观测输出值Y(t)唯一地确定系统任意的状态变量X(t0)，则称系统是可观的，或称为完全可观测。如果由观测输出值只能确定出部分状态变量，则称系统是不可观的，或称系统是不完全可观的。系统的可观性刻画了系统的输出量Y(t)与状态变量X(t)之间的关系，反映系统的结构性质，与具体的输出、输入无关。系统的可观性与矩阵A、C相关。因此，若系统可观，就称(A,C)可观，或系统可观性可以表示为(A,C)的可观性。2.2.2可观性的判据系统的输出量Y(t)是输入量U(t)的响应，通过对输出量Y(t)的测量值来求解系统的状态变量X(t)。若能够将系统的所有状态变量求出，即该系统的

13、所有状态变量X(t)与输出量Y(t)有关系，则表明系统的状态是可观测的。因此，分析系统的可观性问题涉及状态方程和输出方程。判据一：线性系统(A(t),B(t),C(t),D(t)可观测的充分必要条件是：存在有限时间tf>t0，使得矩阵正定，其中：(,t0)是系统的状态转移矩阵，满足判据二：定常线性系统(A,B,C,D)可观测的充分必要条件是:判据三：定常线性系统(A,B,C,D)可观测的充分必要条件是：对矩阵A的每个特征值s，都满足（ ） 是系统矩阵A的特征值集合。2.2.3状态反馈系统的可观性对于可控的单输入/多输出系统，设系统的A、B、C矩阵为可控标准型，即其传递函数矩阵为：引入状态

14、反馈（反馈矩阵K=k0 k1kn-1）后，系统的传递函数矩阵为对单输入/多(单)输出系统，状态反馈的引入会改变系统的极点，不改变系统的零点。这样就有可能在任意配置系统极点时出现系统传递函数的零极点相消的现象，从而破坏系统原有的可观性。即使对多输入/多(单)输出系统，由于状态反馈可能改变系统的零点，则通过状态反馈任意配置系统极点时也可能出现系统传递函数的零极点相消的现象，从而破坏系统原有的可观性。所以，状态反馈不保持系统原有的可观性。2.3镇定性2.3.1镇定性定义保证稳定是控制系统正常工作的必要前提。所谓系统镇定，是对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐进稳定。如果一个系统通过状

15、态反馈能使其渐进稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。2.3.2镇定性的判据对系统，采用状态反馈能镇定的充分必要条件是其不能控子系统为渐进稳定。显然为了使系统镇定，只需将不稳定因子即具非负实部的极点配置到根平面左半部即可。2.3.3状态反馈系统的镇定性系统(A、B、C)的特征值（极点）取决于系统矩阵A。引入状态反馈和输出反馈后，系统的系统矩阵分别变换为(A-BK)和(A-BHC)，因而系统的特征值也将发生变化。状态反馈可以任意配置系统特征值，从而可使原来不稳定的系统通过状态反馈变成稳定的系统。另外，系统如果不是完全可控，就不能采用状态反馈实现任意的极点配置，或者说此时状态反馈矩阵K无解。3状态反馈

16、控制的发展控制系统最基本的结构形式是由受控系统和实现反馈控制规律的反馈环节所构成的反馈控制系统。在古典控制理论中，反馈信号一般取自输出信号，反馈形式为输出反馈，而在现代控制理论中，状态反馈占据着主要的地位。从20世纪60年代开始，现代控制理论初步成形，着重解决机组自动化和生物系统的多输入多输出系统的控制问题；研究对象不再局限于单变量的、线性的、定常的、连续的系统，而扩展为多变量的。非线性的、时变的、离散的系统，随着一阶微分方程组、矩阵论、状态空间法等数学工具的广泛应用，现代控制理论得到了充分的扩充。而状态反馈控制也得到了广泛的应用。随着状态反馈控制在越来越多的工程上的应用，人们发现，在实际的系

17、统中，往往不是所有状态变量都可以测量取出的，这就要求利用系统可以测量取出的输入量u和输出量y重新构造全部状态。即利用系统易于测量到的输入和输出变量，去推动一个装置，使得该装置的输出能够近视代替真正的状态变量，供状态反馈之用，这就是状态重构问题。由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论是现代控制理论中具有工程实用价值的基本内容之一，这个理论解决了在确定性控制条件下受控系统状态的重构问题，从而使状态反馈成为一种现实的控制规律。随着Matlab软件的越来越成熟，在其仿真环境下进行状态观测器的仿真分析简直是易如反掌，这对于如何设计好的状态观测器构成状态反馈控制系统有着非常大的意义。随着新世

18、纪经济和科学技术的发展，控制理论与许多学科相互交叉、渗透融合的趋势还在进一步加强，状态反馈控制理论的应用范围在不断的扩大，状态反馈控制理论在人们认识事物运动的客观规律和改造世界中将得到进一步的发展和完善。4结论通过学习这门课，让我对现代控制理论的基本框架有了一些的了解，对控制系统的一些特性，诸如可控性、可观性、稳定性等有了一定的了解，知道这些去如何判断一个系统是否具有这些特性。另外更让我印象深刻的内容就是状态反馈系统的这些特性，以及如何去判定。还有就是对反馈控制系统有了更深一层次的了解，包括状态反馈控制和输出反馈控制。另外对于这两种反馈控制的极点配置也颇有涉猎。最后，对整个控制理论的发展，尤其是状态反馈控制理论的发展做了一个总结。通过这次的学习对我的影响十分的远大。在此感谢老师的悉心授教。参考文献1刘豹.现代控制理论M.机械工业出版社，2000 2黄辉先.现代控制理论基础M.湖南大学出版社，20063卢泽生.控制理论及其应用M.高等教育出版社，20094郭雷.控制理论导