用空间向量解立体几何问题方法归纳学生

1、用空间向量解立体几何题型与方法一平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线面平行：laua·u0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvu·v0a3a4b3b4c3c40例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.使用

2、空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC90°，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.二利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所

3、成的角为，则cos |cosa，b|.(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.例1、如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值例2、如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CACB，A

4、BAA1，BAA160°.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例3、如图，在四棱锥S­ABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED，SE

5、AD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值例4、如图是多面体ABC­A1B1C1和它的三视图 (1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值三利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角A­DC­B(如图2)(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角E­DF­C的余弦值；

6、(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例2、.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B 1C1中，ACB90°，AA1BC2AC2.(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1

7、3;CD­C1的大小为60°？四空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领悟好例1、如图，四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1)求PA的长；(2)求二面角B­AF­D的正弦值建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系(本题利用ACBD)，若图中存在交于一点的

8、三条直线两两垂直，则以该点为原点建立空间直角坐标系.在没有明显的垂直关系时，要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系，注意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例2、如图，在空间几何体中，平面ACD平面ABC，ABBCCADADCBE2.BE与平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC内的射影落在ABC的平分线上(1)求证：DE平面ABC；(2)求二面角E­BC­A的余弦值专题训练1.如图所示，在多面体ABCDA1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1底面ABC

9、D，ABA1B1，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1平面BCC1B1.3如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB2，DC1，BC，ABAD.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A­BD­C为60°，如图(2)(1)求证：AE平面BDC；(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值4如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD6，BD是对角线，过点A作AEBD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB.(1)求证：PO平面ABCE；(2)求二面角E

10、­AP­B的余弦值5.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由6如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SAABBC2，AD1.M是棱SB的中点(1)求证：AM平面SCD；(2)求平面SCD与

11、平面SAB所成二面角的余弦值；(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求sin 的最大值7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FABDAB90°，AFABBC2，AD1，FACD.(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；(2)求二面角F­CD­A的余弦值8、.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC2，BD2，E是PB上任意一点(1)求证：ACDE；(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值9、如图1，A，D分别是矩形A1BC