第1章不定积分

1、第1章 不定积分 原函数概念这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数已知                 求总成本函数              边际成本C (x)          &

2、#160;     C¢(x)                          （   ）               

3、0;MC(    )¢ = MC   求                 已知已知总成本C (x)，求边际成本C¢(x)，就是求导数反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：定义1.1 若对任何xÎD，F¢(x) = f(x)， 则称F(x)为f(x)的原函

4、数 我们来看具体的问题：例如Q (x3)¢ = 3x2F(x)   f(x) x3是3x2的原函数大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了先考虑这样一个问题，的原函数是哪个？由原函数的概念我们就要看哪个函数的导数是，即它使得成立，我们在下列函数中进行选择：，经验证知和是2x的原函数通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数另外，2x的原函数不唯一它告诉我们原函数不止一个再从另一方面提出问题，为哪个函数的原函数？，说明是的原函数同样，说明是的原函数事实上，都是的原函数，说明原函数有无穷多个那怎样求出

5、一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的若都是的原函数，则证：设，可知，即这个结论非常重要，我们已经知道，若是的原函数，则都是的原函数 而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数 所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数例1 求的全体原函数 分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得 到全体原函数求原函数就是看哪个函数的导数是 解：因为 ，所以是的一个原函数故的全体原函数为例2 判断是哪个函数的原函数 分析：看的导函数是哪个函数 解：因为，所以是的原函数 不定积分的定义 定义1.2 的所有原函数的全体称为不定积分记作,其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分符号例1 求

6、的全体原函数 解： 全体原函数就是的不定积分:例2 求通过点的曲线，使它在点处的切线斜率为 解：,得到一族曲线:曲线过点，即，得到:.所求曲线为导数与不定积分的关系我们来讨论两个问题，首先,有两个答案给我们选择: 要求的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是，答案当然是但另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是再讨论第二个问题有三个答案给我们选择 所以正确的选择是由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算求导数求不定积分求导公式反过来就是积分公式例：求分析：由微分定义有：解：由微分定义有，即求1.2 积分基本公式正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本

7、公式也是互逆的也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式先让我们回顾一下导数基本公式                           将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：                  

8、                              以上这些积分基本公式都是需要牢记的另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式再来说明积分公式当时，当x<0时，将两个结果统一起来就得到积分公式说明在积分基本公式中为

9、什么没有的公式 分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明 说明：在导数公式中是由定义及相关法则直接求得的而的不定积分需要找一个函数，使该函数的导函数是，我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果， 一般来说也不是一个实用的公式 所以在积分基本公式中没有公式，类似地原因也没有和我们所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系 不定积分的性质1. 若是可积函数，则有2. 若是可积函数，为非0常数，则有，有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来例如:这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称

10、为直接积分法例1 求解：例2 求解：例3 求 解：例4 已知边际成本为，固定成本为30，求总成本函数解：因为，有,将代入，得，总成本函数为例5 求解：由变量替换得注意到，即若直接计算左端有用变量替换的方法显然简单得多我们再介绍两种计算不定积分的方法1第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成的形式或是将凑成的形式（凑微分）就是说将被积表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分而的原函数是已知的或是容易求得的此时就有这种方法的关键是将凑出， 且容易计算 我们称这种方法为第一换元积分法（也称为凑微分法）2第二换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换,将被积函数变成的形式或即将被积

11、表达式凑成某个中间变量的函数乘以这个中间变量的微分而的原函数是已知或是容易求得的此时就有这种方法的关键是容易计算我们称这种方法为第二换元积分法将3x-4看作一个整体，可以利用积分公式    将-2x看作一个整体，可以利用积分公式      例1 求 解：例2 求 解： 将x3+1看作一个整体，可以利用积分公式   例3 求解：   例4 求 解： 例5 求 解：例6 计算分析：设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换解：令，即有,得例7 计算分析： 设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方用三角公式替换解：令，得（三角公式）（三角公式）1.3.4 分部积分法分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式我们来导出分部积分公式对于这个问题，由导数运算法则容易得到上式两端积分，得由积分与导数运算的关系及积分的性质得到整理后得到，它的另一种形式是：于是就得到分部积分公式： 分部积分的关键在于被积函