模块九下2定理

1、定理【知识精要】AD定理：圆内接四边形中，两组对边的乘积之和等于两条对角线的乘积即圆内接四边形 ABCD 满足，AC BD = AB CD + AD BC 证明：如图，在 BD 上取点 E ，使得BAE = CAD ，A 、 B 、C 、 D 四点共圆，ABE = ACD ，又BAE = CAD ，DABE DACD ，OBCAD AB = BE ACCD，即 AB CD = AC BE ，E OB又BAC = EAD ， ACB = ADE ， DABC DAED ，C BCAC ，即 BC AD = AC DE ，=DEAD+ 可得，AB CD + AD BC=AC (BE + DE )

2、= AC BD ，故定理得证其中定理的逆用来证明四点共圆，即：若四边形 ABCD 满足 AC BD = AB CD + AD BC ，则四边形为圆内接四边形定理：任意凸四边形 ABCD 中，均有 AC BD AB CD + AD BC 广义证明：如图，在四边形 ABCD 内取点 E ， 使得BAE = CAD ， ABE = ACD ， 连接 AE 、 BE 、 DE ，则有，DABE DACD ，ADE AB = BE ACCD又 AB = AE，即 AB CD = AC BE ，CB， BAC = EAD ，ACAD DABC DAED ， BCAC ，即 BC AD = AC DE ，=

3、DEAD+ 可得，AB CD + AD BC=AC (BE + DE ) AC BD ，当且仅当 E 在 BD 上时等号成立，此时 A 、 B 、C 、 D 四点共圆1【典型例题】（2011 上海中学自招）如图，已知锐角DABC 中， BAC = 45 ， CE 、 AD 分别是边 AB 、BC 上的高，联结 DE ，求证：AD - CD = 2DE 1.A【名师点拨】本题求证线段之间的等量关系，可考虑将CD 、AD 转化到同一直线上比较，也可以运用题中CE 、AD 分别为高的条件，对于圆内接四边形 AEDC 用定理解决问题下面提供两种解法以供参考E【】略BCD【】解法一：三角形全等如图，过点

4、 E 作 ED 的垂线交 AD 于点 F ， 已知CE AB ， AD BC ， EF ED ，EAF + ABD = ECD + ABD = 90 ，EAF = ECD ，同理可证AEF = 90 - FEC = CED ， 又BAC = 45，EAC = ACE = 45 AE = CE ，DAEF DCED ，EF = ED ， AF = CD ， AD - CD = FD = 2DE 得证；AFEBCD解法二：定理AEC = ADC = 90 ，A 、 E 、 D 、C 四点共圆，对四边形 AEDC 用定理有，AE DC + DE AC = AD EC ，ACE = CAE = 45

5、， AE = EC =2 AC ，2 2 AC DC + DE AC = AD 2 AC ，2 AD - CD = 2DE 得证2已知 D 为正DABC 外接圆上劣弧 BC 上一点，求证： AD = BD + CD A2.【】略【】由得，AD BC = AC BD + AB CD ， 而 AB = BC = AC ， AD = BD + CD BCD2a、b、x、y 为正实数，且 a2 + b2 = 1， x2 + y2 = 1，求证： ax + by 1 3.【】略】构造四边形 ABCD 内接于直径 BC = 1 的圆，A【且 AB = a ， AC = b ， CD = x ， BD =

6、y ，由得，AD BC + AC BD = AB CD ，AD 1 = ax + by ，圆中的弦 AD BC = 1 ， 即 ax + by 1 BCD已知DABC 如图，以 BC 为一边4.作等边三角形 BCD ，（1） 当 AB = 2 ， AC = 3 ， BAC = 120 时，求 AD 的长；（2） 当 AB = a ， AC = b ， BAC 不定时，求 AD 长度的最大值D【名师点拨】本题的模型为定理中的常见结论，即对于圆内接四边形 ABCD ，当DBCD 为正三角形时，AD = AB + AC ，且 AD 过DABC 的内心B】（1） 5 ；（2） a + b 】（1）已知

7、 DBCD 为等边三角形，【CA【BDC = 60 ，又 BAC = 120 ，BAC + BDC = 180 ，A 、 B 、 D 、C 四点共圆，对圆内接四边形 ABDC 用AD BC = AB CD + AC BD ，BC = BD = CD ， AD = AB + AC = 2 + 3 = 5 ；定理有，（2）当 AB = a ， AC = b ， BAC 不定时，A 、 B 、 D 、C 不一定四点共圆，根据广义AD BC AB CD + AC BD ，BC = BD = CD ， AD AB + AC = a + b ，定理有，当且仅当 A 、 B 、 D 、C 四点共圆时，即BAC = 120 时，取到最大值3（2015 新知杯）如图，在DABC 中， BC = a ，5.DCA = b ，ACB = 60 ，DABD 是正三角形， P 是其中心，求CP 的长度AP3 (a + b) 【】3CB【】如图，连接 AP 、 BP ，DABD 是正三角形， P 是其中心，APB = 2ADB = 120，又A