勾股定理错题汇集

1、勾股定理错题汇集1 学校草坪上要空出一块直角三角形的地种花，已知这个直角三角形的两边长分别为4米和5米，那么这块直角三角形空地的面积为 米2 .学生分析解答:因为是块直角三角形空地，由勾股定理可得,324 52，所以第三条边长为3米，此时直角形三角形空地的面积：丄3 4=6 (米2 )2教师点评：由于不能正确理解勾股定理的内涵一一两条直角边的平方和等于斜边的平方以及受 3, 4, 5勾股数的影响，导致了错误。在直角三角形中， 要弄清哪个是直角，从而确定哪条是斜边，才能写出正确的勾股定理表达式。 正确解答：此题要分两种情况：(1 )当已知的4和5两边中有一条为斜边，贝U 5是斜边，由勾股定理，另

2、一直角边的长为.52 -42 -3，此时三角形空地的面积 1 3 4=6 ；2(2 )当已知的4和5两条边都是直角边时，此时三角形空地的面积为1-4 5=10 2故这块直角三角形空地的面积为6米2或10米2 2.已知，在 ABC中，AB =20, AC =15 , BC边上的高为12,则BC 边的长为.学生分析解答：先画出图形(如图1)在两个直角三角形中分别用勾股定理求BD和CD的图1长再相加即可.在Rt ABD中，由勾股定理得，BD2 二 AB2 -AD2 = 202 -122 = 256，贝U BD =16 ；在Rt ACD中，由勾股定理得，CD2 =AC2 -AD2 =152 -122

3、=81，贝U CD =9 ；所以 BC = BD CD =16 9 =25 .教师点评：学生分析问题的思路清晰，方法正确，在直角三角形中两次利用勾股定理进行计算。但是由于思维定势影响，就借助了 “顺手”画出的锐角 三角形解决问题，而忽略了钝角三角形其高在形外的这种情形，因此导致漏解错误的发生。解决这类无图问题时， 在借助图形分析的同时， 要考虑解的 多种可能性，避免漏解.正确解答：此题要分两种情况：(1) 如图1,在Rt ABD中，由勾股定理，2 2 2 2 2BD 二 AB -AD =20 -12 = 256，贝U BD =16在Rt ACD中，由勾股定理得，2 2 2 2 2CD =AC

4、-AD =15 -12 =81，贝CD =9 ； 所以 BC 二 BD CD =16 9 =25 .(2) 如图 2,同(1)可求得 BD =16 , CD =9 ,所以 BC = BD -CD =16 -9 = 7 .综上，BC边的长为25或7.3如图3,等腰 ABC中，AB=AC=10，底边BC=12，求一腰上的 高CH的长.学生分析解答：因为CH _ AB ,在Rt ACH和Rt ACH中，由勾股定理ac2-ah2=ch2 , bc2-bh2=ch22222因此 10 -AH =CH , 12 - BH =CH教师点评：学生借助图形，分析在已知的两个直角三角形中利用勾股定理完全正确。但是

5、为什么最后这个题做不下去了？因为AH或BH的长度不知道，未知线段多导致学生在解题过程中的无序进而无法求得解.思路1:实际上，因为两个直角三角形中都无法直接求得CH的长，因此采用间接方法，即设 AH =x，则BH =10-X，在两个直角三角形中分别表示出公共边CH 2即可列方程求得 AH，然后再求出 CH的长.解法 1：设 AH =x，则 BH =10-X，在 Rt ACH 和 Rt ACH 中,由勾股定理得， ac2-ah2=ch2 , bc2-bh2=ch2 ,2 2 2 2，解得x二145在Rt ACH中，由勾股定理得CH22214 2=AC2 _ AH 2 =102 _()2523042

6、5因此 10 -x -12 -(10-x)48所以CH二.5思路2:既然未知量是等腰三角形一腰上的高，腰为已知量，只要先求出面积即可。因此想到作底边上的高先求三角形的面积. 解法2：（如图4）过点 D作AD _ BC于点D.1因为 AB 二 AC , AD _ BC，所以 BD =CD = BC2在Rt ABD中，由勾股定理，AD2 =AB2 -BD2= =102 -62 =64，所以 AD =8 .因为 AD _ BC , CH _ AB ,BC图4所以S.ABC= -BC AD 二丄 AB CH，所以 CH 二2 2 104854.如图5所示的一块地，已知 AD =4m , CD =3m

7、, AD _ BC ,AB =13m , BC = 12m，求这块地的面积.学生分析解答：因为AD _ BC，考虑连接 AC,则构造Rt ACD ,从而求得AC长为5,然后用两个直角三角形面积 相减得这块地的面积.连接AC.图522222在 Rt ACD 中，AC =CD AD =34 =25,所以AC =5 .1 1这块地的面积 S =S.ABC -S.ADCAC BC AD CD115 123 4 =30 6 =24 .22教师点评：这题的解题过程看起来没有问题，但是“ AB =13m ”的条件难 道多余吗？学生由于受特征结论及图的影响，直观判断三角形ABC是直角三角形而没有进行推理证明证明导致了错误的发生.正确解答：2 2 2 2 2在 Rt ACD 中，AC =CD AD =3