第十章定积分及其应用

1、第十章 定积分及其应用1 定积分的概念1 已知下列函数在指定区间上可积，用定义求下列积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2 设在可积，证明在上可积，且.3 设求证. 4 若函数在上可积，其积分是，今在内有限个点上改变的值使它成为另一函数，证明也在上可积，并且积分仍为.2 定积分的基本性质1 设在连续，不恒为零，证明.2 设在连续，证明在上恒为零.3 举例说明在可积，但在不可积.4 比较下列各对定积分的大小：(1) ；(2) ；(3) . 5 证明下列不等式（设所给的积分存在）； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 6 证明： (1) ； (2) . 7 设在连续

2、，证明，其中.8 设在连续，且，求证：.9 设，求证. 10(1)设在上连续，且对上任一连续函数均有，证明. (2)设在上连续，且对所有那些在上满足附加条件的连续函数，有.证明：在上同样有. 11 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(或)，其中为常数。12 设在连续，求证：，而且等号成立当且仅当(常数).13 设在连续，求证：.14 设是严格单调增加的连续函数，是它的反函数，证明15 用一致连续定义验证： (1) 在上是一致连续的； (2) 在上是一致连续的； (3) 在上一致连续，但在上不一致连续； (4) 在上不一致连续.3 微积分基本定理1 计算下列定积分： (1) ； (2) ；

3、(3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 2 求下列极限： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3 若连续，求： (1) ； (2) ； (3) ； 4 求下列极限： (1) ； (2) ； 5 设在连续且单调递增，求证：函数在上连续且单调递增。4 定积分的计算1 计算下列定积分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) ；(15) ；(16) ；(17) ；(18) ；(19) ；(20) ；2 计算下列定积分(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；3

4、 证明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数，连续的偶函数的原函数中有且只有一个为奇函数. 4 设在所示区间上是连续函数，证明： (1) ；(2) ；(3) ；(4) ；5 计算积分.6 利用分部积分法证明：7 设在连续，且，求证：(1) ；(2) ；8 设在时连续，对任意，积分值与a无关，求证：（c为常数）.9 设在任一有限区间上可积分，且求证：5 定积分在物理中的应用初步1 有一薄版，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.2 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。3 某水库的闸门是一梯形，上底6m，下底2m，高10m，求水灌满时闸门所要的力。设水的比重为1000.4 半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？5 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1的力能使弹簧伸长1cm，问把弹簧拉长10cm要作多少功？6 有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度.6 定积分的近似计算1 已知，试把积分区间分成10等分，分别用梯形公式和