渝利线不同类型曲线中的坐标正反算

1、 渝利线不同类型曲线中的坐标正反算 黄万龙 渝利项目第三总队项目部摘要 :随着高速铁路的发展,等级的提高,质量和控制要求都有所提高,特别是用牛顿迭代法在不同的曲线中的坐标反算,在几公里的渝利线线路里程桩号的测设和判断彭家坡隧道超欠挖情况特别简单明了,大大的提高了工作效益,牛顿迭代法在满足一定精度要求不同曲线中的坐标反算有较大的潜力。关键词：坐标正算；圆曲线、缓和曲线、坐标反算、牛顿迭代一、 渝利线三总队标段简介 三总队标段位于湖北省利川市境内，起点桩号是清江跨线双线特大桥的0#空心桥台的台尾里程，其里程桩号为DK267+460,终点里程位于利川市凉雾乡境内,其里程桩号为DK274+982.65

2、4。本标段以左线为设计线,曲线包括圆曲线与缓和曲线两种类型,所处环境类别为碳化环境T1、 T2级别,地震动峰值加速度为0.05g。清江跨线双线特大桥圆曲线（及缓和曲线）上，简支梁按平分中矢布置。以左线为基线，线与线间按扇形布置法布置梁片，连续梁采用曲线曲作，悬灌施工。三总队曲线要素表见附表一 。二、 多种类型曲线坐标的正算1、 直线段的坐标正算设起点坐标为X0:Y0,直线段距离为S,起点方位角为CX1= X0+Scos(C);Y1= Y0+ Ssin(C)。已知任意两点坐标(X0,Y0): (X1，Y1)反算方位角用如下方法来判断方位角的值。示意图如下：A=tan-1 (Y1- Y0)( X1

3、- X0)y= Y1- Y0 ; x= X1- X0 ,当y>0; x>0C= A ; 当y>0; x<0C=180-A; 当y<0; x<0C=180+A ; 当y<0; x>0C=360-A2、 圆曲线段的坐标正算2.1 设起点坐标为X0:Y0 ，曲线半径为R ，转角为 ，起点方位角为C圆曲线上任意点坐标,示意图如下： 2.2 在圆曲线上任意一点作切线、法线，连上弦长，起点切线于弦长的夹角为A，起点切线方位角为CC弦 =C+A ，曲线外任意点偏距为E,起点历程装好为K0, 任意点历程桩号为K弦长距离S=2Rsin ，A=设计圆曲线上任意点坐标

4、X1=X0+(K-K0)cos (C弦) :Y1= Y0+(K-K0)sin(C弦)。设计圆曲线外左任意坐标X2= X1+Ecos(C弦+A-90): Y2= Y1+Esin(C弦+A-90) ，设计圆曲线外右任意坐标X3= X1+Ecos(C弦+A+90): Y3= Y1+Esin(C弦+A+90)。例如清江跨线双线特大桥DK268+500在圆曲线上，计算该里程桩号上对应的任意点的坐标计算。X0=3348719.390:Y0=447010.179:R=3500 :K-K0=301.84:C=55.55477:E=5 X1=3348900.875: Y1=447251.2399: X2=334

5、8904.996:Y2=447248.408:X3=3348896.755:Y3=447254.072。 3、缓和曲线段的坐标正算 3.1多种类型缓和曲线曲率,重点介绍高速铁路与公路等其他各种类型缓和曲线上任意点坐标的计算,其曲率K计算公式如下： 三次抛物线：K= 五次抛物线：K=3-2 七次抛物线：K=3-15+10 七次四项式：K=5-10+10 半波正弦: K=1- cos() 全波正弦: K=1- 3.2 缓和曲线上任意点坐标正算的通用方法 以三次抛物线为例计算缓和曲线上任意点坐标(建立以缓和曲线起点为坐标圆点的直角坐标系,起点的切线方向为X轴，与X垂直方向为Y轴，采用类似的方法可以计

6、算出其他类型缓和曲线上任意点坐标和进行精度分析，使其在实际工程中满足要求。 根据曲率定义 ，缓和曲线偏角和曲率k存在如下关系： =k=k= x、y 与偏角存在如下几何关系： dx=cos()x=cos()= cos() dy=sin() y=sin()= sin() 最后可以由坐标的平移和旋转，转化为路线统一坐标系。 3.3 偏距法计算缓和曲线上任意点坐标 偏距法在施工中比较适用,设置起点坐标为X0:Y0,起点切线方位角为C,偏角为A,偏距为E,缓和曲线上任意点坐标为X1:Y1，缓和曲线外任意点坐标为X2:Y2，缓和曲线相对坐标为M ,N。缓和曲线起点里程为K，任意点里程为K,s=K- K ,

7、缓和曲线段长度为L,半径为R,其计算示意图如下： 过所求坐标点作弦长，M=S-S(40RL)+S(3456RL) N=S(6RL)-S(336RL)+S(42240RL) A=tan(NM),B=C+A ,弦长d=,垂直于法线方 向的方位角C=C+2A90 ,例如彭家坡隧道进口里程桩号为DK270+503,出口里程为DK270+846，其中DK270+710.274DK270+846属于缓和曲线段, X0=3349490: Y0=449715.527:R=3500:L=380,C=274.7888889假设算DK270+800S=89.73对应DK270+800缓和曲线上的坐标 X1=X0+d

8、cos (B): Y1=Y0+dsin (B) 对应点相应里程桩号偏距为E=10米的坐标 X2、3=X1+Ecos (C): Y2、3=Y1+Esin (C) X2=3349501.400 : Y2=449425.5207 X3=3349521.373 : Y3=449426.558 三、 多种类型曲线的坐标反算1、 直线段的坐标反算设起点坐标为X0，Y0，起点里程为K，起点方位角为，反算点坐标为X1，Y1两点之间的方位角=tan()通过4800计算器编写程序，当J<0J=J+360该点里程K=K+cos(J) 该点距设计线距离E=sin (J)2、 圆曲线段的坐标反算设圆弧形段起点坐标

9、为X0，Y0，起点里程为K，起点切线方位角为，反算点坐标为X2，Y2，圆心为o 半径为R。坐标为X1，Y1。 起点方位角为半径指向圆心方向的方位角为+90圆心坐标为X1= X0+Rcos(+90), Y1= Y0+Rsin(+90) 圆心与被反算点的方位角 =tan(，根据坐标象限判断值。圆心角A=-(-90)K = K+RA偏距E=R-。例如反算彭家坡隧道DK270+600，次里程位于圆曲线上，X0=3346016.573: Y0=449233.8654, K=268198.16,R=3500: =320.55477:已知DK270+600偏距E=12.50处坐标为X2=3349504.06

10、8Y2=449226.1599,通过以上反算公式 K=270599.9984E=12.49625173、 缓和曲线坐标反算 3.1 在直线、圆曲线上坐标反算相对于缓和曲线来说比较简单，但是缓和曲线比较复杂,用牛顿迭代法来反算，在满足一定精度要求的情况下能反算缓和曲线段。因为按照求坐标的公式变换来的求曲线长的公式都是一元高次方程，要求精确解相对困难。牛顿迭代法的基本原理：以设计线坐标为例，如图5-1所示意，o为曲线上已知 桩号上的点P为曲线上待求桩号的点，用该点与起算点的距离，起算点的切线，点P到切线的垂线构造直角三角形，用切线长作为里程迭代增量，再用求得的点作为起算点继续迭代，当起算点的切线与

11、P点的切线重合时，迭代收敛，切线长为0，角差=03.2非设计线上点的坐标反算里程 原理和设计线上原理一样,同样用该点与取算点距离,起算点的切线点P到切线的垂线构造直角三角形, 用切线长来作为里程迭代增量，再用求得的点作为起算点继续迭代，当起算点的切线与P点的切线重合时，迭代收敛，切线长为0，角差=0,只是在非设计线里程反算坐标里程时 ,有可能出现迭代的切线长大于设计线上对应的曲线长度,则此时迭代点就可能在任意点对应的设计曲线上的里程之后,而此时两个方位角的夹角为钝角,迭代增量将出现负值,计算结果仍然能减满足我们得到要求,该方法可以用于各种曲线,不管是右偏还是左偏,而且不管是从前往后迭代还是从后

12、往前迭代,都能满足要求。其计算示意图如下： 3.3牛顿迭代法坐标反算里程中的多解和无解问题及其处理 牛顿迭代法会出现任意点在圆心或离中桩距离大于圆心的情况,这种情况求得的里程也许是负里程,也许有多个解,但肯定不是所要的解,这种情况称为无解,无解情况在工程实际中是不存在的,如到设计线的距离大于等于半径的高速铁路是不存在的。3.4牛顿迭代法精度分析 对于一般情况,迭代次数越多,精度越高，迭代增量越小，结果越接近准确值，对于特殊情况，任意点离设计线的距离为D，当D/R>1就会出现多解或无解；当D/R=1无解；D/R1时，D/R值越大，精度越小，D/R值越小，精度越高。因此在小半径曲线上，该方法的精度较低，而在大半径曲线或直线上所求得的精度较高，对于坐标反算里程成果的验证，需要将反算所求得的里程跟偏距代入正算程序里去 ，通过两者对比来验证结果的可靠性。四、结果及其运用 以上坐标计算思想大大的简化了