第三章离散时间信号的傅里叶变换

1、第三章 离散时间信号的傅里叶变换课程：数字信号处理目 录第三章 离散时间信号的傅里叶变换2教学目标23.1引言23.2傅里叶级数CFS33.2.1傅里叶级数CFS定义33.2.2傅里叶级数CFS性质53.3傅里叶变换CFT63.3.1傅里叶变换CFT定义63.3.2傅里叶变换CFT的性质73.4离散时间信号傅里叶变换DTFT83.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义83.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质83.5周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)123.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义133.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质173.6离散傅里叶变换(DFT)193.6.1离散傅里

2、叶变换(DFT)193.6.2离散傅里叶变换的性质213.7CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系233.8用DFT计算模拟信号的傅里叶分析253.9实验28本章小结30习题31参考文献：34第三章 离散时间信号的傅里叶变换教学目标本章讲解由时域到频域的傅里叶变换，频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质，对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数(CFS)、连续时间信号的傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里叶变换(DTFT)、离

3、散时间傅里叶级数(DTFS)和离散傅里叶变换(DFT)它们相互间的区别与联系；掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响；了解信号处理中其它算法（卷积、相关等）可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。3.1 引言一束白光透过三棱镜，可以分解为不同颜色的光，这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出，一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜，信号即是那束白光。傅里叶的两个最主要的贡献：1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和；

4、2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。 根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数（Fourier Series）表示：如果输入信号为周期连续时间信号，则有连续时间傅里叶级数（continuous-time Fourier series, CTFS），如果输入信号为周期离散时间信号，则有离散时间傅里叶级数（discrete-time Fourier seri

5、es，DTFS）。非周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Fourier transform）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuous-time Fourier transform, CTFT），离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform，DTFT）。基础知识一、周期函数先从周期函数开始讨论。设一个函数ft是周期性的，周期为T，如果有一个T>0，ft=ft+nT, n=0,±1,±2,()使等式成立，则称T=20，T为的最小正周期。二、三角函数时间周期的经典例子是谐振荡器

6、，先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起：xat=Asin(2ft+)()在这个表达式中，参数A是振幅，频率是f，相位是。如果将上式采样，即：xn=xanTs=Asin2fTsn+=AsinTsn+()f为模拟频率，单位Hz，Ts为采样周期，单位秒s，=2f，为模拟角频率。关系表达式如下：=2fTs=2f/fs=Ts=/fs()三、复指数函数欧拉公式，因为：ej=cosx+jsinx ()所以正弦信号的复数形式数学定义如下：xt=ejk0t=cos(k0t)+jsin(k0t)()3.2 傅里叶级数CFS3.2.1傅里叶级数CFS定义傅里叶的思想是，所有的周期函数都可以表示为正弦信号的

7、加权和8，即：xt=a0+k=0ancosk0t+bnsin(k0t)()a0是常量，通常叫做直流分量（DC）。上式用复指数的形式可表示为：xt=k=-Xkejk0t()两边同时乘以e-jn0t，并从0到T积分，得到80Txte-jn0tdt=0Tk=-Xkej(k-n)0tdt=k=-Xk0Tej(k-n)0tdt ()再看：0Te-j(n-k)0tdt=0Tcosn-k0t-jsinn-k0tdt()这是一个周期为|Tn-k|的函数9，当n=k时，结果为1,，因此式（10）可以写成：0Txte-jn0tdt=XkTX(k)=1T0Txte-jk0tdt当nk时等式（10）的结果为0。因此傅

8、里叶系数Fourier coefficients可以写成：X(k)=1T0Txte-jk0tdt()故，其傅里叶变换对可以写为10Xk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdt ()xt=k=-+Xkej2kft()正交基和向量理解为了便于对傅里叶变换的理解，就要借用向量。首先复习几个概念。内积：对于两个向量，他们的内积就是各个分量相乘再求和。正交是内积为0的情况，在二维空间上可以理解为垂直。例如，在三角函数系中1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, .，任意两个不同元素的内积都为零，因此这个集合成为正交集合。空间：如果该空间的任意元素进行加法和乘法计算后的结果仍然

9、属于该空间，那就组成一个向量空间。如果空间内有一个子集合，子集合的元素两两正交，那该子集合就是向量空间的基。上面用于展开傅里叶级数的e-jk0可以看成是一组正交的基。所以对于傅里叶展开来说，任何正交的空间，都可以作为展开的基函数，三角函数和复指数只是其中一类基函数。简单地说傅里叶变换就是把信号投影到基上。对于任意的实信号，我们都可以看做是一些不同频率的正弦波和余弦波的叠加。这时候，我们求这个信号和傅里叶基内积4：<xt，e-jk0t>=0Txte-jk0tdt()就得到了傅里叶变换的定义。频域的图像表达以矩形波的傅里叶变换来描述信号在频域上的图像表示方法：纵坐标 Xk为复谐波函数e

10、j2kFt幅度，横坐标k为谐波序号10。复谐波函数之和即形成原函数。 【例3.2.1】图3.2.1是一周期矩形信号，周期为T；显然，它满足狄利克雷条件。由(3.2.3)式可知，其傅里叶系数是一离散sinc函数，其中=0.2T，T=1，A=5，0=2PI/T。图3.2.1 周期方波信号及其傅里叶系数Figure 3.2.1 Periodic square wave signal and its Fourier coefficients3.2.2傅里叶级数CFS性质1. 线性：xt+y(t)FSXk+Yk()2. 时移：xt-t0FSe-j2kf0t0Xk()3. 时间反转: x-tFSX-k()

11、4. 时间尺度变换：zt=x(at)()a. TF=T0a()Zk=Xk()zt=xat=k=-Zkej2akf0t()b. TF=T0()Zk=Xka ka是整数 0 其他()zt=xat=k=-Zkej2kf0t5. 时域微分：ddtxtFSj2kf0Xk0()6. 时域积分：-tx()dFSj2kf0Xk()7. 乘积-卷积对偶性: xtytFSXk*Yk ()8. x(t)周期卷积ytFST0XkYk()9. 共轭：x*tFSX*-k()10. 帕塞瓦尔定理: 1T0T0x(t)2dt=k=-X(k)2()3.3 傅里叶变换CFT3.3.1傅里叶变换CFT定义上节讨论了周期信号的傅里叶

12、级数，接下来我们要从傅立叶级数过渡到傅立叶变换。我们可以将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号。首先建立一个简单的、特殊的并且很重要的信号矩形波，并且让这个信号为周期信号，周期为T：TT2T1xt=1, &|t|<T10, &T1<|t|<T2我们可以算出此信号的傅里叶系数X(k)=1T-T2T2e-jk0t 1 dt=1nsin(2kTT)在T时，建立函数9xt=xt, &|t|<T20, &t>T2X(k)=1T-T2T2e-jk0t xt dtX(k)=1T-e-jk0t xtdtTX(k)=-e-jk0t xtdt根据上面傅

13、里叶变换对的公式可以得到xt=k=-+1T-e-jk0t xtdtejk0t因为T=20，上式可以写成xt=12k=-+-e-jk0t xtdtejk0t0当T,00，则limTx(t)=xt=12-e-jk0t XdX=-e-jk0t xtdt其傅里叶变换对为：Xf=-+x(t)e-j2ftdt ()xt=12-+X(f)ej2ftdw ()特别强调的是信号还需满足如下的狄利克雷(Dirichlet)条件：1、 信号绝对可积。2、 在同一个周期内，间断点的个数有限；3、 极大值和极小值的数目有限；3.3.2傅里叶变换CFT的性质1. 线性：xt+y(t)FX(f)+Y(f) xt+y(t)F

14、X(j)+Y(j)2. 时移：xt-t0Fe-j2ft0X(f) xt-t0Fe-jt0X(j)3. 频移：x(t)ej2f0tFX(f-f0) x(t)ej0tFX(j(-0)4. 时间尺度变换： x(at)F1aX(fa) x(at)F1aX(ja)5. 频率尺度变换： 1ax(ta)FX(af) 1ax(ta)FX(ja)6. 共轭变换：x*tFX*(-f) x*tFX*(-j)7. 乘积 - 卷积对偶性： x(t)*y(t)FX(f)Y(f) x(t)*y(t)FX(j)Y(j) x(t)y(t)FX(f)*Y(f) x(t)y(t)FX(j)*Y(j)8. 微分性质：ddtxtFj2

15、fX(f) ddtxtFjX(j)9. 调制： xtcos2f0tF12Xf-f0+Xf+f0 xtcos0tF12X(j-0)+X(j+0) 10. 周期信号变换：xt=k=-Xke-j2kfFtFXf=k=-Xk(f-kf0) xt=k=-Xke-jkFtFXf=2k=-Xk(-k0)11. 帕塞瓦尔定理：-x(t)2dt=-X(f)2df -x(t)2dt=12-X(j)2df12. 冲击函数的定义：-e-2xydy=(x) 13. 对偶性： X(t)Fx(-f) X(-t)Fx(f) X(jt)F2x(-) X(-jt)F2x()14. 利用傅里叶变换得到总面积: X0=-xtdt x

16、0=-X(f)df15. 积分：-tx()dFX(f)j2f+12X(0)(f) -tx()dFX(j)j+X(0)()3.4 离散时间信号傅里叶变换DTFT3.4.1离散时间信号傅里叶变换DTFT定义在第二章讨论过序列的傅里叶变换对5，即Xejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw离散时间信号指在离散时间变量时有定义的信号。如果把序列看成模拟信号的抽样，抽样时间间隔为T，抽样频率为fs=1T，s=2T,则离散信号可以表示为xn=xanTs=xaT|t=nTs()表明离散信号仅在t=nTs有值，在其他时刻没有。3.4.2离散时间信号傅里叶变换的性质本节讨论DTFT的一

17、些性质，xn和yn是两个离散时间信号，其离散傅里叶变换是X(F)和Y(F)，那么一下的性质成立。一、 线性令的DTFT分别是，并令则()xt+ytFXj+Y(j)()二、 时移令，则，即 x(t-t0)FX(j)e-jt0()三、 奇、偶、虚、实对称性质设x(n)为一复信号，将x(n),都分别写成实部和虚部的形式即()由DTFT正，反定义的定义可得()如果x(n)是实信号，即=0，由于，分别是的偶函数和奇函数，可得下述结论。1) 的实部是的偶函数，即()2) 的虚部是的奇函数，即()把上面两式结合起来，可得实信号DTFT的Hermitian对称性，即3) 的幅频响应是的偶函数，即()式中，。4

18、) 的相频响应是的奇函数，即()5) 由于，都是的偶函数，且，有()即积分只要从0到即可。6) 若x(n)再是偶函数，那么 ()以上三式说明，若x(n)是以n=0为对称的实偶信号，那么其频谱为实值，其相频响应恒为0，因此，x(n)可有上式的简单形式来恢复，当然，如果x(n)不是以n=0为对称，那么将具有一线性相位。7) 若x(n)是实的奇函数，则 ()四、 时域卷积定理若，则()证明：因为所以。五、 频域卷积定理若，则()证明：因为变换积分与求和的次序，有所以。六、 时域相关定理若y(n)是x(n)和h(n)的相关函数，即，则()证明：因为所以七、 Parseval(巴塞伐)定理(3.4.20

19、)()八、 Wiener-Khinchin(维纳-辛钦)定理若x(n)是功率信号，其傅里叶变换()若上式右边极限存在，则称该极限为功率信号x(n)的功率谱，即()此式称为确定信号的维纳-辛钦定理，它说明功率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一堆傅里叶变换。【例3.4.1】 求下面离散时间傅里叶变换的逆变换。XF=rect50F-14+rect50F+14*comb(F)【解】：先查表Fsincn= rect(F)*comb(F)F150sincn50=rect(50F)*comb(F)对应上式的频移性质，Fej2F0nxn=X(F-F0)Fejnn150sincn50=rect(50(F-1

20、4)*comb(F)Fe-jnn150sincn50=rect(50(F+14)*comb(F)最后将上面的两个式子合并并简化：原式子的反傅里叶变换是sinc(n50)cos(n2)25【例3.7.3】根据累加性质和冲激函数的离散时间傅里叶变换，求xn=rectNn的傅里叶变换。【解】：xn的一阶后向差分是xn-xn-1=n+N-n-(N+1)因为Fn+N-n-N+1=ej2FN-e-j2F(N+1)根据离散时间傅里叶变换的积分性质和矩形脉冲信号的一阶差分序列的和为零的事实，有Fxn=ej2FN-e-j2F(N+1)1-e-j2F=e-j2Fe-j2FejF(2N+1)-e-jF(2N+1)F

21、xn=sin(F(2N+1)sin(F)=2N+1drcl(F,2N+1)【例3.7.4】求如下离散时间余弦函数的傅里叶变换。xn=Acos(n2)【解】：根据定义XF=n=-xne-j2Fn=n=-Acosn2e-j2Fn=A2n=-(ejn2+e-j(n2)e-j2FnXF=A2n=-(ej2(14-F)n+ej2(-14-F)n)或Xj=An=-(ej(2-)n+ej(-2-)n)根据n=-ej2xn=comb(x)并考虑到梳状函数是偶函数，有XF=A2combF-14+combF+14或者根据梳状函数尺度变换的性质，Xj=Acomb-2+comb(+2)因为xn是周期性的，所以可以得到

22、它的离散时间傅里叶级数的谐波函数Xk=1N0n=<N0>xne-j2(kF0)n=A4n=<N0>cos(n2)e-j(kn2)Xk=A21-e-jk=A4e-jk2(ejk2-e-jk2)Xk=jA4e-jk2sin(k2)当k是偶数时，表达式为0，当k是奇数时表达式值为A4，这些值刚好是冲击函数XF在-34,-14,14,34时的冲激强度。这个结果显示了离散时间傅里叶级数其实只是离散时间傅里叶变换的特例，就像连续时间的傅里叶级数是连续时间傅里叶变换的特例一样。如果一个离散时间信号时周期性的，他的傅里叶就相当于由一些冲激组成，这些冲激的强度等于它的离散时间傅里叶变换谐

23、波函数在谐波频率上的值。3.5 周期序列的离散傅里叶级数 (DFS)当用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而计算机输出所得到的频谱值也是离散的。计算机无法处理周期信号，而上面介绍的几种傅里叶变换形式中，或者信号的时域是连续的，或者信号的频谱是连续的，均不适合计算机进行计算。若要使用这几种形式计算机进行计算，必须针对每种情况，或者在频域取样，或者在时域取样。其最后结果都将使原时间函数和频率函数二者都成为周期离散的函数。因此，他们都可以变成一种形式离散傅里叶级数1。3.5.1周期序列的离散傅里叶级数的定义回顾一下，对于周期信号，通常都可以用傅里叶级数来描述，可用指数形式

24、的傅里叶级数来表示，即xn=k=-+X(k)ejkt (51)可以看成信号被分解成不同次谐波的叠加，每个谐波都有一个幅值，表示该谐波分量所占的比重。其中K任意整数k=0k；0基频角频率，0=2/T；X(k)傅里叶系数。我们在x(n)上加以表示周期性的上标，周期为N的周期序列，其有如下性质：=（r为任意整数） (52)用指数形式的傅里叶级数表示应该为= (53)其中0=2/N，是基频分量的角频率，基频序列为。下面来分析一下第(K+rN)次谐波和第(k)次谐波之间的关系。将0=2/N，代入表达式中，得到=（r为任意整数） (54)这说明第(K+rN)次谐波能够被第(k)次谐波表示，也就是说，在所有

25、的谐波成分中，只有N个是独立的，用N个谐波就可完全的表示出.因此，对于离散傅里叶级数，我们只取K=0到k=N-1的N个独立谐波分量，即= (55)式中是一个常用的常数，选取它是为下面表达式的成立的需要，是K次谐波的系数。下面我们根据来求解，这需要用到一下的性质，即复指数的正交性： (56)注意该表达式是对n求和，而表达式的结果取决于(k-r)的值。在=两边都乘以，并且从n=0到n=N-1求和，得到 (57) 交换求和顺序，再根据前面证明的正交性结论可以得出： (58)将变量r换成k，则有= (59)从的表达式可以看出也是周期为N的周期序列，即= (60)则有周期序列的傅里叶级数对， (61)在

26、上面的傅里叶级数对中，n和k的范围是从(- )。为了表示的方便，一般书上常采用一下符号（N表示周期） (62)则(62)可以表示成正变换 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk (63)反变换 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk (64) DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变换。针对上面的级数对，讨论如下内容：1) ，以N为周期。，；2) 只对序列的一个周期的值进行求和，但求出的或却是无限长的；3) 由以N为周期推导出以N为周期；4) 对于周期序列=，因为Z变换不收敛，所以不能用Z变

27、换，但若取的一个周期，则Z变换是收敛的。，当取时，而，当时，=，这相当于在=0到=2的范围内，在N个等间隔的频率上以2/N为间隔对傅里叶变换进行采样。5) 引入主值序列的概念，即序列在0N-1区间的序列称为主值序列。【例3.5.1】 求的DFS系数。【解】：设为周期冲激串=，对于0nN-1，=，可以求出=1，即对于所有的k值，均相同。表示成级数形式为=。(65)又设的周期为N=10，在主值区间内，0n4时，=1，在5n9时，=0。画出的图形，则=，画出的幅值图。(0)=5，(±1)=3.23，(±2)=0，(±3)=1.24，(±4)=0，(±

28、5)=1，(±6)=0，(±7)=1.24，(±8)=0，(±9)=3.23，这是一个周期内的值。设n取514，即不是取主值周期，随便取一个周期(在主值周期外随便取一周期)，计算傅里叶级数，得到的结果和在主值周期中的结果一样。下面计算有限长序列=的傅里叶变换。=， (66)如果将=2k/10代入上式，则结果和一样。的幅度一个周期图如下所示：图3.5.1幅度的周期图Figure 3.5.1 Period graph of the amplitude可以看出相当于在=0到=2的范围内，以2/10的频率间隔在10个等间隔的频率上对傅里叶变换进行采样。【例3.5

29、.2】 从例题3.5.1中得到这样一个结论，对于以N为周期的周期序列，任取一个周期求得的傅里叶系数与在主值区间(n=0N-1)中求得的傅里叶系数相同。现在已知的周期为N，=，=，m1=rN+n1，m2=rN+n1+N-1，0n1N-1，证明=。证明：=(令n-m=rN或m=n-rN)=(后一个分量作变量m-N=n)=。【例3.5.3】设一序列的周期为N，其DFS系数为。也是周期为N的周期序列，试利用求的DFS系数。解：= =，所以=。用k替换上式中的r，即Xk=Nx(-k)3.5.2周期序列的离散傅里叶级数的性质离散傅里叶级数很多性质和Z变换的性质相似，而DFS是和周期性序列联系在一起，所以它

30、们存在一些重要差别。另外，在DFS表达式中时域和频域之间存在着完全的对偶性，而在序列的傅里叶变换和Z变换的表示式中这一点不存在。考虑两个周期序列、，其周期均为N，若，(1) 线性a+ba+b，周期也为N。由定义式证明。(2) 序列的移位 ，那么。证明： = (3) 调制特性因为周期序列的傅里叶级数的系数序列也是一个周期序列，所以有类似的结果，为整数，有。证明：。(4) 对称性给出几个定义：1) 共扼对称序列满足的序列。2) 共扼反对称序列满足=的序列。3) 偶对称序列、奇对称序列若和为实序列，且满足=和=，则被称作偶对称序列和奇对称序列。4) 任何一个序列都可表示成一个共扼对称序列和一个共扼反

31、对称序列之和(对实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和)。即有=+，其中=(+)/2，=(-)/2 下面为对称性： ；=(+)/2 证明：=(任意一个周期的DFS系数和主值区间中的DFS系数是一样的)=；=， (67)+=，(68)(5) 周期卷积如果=·，则=， (69)这是一个卷积和公式，但与线性卷积有所不同，首先在有限区间0mN-1上求和，即在一个周期内进行求和；对于在区间0mN-1以外的m值，的值在该区间上周期地重复。周期卷积与线性卷积的区别为：（1） 周期卷积中参与运算的两个序列都是周期为N的周期序列；（2） 周期卷积只限于一个周期内求和，即m=0,1,N-1；（3） 周期

32、卷积的计算结果也是一个周期为N的周期序列。3.6 离散傅里叶变换(DFT)3.6.1离散傅里叶变换(DFT)离散傅里叶级数变换是周期序列，但是在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工作时，对信号的要求是：在时域和频域都应是离散的，且都应是有限长。离散傅里叶级数虽然是周期序列却只有N个独立的复值，只要知道它一个周期的内容，其他的内容也就知道了。即把长度为N的有限序列x(n)看成周期为N的周期序列的一个周期，这样利用离散傅里叶级数计算周期序列的一个周期，也就是计算了有限长序列2。设为有限长序列，长度为N，即只在n=0,1,N-1时有值，其他n时，=0。我们把它看做是周期为N的周期序列的一个周

33、期，而把看成是以N为周期的周期延拓，表达式为 xn=xn (0nN-1)0 (n为其他值)或 xn=xnRN(n)式中RNn=1 (0nN-1)0 (n为其他值)为矩形截断序列，而=(-<n<+) (70)也可写成=或 (71)(n)N称为余数运算表达式，或称为取模运算(mod)，如果(n)N=n1，则表示n、n1和N之间的关系为n=n1+rN(其中r为任意整数)。我们用表示xn以N为周期的周期延拓序列。【例】是周期为N=9的序列，求n=25对N的余数。解 因为 n=25=29+7故 (25)9=7x25=x(25)9=x(7)通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”

34、，相应的称xn是的“主值序列”。同理，对频域的周期序列也可以看做是有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)看做是周期序列的主值序列，即=，= (72)从DFS和IDFS的表达式看出，求和只限定在n=0到N-1及k=0到N-1的主值区间进行，故完全适用于主值序列xn和X(k)。回顾DFS和IDFS的表达式正变换 Xk=DFSxn=n=0N-1xne-j2Nnk=n=0N-1xnWNnk反变换 xn=IDFSXk=1Nn=0N-1Xkej2Nnk=1Nn=0N-1XkWN-nk从而得出新的定义，即有限长序列的离散傅里叶变换为正变换 X(k)=DFTxn=n=0N-1xnWNnk (73)

35、反变换 xn=IDFTX(k)=1Nn=0N-1X(k)WN-nk (74)DFT表示离散傅里叶级数正变换，IDFT表示离散傅里叶级数反变换。由此看出有限长序列的离散傅里叶变换及周期序列的离散傅里叶级数之间的关系：它们仅仅是n、k的取值不同，DFT只取主值区间的值。注意：对于有限长序列时域和频域的关系式中蕴含有周期性，从关系式=，=可以看出其实有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示，隐含有周期性意义。当利用=式子来计算时，如去掉后缀，那么对于0nN-1之外的n，并不等于零，而是的周期延拓。只是我们感兴趣的的值只是在0nN-1区间内，因为在该区间之外的确为零，并且认为所感兴趣的值也只是在区间

36、0kN-1内，因为在式子=中只需要这些值。隐含周期性：假设长为N的序列是由对x(t)取样得来的，则频域上已经意味着以为周期作周期延拓。现对频域作等间隔取样，则时间序列按周期N延拓为，因此利用DFT对的时间序列展开，相当于对此序列作周期性处理。DFT是连续傅里叶变换的近似且便于计算机计算 离散傅里叶变换可以看成是连续数在时域、频域取样构成的变换。只要取出的一个周期，乘以相应的内插函数就可以恢复原连续函数。对频域也可以取出的一个周期，乘以相应的内插函数就可以恢复原连续频域函数。DFT变换对可以唯一的确定的一个周期及的一个周期。及都是长度为N的序列，都有N个独立复值，因而具有的信息是等量的，给他们乘

37、以相应的内插函数后，复原的连续函数也就确定了，因而离散傅里叶变换可以看做是连续傅里叶变换的近似。及都是有限长序列，便于计算机计算，这样对连续函数的处理就可以代之以离散取样的处理。这就是为什么要采用离散傅里叶变换的原因。【例3.6.1】 为了说明有限长序列的DFT，考虑有限长序列=1，0n4，=0，n为其它值时。在确定DFT时，我们可以将看作是一个长度5的任意有限长序列(如长度为6或10等等)。设想为长度N=5的序列，周期序列在所有n上取值都为1。根据公式，可以得到：=， (3.6.5)即只有在k=0和k=N的整数倍处才有非零的DFS系数。画出图3.6.1。在上面的图中画出对应的采样值。的5点D

38、FT对应于抽取的一个周期而得到的有限长序列。画出图形。只有在k=0时，有一个值为5，其它点上为0。如果考虑将换成长度N=10的序列，则基本的周期序列情况为：的一个周期中，0n4时，=1，5n9时，=0，然后开始下一个周期。这时得到的上图中02中进行等间隔采样的10个点。图3.6.1周期序列的DFTFigure 3.6.1 DFT of the periodic sequence Matlab实现： 如图是对于离散序列xn=cos(2n/5)的20点的离散傅里叶变换的幅值谱，调用的matlab函数是fft：3.6.2离散傅里叶变换的性质由于DFT是从DFS中得来的，所以很相像，都是根据有限长序列

39、DFT的隐含周期性得出。(1) 线性注意特殊情况下如何定线性组合后序列的长度。以长度大的为周期。(2) 序列的圆周/循环移位定义：1) 与线性移位、周期移位作比较2) 理解：l 将拓成，将右移m位得=，取主值；l 一端出另一端进，因为是有限长；l 均匀分布在一个圆上，顺时针或逆时针旋转(3) 圆周/循环移位定理若DFTx(n)=X(k), ，则DFTy(n)=X(k)形式与DFS的周期移位相同，表明序列圆周移位后的DFT为乘上相移因子，即时域中圆周移m位，仅使频域信号产生的相移，而幅度频谱不发生改变，即|=|。(4) 对称性和DFS中讨论的相似，都是按照DFS来解，然后取主值区间值即可。读者请

40、对着书把这些性质自己推导一遍。(5) 圆周卷积和/循环卷积定理和的长度都为N，如果Y(k)=，则， (75)根据定理可以求出圆周卷积，当然求圆周卷积，可以借助DFT来计算，即IDFTY(k)=y(n)。可见圆周卷积与周期卷积的关系，在主值区的结果相同，所以求圆周卷积是可以把序列延拓成周期序列，进行周期卷积，然后取主值的方法来求。也可以根据圆周移位的理解来做，见下面例题：【例3.6.2】令为长度是N的有限长序列，且=，则可以看作为一个长度为N的有限长序列，定义为=，如果=，则=，即是在0nN-1内顺时针旋转n0个取样间隔得到的序列。将放在一个内圆周上，将放在外圆周上，零点重合，然后进行顺时针旋转

41、，看结果。与上面分析一样的结果。【例3.6.3】 =，若N=L，则N点DFT为，如果将X1(k)和X2(k)直接相乘，得 =，由此可得=N，0nN-1。也可以画图旋转来解答。以上两个例题都是根据DFT来计算圆周卷积，用定义式无疑较难，用图形旋转功能也有限。考虑上面的例2，我们可以把和看作是2L点序列，只要增补L个零即可。现在来计算增长序列的2L点圆周卷积。计算出结果。然后计算一下和的线性卷积，看结果与前面2L点圆周卷积结果关系。假设L=4，则2L=8，则线性卷积和根据定义式有y(n)=，0m3,0n-m3,得出0n6。当0n3时,0mn，y(n)=n+1；当4n6时，n-3m3，y(n)=7-

42、n。计算8点圆周卷积，结果和线性卷积一样。后面我们会证明一般情况下的结论。 3.7 CFS、CFT、DTFT、DFS和DFT的区别与联系CFS：傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点 。CFT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。 DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连

43、续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。 DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出每个主值在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。DFT：离散时间傅里叶变换，离散周期序列信号DFS的主值序列。连续时间傅里叶级数把一个连续时间信号转换成了一个离散谐波数列Xk，而连续时间傅里叶变换把一个连续时间信号转换成了一个连续频率函数。他们都把原信号从时域信号变成另外一种形式，但是所包含的信息不变，傅里叶级数的一个显著缺点就是它只能描述无限时间的周期信号。傅里叶变换就是为了使其能够描述所有周期和非周期的无限信号而导出的，因而是对傅里叶级数的一种拓展。表一：几种

44、傅里叶信号对比图变换对时域频域CFSXk=1T0-T0/2T0/2x(t)e-j2kftdtxt=k=-+Xkej2kft连续周期非周期离散CFTXf=-+x(t)e-j2ftdtxt=12-+X(f)ej2ftdw连续非周期非周期连续DTFTXejw=n=-+Xne-jwnxn=12-+X(ejw)ejwndw离散非周期周期连续DFSXk=n=0N-1xne-j2Nnkxn=1Nn=0N-1Xkej2Nnk离散周期周期离散DFTX(k)=n=0N-1xnWNnk xn=1Nn=0N-1X(k)WN-nk离散非周期非周期离散在下图中我们可以更好的理解上述区别及联系可以看出，时域的连续函数照成频

45、域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数相对应；时域的连续造成频域是非周期的谱，而时域的非周期性造成频域是连续的谱密度函数；时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续11。3.8 有限长序列的线性卷积和圆周卷积周期卷积与线性卷积的区别为：（4） 周期卷积中参与运算的两个序列都是周期为N的周期序列；（5） 周期卷积只限于一个周期内求和，即m=0,1,N-1；（6） 周期卷积的计算结果也是一个周期为N的周期序列。已知N，M，作线性卷积y(n)=x1(n)*x2(n)= ，其中0mN-1，0n-mM-1，得出0nM+N-2，即y(n)长度最大为M+N-1。对、

46、分别补零，使之长度为L，然后进行L点周期卷积(圆周卷积等于周期卷积的主值区间)。这样有：=，=，则进行周期为L的周期卷积得= = =(求和之在一个周期，所以x1(m+qL)中只能取q=0) =， (3.7.1)上式说明了有限长序列、的线性卷积的周期延拓构成了周期序列、的周期卷积，其中和分别是由有限长序列、形成的。这要L满足一定条件，线性卷积就等于周期卷积的主值周期，而这也正好是圆周卷积的结果。也就是说，只要LN+M-1，线性卷积就等于圆周卷积。写出线性卷积和圆周卷积的定义式。因为在实际情况中，处理的多半是信号通过一个线性时不变系统，求输出的信号形式。即实际情况中常常要求线性卷积，而知道圆周卷积

47、可以在某种条件下代替线性卷积，并且圆周卷积有快速算法，所以常利用圆周卷积来计算线性卷积。3.9 用DFT计算模拟信号的傅里叶分析DFT的主要应用之一就是分析连续时间信号的频率成分，如在语音的分析和处理中语音信号的频率分析有助于音腔谐振的辨识与建模。那么要求我们知道在DFT中代表的频率成分有哪些。有一模拟信号(可以是非周期信号，也可以是周期信号)，我们要用DFT来分析它的频率成分。先对该信号作等间隔采样(如果是非周期信号，则进行截断，取有限长；周期信号，则取一个周期进行采样)，采样周期为T，采样率fs=1/T，得到x(nT)。时域离散对应频域的周期延拓，周期为，其实这时的频域曲线就是序列的傅里叶

48、变换X(ejw)。s是模拟域角频率，对应的数字域角频率为w=s，T=2。频率是连续的、周期的，为得到X(k)，只需对频率进行等间隔采样即可。取出一个周期，对一个周期进行N点采样。让w=(2/N)k就可以得到X(k)。这样两个离散点间间隔用频率表示为：w0=t，这是数字基频3。图3.9.1利用DFT对连续时间傅里叶变换逼近的全过程Figure 3.9.1 Process of approaching to the continuous time Fourier Transform using DFT 频域的离散对应时域的周期延拓，周期为。x(n)d(n)是一个有限长序列，令为x(n)，则周期延拓

49、后得到的序列(周期为N)有关系：=，将与时间有关的量换为nT或NT，则周期为NT=N/fs=T0。利用DFT计算连续时间信号时可能出现的几个问题:1) 频率响应的混叠失真抽样定理要求，一般取。如不满足该条件，则会产生频域响应的周期延拓分量重叠现象，即频率响应的混叠失真。根据=fs/N，若增加fs，而N固定时，则fo要增加，导致分辨率下降。反之，要提高分辨率，即fo减小，当N给定时，则导致fs的减小。若想不发生混叠，则要减小fh。这样要想兼顾fh和fo，只有增加N。得到，这是实现DFT算法必须满足的最低条件。2) 频谱泄漏实际情况下，我们取的信号都是有限长的，要把信号x(n) 采取截断数据的过程

50、，即对原始序列作加窗处理(见上面的图)使成为有限长。时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个窗函数。时域两函数相乘，在频域是其频谱的卷积。信号的频谱与窗函数的卷积必然产生拖尾现象，造成频谱泄漏。减小泄露的方法，可以取更长的数据，这样与原始数据就越相近，缺点运算量加大；可以选择窗的形状，从而使窗谱的旁瓣能量更小。后面我们会学到。3) 栅栏效应DFT上看到的谱线都是离散的，而从序列的傅里叶变换知道谱线是连续的，所以相当于是看到谱的一些离散点，而不是全部。感觉像是透过栅栏看到的情景，称为栅栏效应。减小栅栏效应的一个方法就是要是频域抽样更密，即增加频域的抽样点数N，在不改变时域数据的情况下，必

51、须在时域数据的末端添加一些零点。4) 频率分辨率增加分辨率只有通过加大取样点N，但不是补零的方式来增加N，因为补零不是原始信号的有效信号。此处，增加采样点数不是指通过增加采样频率来增加，而是通过延长采样时间来增加采样点数。如果不延长采样时间，仅仅增加采样频率并不能增加其物理的频域分辨率。吉布斯现象 Gibbs phenomenon若用x(t)表示原始信号，xN(t)表示有限项傅立叶级数合成所得的信号，发现有趣的现象是方波的xN(t)在不连续点附近部分呈现起伏，这个起伏的峰值大小似乎不随 N 增大而下降。吉布斯证明：情况确实是这样，而且也应该是这样。随着N 增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不变 ，这就是吉布斯现象。3.10 实验【例34】设x(n) = R5(n) ,将x(n) 以N = 10为周期作周期延拓，得到的周期信号如图33所示，求的DFS12。图33 周期序列【解】：由定义式(325)，得 = DFS = = = = = = = 其幅度特性如图34所示。本例的MATLAB程序如下：图34 周期序列的DFS变换幅度特性N = 10； %序列周期n = 0:N - 1; k = 0:N - 1;xn = ones(1,5),zeros(1,5); %由ones和ze