破解直线与圆中的定的问题

1、破解直线与圆中的“定”的问题直线与圆的位置关系是高中数学的重点内容，是高考必考考点之一，考题中往往涉及定点、定直线、定圆等“定”的问题，其本质就是曲线系，蕴含着数形结合思想、函数与方程思想等。在解答此类问题的探索过程中，学生常常找不到解题的切入点，为此，我们须弄清此类问题，切实掌握其解决的方法。一、定点问题我们对于过定点的直线系并不陌生，如是过定点的直线系，是常数）是过定点的直线系，是常数）是过定点的直线系，等等，那么，如何迅捷地找到直线所过的定点呢？例1 平面直角坐标系中，直线恒过一定点，而直线也过点，则 。解法1：直线，整理得，令，解得，所以，代入直线，得，答案：2.解法2：令，则；令，则

2、；所以直线必过直线与直线的交点，显然，代入直线，得。点评：含有参数的直线过定点时，只需将含有参数的部分整理到一起，不含参数的部分整理到一起，令系数均为0即可解方程得直线所过的定点。变式1：（2014四川）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是A. B. C. D.答案 B。例2 已知圆，则圆过定点 。解法1：圆的方程可变形为，所以圆必过两曲线与的交点，联立方程，解得，所以圆过定点。答案为。解法2：令，则，令，则，圆所过的定点必是曲线与的交点；而联立方程，解得，所以圆过定点。点评：直线与圆的定点问题要善于从运动中寻求不变的特性，挖掘曲线方程与哪些参数无关。常见的方法有两种：其一

3、，直接按参数分离变量，进而解出定点坐标；其二，从特殊入手，求出定点，再证这个定点与参数取值无关。变式2：若圆的圆心到直线的距离最大时，则（ ）A. B. C. D. 答案：A。二、定直线问题定直线问题往往是动点所在的定直线、动圆的定切线，含有多个参数，其几何特征不明显，解决时常常不知从何入手，此时，须紧扣等量关系恒成立，应用待定系数法来处理。例3 平面直角坐标系中，已知半径为的的圆心在直线上，且在轴右侧，被轴轴截得的弦长为.（1）求的方程；（2）当变化时，是否存在定直线与均相切？如果存在，求出定直线的方程；如果不存在，说明理由。解析：（1）设，则的方程为，设到轴的距离为，即，由被轴轴截得的弦长

4、为，所以，得，故的方程为。（2）假设存在定直线与均相切，定直线的斜率不存在时，显然不合题意；设直线的方程为，则对于恒成立，由，得，因为上式对任意实数恒成立，所以，解得或，所以存在两条定直线和与动圆均相切。点评：本题动圆的圆心与半径都在变化，其几何特征不明显，故采取直接论证恒成立。解决含有多个参数的等量关系恒成立时，必须紧扣等式的成立与的取值无关这一特点。变式3：已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为。（1）证明：当变化时，的圆心在一条定直线上；（2）求所表示的一系列圆的公切线方程。提示：（1）关于直线对称的点，在一条定直线上.（2）设公切线方程为，则对于恒成立，整理得，所以，解之得，所以所表示的一系列圆的公切线方程为，即。三、定圆问题动直线与定圆相切，是研究恒成立，或者联立方程恒成立，再按参数整理，令参数的系数为0，得到方程组，最后解方程组求出圆心与半径。例4 已知点在上，纵坐标为，求证：直线恒与一个圆心在轴上的圆相切，并求出圆的方程。解析：由题意知，所以直线的方程为，即，设圆的方程为，则恒成立，整理得，或，所以，或恒成立，故，或，解得，因此直线恒与一个圆心在轴上的圆相切，圆的方程为。点评：解答题解题步骤是：设圆的方程-化简或恒成立变量分离求圆心与半径写出定圆方程，如果是客观题，用特例法比较方便。变式4：已知直线总与一个定圆相切